2019年重庆市高考理科数学试卷及答案解析(word版)

数学试卷

2019年普通高校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（理工农医类）

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的

1.在复平面内表示复数i(12i)的点位于（

）

D.第四象限

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

[核心考点]考查复数的运算，复数的几何意义。

[解析]i(12i)2i，其在复平面上对应的点为Z(2,1)，位于第一象限。

[答案]A

2.对任意等比数列an,下列说法一定正确的是（

A.a1、a3、a9成等比数列

C.a2、a4、a8成等比数列

）

B.a2、a3、a6成等比数列

D.a3、a6、a9成等比数列

[核心考点]考查等比数列的性质应用。

[解析]根据等比数列的性质，a62a3a9，故a3、a6、a9成等比数列。

[答案]D

3.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数x3，y3.5，则由观测的数据得线性回归方程

可能为（

）

A.y0.4x2.3

B.y2x2.4

C.y2x9.5

D.y0.3x4.4

[核心考点]考查两个变量的相关关系以及两个变量间的回归直线方程等知识的应用。

[解析]由变量x与y正相关可排除选项C、D，由样本中心点2.5,3.5在回归直线方程上可得回归直线方程

可能为y0.4x2.3。

[答案]A

4.已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，(2a)bc，

且

3

则实数k

（

A.

9

2

）

B.0

开始

k9,s1

C.3

D.

15

2

kk1

[核心考点]考查向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示。

ss

输出k

k

k1

结束

题5图

数学试卷

[解析]由题知，2a3b(2k3,6)，因为(2b3)c，所以(2b3c)

a

a

，所以

0

(2a3b)c2(2k3)(6)4k120，解得k3。

[答案]C

5.执行如题5所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（

）

A.s

1

2

B.s

3

5

4

5

C.

s7

10

D.s

[核心考点]考查程序框图的相关知识。

[解析]由s1

[答案]C

6.已知命题

9877

7

，故当判断框内填入s

109810

10时，输入的值为6。

k

p：对任意xR，总有2x0；

q：x1"是"x2"的充分不必要条件.

"

则下列命题为真命题的是（

A.pq

C.pq

）

B.pq

D.pq

要条

5

2

4

D.72

正视图

[核心考点]考查复合命题的真值表的应用，

全称命题真假的判定以及充

件的判定。

[解析]由题知，命题p为真命题，命题q为假命题，q为真命题，

pq为真命题。

[答案]D

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（

A.54

B.60

C.66

[核心考点]根据几何体的三视图求该几何体的表面积。

[解析]根据三视图可得该几何体如右图所示，

111

1

1

1

1

则

）

3

侧视图

则其表面积SSABCSABCS梯形BBAAS梯形BBCCS矩形ACCA

11

俯视图

C1

1341351(25)41(25)53560。

2

2

2

2

[答案]B

3

A1

x2y21(a0b0)

8.设F1、F2分别为双曲线2

，

的左、右焦点，双曲线上存

a

b2

34

5

在一

5

4

2

B1

5

C3

A

B

数学试卷

9

点P使得PF1PF23b，PF1PF2ab，则该双曲线的离心率为（

4

A.

）

4

3

B.

5

3

C.

9

4

D.3

[核心考点]考查双曲线的定义与相关性质的应用。

P是双曲线x2y21上一点，所以PF1PF22a，

2

2

[解析]因为点

a

b

又PF1PF23b，所以4a2(PF1PF2)2(PF1PF2)24PF1PF29b29ab，

即9b29ab4a20，即9()29

b

a

b40

b4b

1

，解得或（舍）

，

a

a3a

3

e2c21b225，所以e5。

2

2

所以

a

a

9

3

[答案]B

9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排

法种数是（

）

A.72

B.120

C.144

D.3

[核心考点]考查分类计数原理和排列组合相关的知识。

[解析]分两类：

第一类：歌舞类节目中间没有相声类节目，有A33C1A2224；

2

第二类：歌舞类节目中间有相声类节目，有A33C1C1C196；

224

所以一共有2496120种不同的排法。

[答案]B

10.已知ABC的内角A、B、C满足sin2Asin(ABC)sin(CAB)

记a、b、c分别为A、B、C所对的边，则下列不等式成立的是（

）

1

2，面积满足

S

1S2，

A.bc(bc)8

B.ab(ab)162

C.6abc12

D.12abc24

[核心考点]考查两角和与差的三角函数公式，正弦定理，三角形的面积等知识。

1

1

，所以sin2Asin2Bsin2C，

2

2

1

1

所以sin(22B2C)sin2Bsin2C，所以sin(2B2C)sin2Bsin2C，

2

2

化简得

sinAsinBsinC1，设ABC的外接圆半径为R，

8

1

由SabsinC及正弦定理得：sinAsinBsinC

S1

，所以R24S，

2

2R

2

8

1

因为1S2，所以4R28，由sinAsinBsinC可得abcR3[8,162]，显然选项C、D均不

8

[解析]由题知，sin2Asin(2B)sin(2C)

数学试卷

一定正确。

对于A：bc(bc)abc8，故A选项是正确的；

对于B：ab(ab)abc8，故B选项不一定正确；

[答案]A

二.填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上

11.设全集UnN1n10，A{1，2，3，5，8}，B{1，3，5，7，9}，则CUA

[核心考点]考查集合的交集、补集等运算。

B

________.

[解析]U{1，2，，10}，则CUA{4，6，7，9，10}，故CUAB{7，9}。

[答案]{7，9}

12.函数f(x)log2

xlog(2x)的最小值为________.

2

[核心考点]考查对数的运算以及配方法求二次函数的最值。

[解析]由题知，f(x)lo2g

x

logx(21)

2

2

2

lxog

(xlog

2

2

2)xo

12lg11，故

2

2

4

4

f(x)lo2gx

[答案]

1

4

logx(的最小值为1。

2)

2

4

13.已知直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)24相交于A、B两点，ABC为等边三角形，

且

则实数a________.

[核心考点]考查点到直线的距离，圆的弦长等知识。

[解析]由题知，圆心C到直线axy20的距离为3，

故

aa2

a21

3，解得a415。

[答案]415

考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分

14.过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点）

，再作割线PBC依次交圆于B，C，若PA6，AC8，

BC9，则AB________.

[核心考点]考查切割线定理以及相似三角形的相关知识。

[解析]设PBx，由切割线定理PA2PBPC，即62x(x9)，解得x3或x12（舍）

，

数学试卷

又PA是圆的切线，所以PABPCA，所以PAB

所以

PCA，

PAAB

，所以AB

PAAC684

。

PCAC

PC

39

x2tt

y3t（为参数）

，以坐标原点为极点，x正半轴建立极坐标系，曲线C的极

[答案]4

15.已知直线l的参数方程为

坐标方程为sin24cos0（0，02）则直线l与曲线C的公共点的极径________.

，

[核心考点]极坐标与参数方程。

[解析]由题知，直线l的一般方程为xy10，

由sin24cos0得sin24cos0，故曲线C的普通方程为y24x，

xy10

由

解得直线l与曲线C的公共点的坐标为(2,1)，其极径为22125。

y24x

[答案]5

16.若不等式2x1x2a2

1a2

对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________.

2

[核心考点]考查含绝对值的不等式，含绝对值的函数以及恒成立等综合问题。

3x1,x2

1

1

5

[解析]令f(x)2x1x2x3,2x，结合其图像得f(x)minf()，

2

2

2

3x1,

x1

2

1a25

1

，解得1a。

2

2

2

[答案]

[1,1]

2

所以a2

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程

17.（本小题13分，

（Ⅰ）小问5分，

（Ⅱ）小问8分）

已知函数f(x)

3sin(x)(0，)的图像关于直线x对称，且图像上相邻两个最

2

2

3

高点的距离为.

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）若

f()3(2)，求cos(3)的值.

2

46

3

2

[核心考点]考查三角函数的图像与性质，三角函数公式的综合应用以及解决三角函数求值问题的方法。

数学试卷

[答案]

18.（本小题满分13分，

（Ⅰ）小问5分，

（Ⅱ）小问8分）

一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，

其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数

字是3，从盒中任取3张卡片.

（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列.

（注：若三个数a、b、c满足abc，则称b为这三个数的中位数）.

[核心考点]考查排列组合，互斥事件、独立事件的概念与相关的计算公式以及求离散型随机变量的分布列与

数学期望的方法。

[答案]

数学试卷

19.（本小题满分13分，

（Ⅰ）小问6分，

（Ⅱ）小问8分）

如题19图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱

P

形，PO底面ABCD，AB2，BAD

上一点，且BM

3，为

MBC

1MPAP

2，

.

D

C

O

A

题19图

（Ⅰ）求PO的长；

（Ⅱ）求二面角APMC的正弦值.

[核心考点]考查四棱锥背景下对空间的线面垂直、

线线垂直

的综合应用，利用空间向量求线段的长度和二面角的正弦值。

[答案]

M

B

数学试卷

20.（本小题满分12分，

（Ⅰ）问4分，

（Ⅱ）问3分，

（Ⅲ）问5分）

已知函数f(x)ae2xbe2xcx(a，b，cR)的导函数f(x)为偶函数，且曲线yf(x)在点(0,f(0))

处的切线的斜率为4c.

（Ⅰ）确定a，b的值；

（Ⅱ）若c3，判断f(x)的单调性；

（Ⅲ）若f(x)有极值，求c的取值范围.

数学试卷

[核心考点]考查函数与导数的综合应用，利用导数的集合意