高等数学 函数

高等数学课件函数第1页，课件共22页，创作于2023年2月一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的全体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.描述法枚举法不含任何元素的集合称为空集.第2页，课件共22页，创作于2023年2月是B的子集

,或称B包含A,集合之间的关系：则称A若且则称A

与B

相等,显然有下列关系:若设有集合记作记作必有规定空集为任何集合的子集.若且则称A

是B

的真子集,记作第3页，课件共22页，创作于2023年2月并集交集且差集但集合运算:余集或补集卡氏积特例:记为平面上的全体点集或第4页，课件共22页，创作于2023年2月2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,第5页，课件共22页，创作于2023年2月半开半闭区间：有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.第6页，课件共22页，创作于2023年2月3.邻域:第7页，课件共22页，创作于2023年2月4.常量与变量:

在某过程中数值保持不变的量称为常量,通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.在数轴上，常量表示定点，而变量表示动点.第8页，课件共22页，创作于2023年2月设X,Y

是两个非空集合,若存在一个对应法则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f

为从X

到Y

的映射,记作元素

y

称为元素x

在映射

f下的像

,记作元素

x称为元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

称为映射f

的定义域;Y

的子集称为f

的值域

.注意:元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.二、函数概念1.映射第9页，课件共22页，创作于2023年2月对映射,则称f

为满射;若有则称f

为单射;若f既是满射又是单射,则称f

为双射或一一映射.第10页，课件共22页，创作于2023年2月X(数集或点集

)说明:在不同数学分支中有不同的惯用X(≠

)Y(数集)f称为X

上的泛函X(≠

)Xf称为X

上的变换

Rf称为定义在X

上的函数映射又称为算子.名称.例如,一元函数是一种特殊的映射，即非空集合X与Y均为实数集.第11页，课件共22页，创作于2023年2月2.函数设数集则称映射为定义在D

上的函数,记为f(D)称为值域(对应法则)(值域)(定义域)

定义域使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域自变量因变量第12页，课件共22页，创作于2023年2月(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo第13页，课件共22页，创作于2023年2月(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线(3)狄利克雷函数第14页，课件共22页，创作于2023年2月(4)取最值函数yxoyxo第15页，课件共22页，创作于2023年2月在自变量的不同变化范围中,

对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.第16页，课件共22页，创作于2023年2月例解故第17页，课件共22页，创作于2023年2月三.函数特性设函数且有区间(1)有界性使称使称(2)单调性为有界函数.在I

上有界，使若对任意正数M,均存在则称f(x)无界.称为有上界称为有下界当时,称为I

上的称为I

上的单调增加函数;单调减少函数.第18页，课件共22页，创作于2023年2月(3)奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有yxox-xyxox-x第19页，课件共22页，创作于2023年2月(4)周期性且则称为周期函数

,若称

l

为周期周期为周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x

为有理数x为无理数（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.第20页，课件共22页，创作于2023年2月四.反函数若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f

的反函数.其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:2)函数与其反函数的图形对称.关于直线第