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注册岩土工程师基础考试高等数学函数、极限、连续1函数(1)函数的定义注意:仅当两个函数的对应规律和定义域均相同时它们才是同一函数例:f(x)=e与g(x)=x不是同一函数(2)函数的性质:有界性、单调性、奇偶性、周期性。(3)反函数(4)初等函数:由常数函数和基本初等函数经过有限次四则运算和函数复合构成的函数。注意:熟练地将初等函数拆成若干个常数函数和基本初等函数的四则运算或函数复合2极限1)数列极限:limx=A性质:若数列{x3}收敛,则{xn}必有界,反之不一定成立。2)函数极限(1)当x→m时,f(x)的极限:limf(x)=Alimf(x)-=A<limf(x)=limf(x)=A(2)当x→>x时,f(x)的极限:limf(x)=Alimf(x)=A<>limf(x)=limf(x)=A3)无穷小与无穷大(1)无穷小与无穷大的定义(2)无穷小的比较:设lima(x)=0,limp(x)=0.a(x)若P()O.称a(x)是比B(x)高阶的无穷小,记作ax(x)=o(B(x);若lmp(s)=,称2()是比B()低价的无穷小若m2(x=c(c≠0),称a()与P(x)为同阶无穷小B(r)特别地,若c=1,称a(x)与B(x)是等价无穷小,记作a(x)口(x)(3)等价无穷小代换定理若aa,Bp,且imB存在,则有:im=m几个常用的等价无穷小:x→>0时,sinxuxtanxux,arcsinxux,arctanxux,In(+x)ux,x,1-cosx口4)函数极限的四则运算法则5)两个重要极限llim(1+x)=e6)一个重要结论liaox+a-rIb={0.n<mx→∞bx"+bxm+…+bnn>1.7)几种常用的求极限的方法(1)利用两个重要极限求极限(2)利用无穷小的性质“无穷小与有界函数的乘积是无穷小”求极限(3)利用等价无穷小代换求极限(4)利用洛必达法则求极限例1limx(e=lim-=1x0n(1+x2)1-costx例21imlirtanxx-+0x22例3lim(xsin=+sin2x)不存在因为:limrsin=limx.==2,limsin2x不存在例4limxsin-=0(利用“无穷小与有界函数乘积是无穷小”性质)例5lim-limlim13连续1)函数f(x)在点工连续的定义:limf(x)=f(x)∫(x)在点x连续<imf(x)=limf(x)=f(x)2)函数的间断点及其分类(1)点x为f(x)间断点(不连续点):若满足下述三条中的任何一条a)f(x)在点x没定义b)limf(x)不存在)limf(x)≠f(x0)2)间断点分类:第一类间断点:若imf(x)和limf(x)均存在,称间断点x为f(x)的第一类间断点特别地,若limf(x)存在,称间断点x为可去间断点。第二类间断点:不是第一类间断点的间断点。特别地,若limf(x)=∞,称间断点x为无穷型间断点3)初等函数在其定义区间内是连续的。4)闭区间上连续函数的性质(1)有界性定理(2)最值定理(3)介值定理(4)零值点定理例设f(x)={x+10<x≤1要使f(x)在x=1处连续,则a=?k(x-1)+3,x>1解:limf(x)=lim(+a)=2+ax→)-x+1limf(x)=lim[k(x-1)+3]=3,f(1)=2+a2+a=3,ar-4.x≥0例2f(x)=11的连续区间是:(-∞,0)∪(0,例3f(x)1x<0,在(-O,+∞)上连续,则a=0.x2+a,x≥04x=0是f(x)的何种类型间断点