新教材人教A版5.1任意角和弧度制5．1.1任意角课件（29张）

第五章三角函数 5．1任意角和弧度制5．任意角[课程目标]1.了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零

角，了解象限角的概念；2.理解并掌握终边相同角的概念，能写出终边相同角

组成的集合．

知识点一任意角1．角的概念：角可以看成____________绕着它的________旋转

所成的图形．一条射线端点2．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角一条射线绕其端点按____形成的角负角一条射线绕其端点按____形成的角零角一条射线____，就称它形成了一个零角逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有做任何旋转[研读]角的概念中，“旋转”是关键，要注意旋转方向和旋转量的大小．【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)零角的始边与终边重合．(

)(2)始边与终边重合的角是零角．(

)(3)360°角是指一条射线绕其端点逆时针旋转一周所得的图形(

)(4)钟表上的分针在一刻钟的时间里走了90°.(

)√×√×【解析】(1)符合零角的概念．(2)始边与终边重合的角不一定是零角，也可以是其他角，

如720°角的始边与终边重合．(4)钟表上的分针在一刻钟的时间里走了－90°.

知识点二象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是_____________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．[研读]象限角满足的条件：角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边不在坐标轴上．第几象限角【思辨】

判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)－50°角是第四象限角．(

)(2)钝角是第二象限的角．(

)(3)180°角不是象限角．(

)(4)第一象限角都是锐角．(

)【解析】(4)第一象限角不一定都是锐角，如－300°是第一象限角，但不是锐角．√√√×

知识点三终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|__________________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与____________的和．β＝α＋k·360°，k∈Z整数个周角【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)终边落在同一条射线上的角有无数个．(

)(2)30°角与－330°角的终边相同．(

)(3)角α与角β的终边相同，则α＋β＝360°.(

)(4)若α＝β＋180°，则角α与角β的终边相反．(

)【解析】(1)根据终边相同的角的概念知说法正确．(3)角α与角β的终边相同，则α－β＝k·360°(k∈Z).√√×√例1下列结论中正确的是____．(填序号)①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角为锐角；④第三象限角大于第二象限角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．②【解析】90°角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确；终边落在第三象限的角可以是正角，也可以是负角，终边落在第二象限的角可以是正角也可以是负角，故④不正确；0°小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有(

)A．B⊆C⊆A B．B⊆A⊆CC．D⊆ D．C∩D＝BD【解析】小于90°的角、锐角、第一象限角及小于90°而不小于0°的角的范围，如下表所示．所以C∩D＝B.例2在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解：(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角．其中真命题有(

)A．1个 B．2个C．3个 D．4个D【解析】对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角，正确；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角，正确；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角，正确；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角，正确．第二或第四象限例3已知θ＝－290°.(1)把θ改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求α，使α与θ终边相同，且－1000°<α<－300°.解：(1)因为θ＝－290°＝－360°＋70°.所以把θ改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式为θ＝－360°＋70°，它是第一象限角．(2)与－290°角终边相同的角为α＝k·360°＋70°(k∈Z)，由－1000°<k·360°＋70°<－300°，得－107<36k<－37.因为k∈Z，所以k＝－2，此时α＝－650°.即所求满足条件的α为－650°.[规律方法]1．终边落在直线上的角的集合的步骤：(1)写出在0°～360°范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．2．终边相同角常用的三个结论：(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．如图，α，β分别是终边在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°.(1)求终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合；(2)求终边在阴影部分(不包括边界)，且满足0°≤θ≤360°的角θ的集合．解：(1)因为与角β终边相同的一个角可以表示为－45°，所以阴影部分(不包括边界)所表示的角的集合为{γ|k·360°－45°＜γ＜k·360°＋60°，k∈Z}．(2){θ|0°≤θ＜60°或315°＜θ≤360°}．1．下列说法正确的是(

)A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角C．第三象限角都大于180°D．第四象限角是负角【解析】根据象限角的概念知，只有选项A正确．A2．与－390°终边相同的最小正角是(

)A．－210°

B．30°C．60°

D．330°【解析】与－390°终边相同的角是α＝k·360°－390°，k∈Z，当k＝2时，α＝330°，即330°为最小正角．D3．与－60°角终边相同的角的集合是(

)A．{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°－120°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－300°，k∈Z}【解析】因为300°＝360°－60°，所以300°角与－60°角的终边相同，所以与－60°角终边相同的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．B4．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角所

表示的范围(阴影部分)是(

)

C5．已知α＝－1120°.(1)把α写