2022年河南省郑州市中考二模考试 数学 试卷(含答案)

2022年河南省郑州市中考数学二模试卷

一、选择题

1.2的相反数是( )

3

A.3

2

B.

3

2

C.2

3

D.

2

3

2.据河南省统计局发布的信息，2021年我省对外贸易取得新突破，全年全省进出口总值8208.1亿元，创

河南省进出口规模历史新高，数据"8208.1亿"用科学记数法表示为( )

A.0.82081×1012

B.82081×107

C.8.2081×1011

D.8.2081×105

3.下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是( )

A.

正方体

B.

圆柱

C.

圆锥

D.

球

4.如图，在△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐶=𝐵𝐶，点D和E分别在AB和AC上，且𝐴𝐷=𝐴𝐸.连

接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠𝐶=40∘，则∠𝐺𝐴𝐷的度数为

( )

A.40∘

B.45∘

C.55∘

D.70∘

5.下列各式计算正确的是( )

A.2𝑎2+3𝑎2=5𝑎4

B.(2𝑎𝑏)3=6𝑎𝑏3

D.𝑎3⋅(2𝑎)=2𝑎3

C.(3𝑎+𝑏)(3𝑎𝑏)=9𝑎2𝑏2

6.关于x的一元二次方程𝑥2+(2𝑘)𝑥𝑘=0的根的情况是( )

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.无法确定

7.现有四张分别标有数字3，1，0，2的卡片，它们除数字外完全相同.把卡片背面朝上洗匀，然后从中

随机抽取两张，则这两张卡片上所标的数字都是非负数的概率为( )

A.

1

6

B.

1

3

C.

1

2

D.

5

12

8.为了解新冠肺炎疫情防控期间，学生居家进行"线上学习"情况，某

班进行了某学科单元基础知识"线上测试"，其中抽查的10名学生

的成绩如图所示，对于这10名学生的测试成绩，下列说法正确( )

A.中位数是95分

C.平均数是95分

B.众数是90分

D.方差是15

9.如图，在OABC中，边OC在x轴上，点𝐴(1,3)，点𝐶(3,0).按以下步骤作图：分别以点B，C为圆

心，大于1𝐵𝐶的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH

2

的长为( )

A.5

B.7

C.22

D.23

10.如图1，点A是⊙𝑂上一定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向运动到点A，运动时间

是𝑥(𝑠)，线段AP的长度是𝑦(𝑐𝑚).图2是y随x

变化的关系图象，则点P的运动速度是( )

A.1𝑐𝑚/𝑠

C.𝜋𝑐𝑚/𝑠

2

B.2𝑐𝑚/𝑠

D.

3𝜋𝑐𝑚/𝑠

2

二、填空题

11.计算：(1)1

2

|3

2|=______.

12.如图所示，点C位于点A、B之间(不与A、B重合)，点C表示1

取值范围是______.

2𝑥，则x的

13.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，𝑁.已知

∠𝐵𝐴𝐶=120∘，𝐴𝐵+𝐴𝐶=16，⏜的长为𝜋，则图

𝑀𝑁

中阴影部分的面积为______.

14.如图，矩形ABCD和矩形CEFG，𝐴𝐵=1，𝐵𝐶=𝐶𝐺=2，𝐶𝐸=4，点P在边GF上，点Q在边CE

上，且𝑃𝐹=𝐶𝑄，连接AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中

点，则MN的长为______.

15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，

∠𝐵𝐶𝐷=45∘，𝐴𝐵=𝐵𝐷=6，E为AD上一动点，连接BE，将△𝐴𝐵𝐸

沿BE折叠得到△𝐹𝐵𝐸，当点F落在平行四边形的对角线上时，OF的

长为______.

三、解答题

16.如果𝑚2

4𝑚

6=0，求代数式(𝑚2𝑚4

𝑚+3

+1)÷

𝑚+1

𝑚29

的值．

17.为了解某市八年级数学期末考试情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整.收集数据

随机抽取甲乙两所学校的各20名学生的数学成绩进行分析(满分为100分)：

甲9189778671319793729181928585958888904491

乙8493666976877782858890886788919668975988

整理、描述数据，按如表数据段整理、描述这两组数据，分析数据

分段

学校

甲

乙

1

0

30𝑥

39

40𝑥

49

50𝑥

59

60𝑥

69

70𝑥

79

80𝑥

89

90𝑥

100

8

5

1

0

0

1

0

4

3

2

7

8

两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：

统计量

平均数

中位数

学校

甲

乙

众数

b

88

方差

268.43

115.25

81.85

c

a

86

经统计，表格中𝑎=______；𝑏=______；𝑐=______；

得出结论

(1)若甲学校有600名八年级学生，估计这次考试成绩80分以上人数为______；

(2)可以推断出______学校学生的数学水平较高，理由为：______.(至少从两个不同的角度说明推断

的合理性)

18.如图1，点A、B是双曲线𝑦=𝑘(𝑘>0)上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段AC、AD、

𝑥

BE、BF，AC和BF交于点G，得到正方形𝑂𝐶𝐺𝐹(阴影部分)，且𝑆阴影=1，△𝐴𝐺𝐵的面积为2.

(1)求双曲线的解析式；

(2)在双曲线上移动点A和点B，上述作图不变，得到矩形𝑂𝐶𝐺𝐹(阴影部分)，点A、B在运动过程中始

终保持𝑆阴影=1不变(如图2)，则△𝐴𝐺𝐵的面积是否会改变？说明理由．

19.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角

为53∘，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45∘，已知山坡AB的坡度𝑖=1：3，

𝐴𝐵=10米，𝐴𝐸=21米．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：21.41，3

1.73，sin53∘4，cos53∘3，tan53∘4)

5

5

3

(1)求点B距水平地面AE的高度；

(2)求广告牌CD的高度．(结果精确到0.1米)

20.阅读下面村料，并按要求完成相应的任务：

阿基米德是古希腊的数学家、物理学家.在《阿基米德全集》里，他关于圆的引理的论证如下：

命题：设AB是一个半圆的直径，并且过点B的切线与过该半圆上的任意一点D的切线交于点T，如

果作DE垂直AB于点E，且与AT交于点F，则𝐷𝐹=𝐸𝐹.

证明：如图①，延长AD与BT交于点H，连接OD，𝑂𝑇.

∵𝐷𝑇，BT与⊙𝑂相切

∴，①

∴𝐵𝑇=𝐷𝑇

∵𝐴𝐵是半⊙𝑂的直径，∠𝐴𝐷𝐵=90∘，②

在△𝐵𝐷𝐻中，𝐵𝑇=𝐷𝑇，得到∠𝑇𝐷𝐵=∠𝑇𝐵𝐷，

可得∠𝐻=∠𝑇𝐷𝐻，

∴𝐵𝑇=𝐷𝑇=𝐻𝑇.

又∵𝐷𝐸//𝐵𝐻，

∴𝐷𝐹=𝐴𝐹，𝐸𝐹=𝐴𝐹

𝐻𝑇

𝐴𝑇

𝐵𝑇

𝐴𝑇

𝐸𝐹𝐷𝐹

∴𝐵𝑇=𝐻𝑇

又∵𝐵𝑇=𝐻𝑇，∴𝐷𝐹=𝐸𝐹.

任务：

(1)请将①部分证明补充完整；

(2)证明过程中②的证明依据是______；

(3)如图②，△𝐵𝐸𝐷是等边三角形，BE是⊙𝑂的切线，切点是B，D在⊙𝑂上，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为C，

连接AE，交CD于点F，若⊙𝑂的半径为2，求CE的长.

21.某校为改善教师的办公环境，计划购进A，B两种办公椅共100把.经市场调查：购买A种办公椅2

把，B种办公椅5把，共需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅1把，共需380元.

(1)求A种，B种办公椅每把各多少元？

(2)因实际需要，购买A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中

规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其它因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠.请设计一种

购买办公椅的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用.

22.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线𝑦=𝑥2+(𝑎1)𝑥2𝑎，其中a为常数，点𝐴(4,2𝑎4)在此

抛物线上．

(1)求此时抛物线的解析式及点A的坐标；

(2)设点𝑀(𝑥,𝑦)为抛物线上一点，当3𝑥2时，求纵坐标y的最大值与最小值的差；

(3)已知点𝑃(2,3)，𝑄(2,3)为平面直角坐标系内两点，连接𝑃𝑄.若抛物线向上平移c个单位(𝑐>0)

的过程中，与线段PQ恰好只有一个公共点，请直接写出c的取值范围．

23.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=2，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，将边AB绕点A逆时针旋转至𝐴𝐵′，记旋转角为𝛼.分别过

A，C作直线𝐵𝐵′的垂线，垂足分别是E，F，连接𝐵′𝐶交直线AF于点𝑄.

(1)如图1，当𝛼=45∘时，△𝐴𝐸𝐹的形状为______；

(2)当0∘<𝛼<360∘时，

①(1)中的结论是否成立？如果成立，请就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②在旋转过程中，当四边形AECF为平行四边形时，请直接写出CF的长．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：2的相反数是2，

3

3

故选：D。

根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数。

本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数。

2.【答案】C

【解析】解：8208.1亿=820810000000=8.2081×1011.

故选：𝐶.

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为𝑎×10𝑛，其中1|𝑎|<10，n为整数，且n比原来的整数位

数少1，据此判断即可．

此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为𝑎×10𝑛，其中1|𝑎|<10，确定a与n的值是

解题的关键．

3.【答案】C

【解析】解：𝐴.俯视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；

B.俯视图与主视图都是长方形，故选项B不合题意；

C.俯视图是圆，主视图是三角形；故选项C符合题意；

D.俯视图与主视图都是圆，故选项D不合题意；

故选：𝐶.

从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．

此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．

4.【答案】C

【解析】解：∵𝐴𝐶=𝐶𝐵，∠𝐶=40∘，

∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵=1(180∘40∘)=70∘，

2

∵𝐴𝐷=𝐴𝐸，

∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐸𝐷=1(180∘70∘)=55∘，

2

∵𝐺𝐻//𝐷𝐸，

∴∠𝐺𝐴𝐷=∠𝐴𝐷𝐸=55∘，

故选：𝐶.

根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论．

本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

5.【答案】C

【解析】此题考查了平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘以单项式，熟练掌握

公式及法则是解本题的关键．

各项利用合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，以及单项式乘以单项式法则判断即可．

【解答】

解：A、原式=5𝑎2，不符合题意；

B、原式=8𝑎3𝑏3，不符合题意；

C、原式=9𝑎2𝑏2，符合题意；

D、原式=2𝑎4，不符合题意，

故选𝐶.

6.【答案】A

【解析】解：∵𝛥=𝑏24𝑎𝑐=(2𝑘)24×(𝑘)=𝑘2+4>0，

∴方程总有两个不相等的实数根．

故选：𝐴.

判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式𝛥=𝑏24𝑎𝑐的值的符号就可以了．

本题考查了根的判别式：一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎0)的根与𝛥=𝑏24𝑎𝑐有如下关系：当𝛥>0

时，方程有两个不相等的实数根；当𝛥=0时，方程有两个相等的实数根；当𝛥<0时，方程无实数根．

7.【答案】A

【解析】解：根据题意列表如下：

0

0

2

1

3

---

2

(2,0)

(0,2)

(0,1)

(0,3)

---

(2,1)

(2,3)

---

1

(1,0)

(1,2)

3

(3,0)

(3,2)

(3,1)

(1,3)

---

所有等可能的情况有12种，其中两张卡片的数字都是非负数的情况有2种，

则𝑃(两个都是非负数)=12=1.

2

6

故选：𝐴.

列表得出所有等可能的情况数，找出两张卡片的数字都是非负数的情况，即可求出所求的概率．

此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，正确区分是

否是放回事件还是不放回事件是解题的关键．

8.【答案】B

【解析】解：A、中位数是90分，错误；

B、众数是90分，正确；

C、平均数=1×855×9095×2100×2

10

=92.5，错误；

2×(9592.5)2

D、方差=10[(8592.5)2

1

5×(9092.5)2

2×(10092.5)2]=21.25，错误；

故选：𝐵.

A、根据中位数的定义将这组数据从小到大重新排列，求出最中间的2个数的平均数，即可得出中位数；

B、根据众数的定义找出出现次数最多的数．

C、根据加权平均数公式代入计算可得；

D、根据方差公式计算即可．

本题考查了众数、平均数、中位数以及方差的知识，熟练掌握概念及公式是解题的关键．

9.【答案】B

【解析】解：连接HC，过A点作𝐴𝑀⊥𝑥轴于M，如

图，

∵𝑂𝑀=1，𝐴𝑀=3，𝑂𝐶=3，

∴𝑂𝐴=12

(3)2=2，

∴tan∠𝐴𝑂𝑀=3=3，

1

∴∠𝐴𝑂𝑀=60∘，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠𝐵=∠𝐴𝑂𝑀=60∘，𝐵𝐶=𝑂𝐴=2，

由作法得EF垂直平分BC，

∴𝐻𝐶=𝐻𝐵，

∴△𝐻𝐵𝐶为等边三角形，

∴𝐵𝐻=2，

∴𝐴𝐻=1，

∴𝐻点的坐标为(2,3)，

∴𝑂𝐻=22

(3)2=7.

故选：𝐵.

连接HC，过A点作𝐴𝑀⊥𝑥轴于M，如图，录用解直角三角形得到𝑂𝐴=2，∠𝐴𝑂𝑀=60∘，再根据平行四

边形的性质得到∠𝐵=∠𝐴𝑂𝑀=60∘，𝐵𝐶=𝑂𝐴=2，利用基本作图得到𝐻𝐶=𝐻𝐵，所以△𝐻𝐵𝐶为等边三角

形，则𝐵𝐻=2，从而得到H点的坐标为(2,3)，然后根据两点间的距离公式计算𝑂𝐻.

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作

已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性

质和平行四边形的性质．

10.【答案】C

【解析】解：从图2看，当𝑥=1时，𝑦=𝐴𝑃=2，即此时A、O、P三点共线，

则圆的半径为1𝐴𝑃=1，

2

当𝑥=0时，𝐴𝑃=𝐴𝐵=2=𝐴𝑂2+𝐵𝑂2=2，

故𝑂𝐴⊥𝑂𝐵，

则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，

此时𝑥=1，走过的了角度为90∘，则走过的弧长为360∘×2𝜋×𝑟=𝜋，

90∘

2

故点P的运动速度是𝜋÷1=𝜋(𝑐𝑚/𝑠)，

2

2

故选：𝐶.

从图2看，当𝑥=1时，𝑦=𝐴𝑃=2，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为1𝐴𝑃=1，当𝑥=0时，

2

𝐴𝑃=𝐴𝐵=2=𝐴𝑂2+𝐵𝑂2=2，故𝑂𝐴⊥𝑂𝐵，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时

𝑡=1，走过的了角度为90∘，进而求解．

本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

11.【答案】3

【解析】解：原式=2(23)

=22+3

=3.

故答案为：3.

直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

12.【答案】1<𝑥<0

2

【解析】解：根据题意得：1<12𝑥<2，

解得：1<𝑥<0，

2

则x的范围是1<𝑥<0，

2

故答案为：1<𝑥<0

2

根据题意列出不等式组，求出解集即可确定出x的范围．

此题考查了解一元一次不等式组，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

13.【答案】24333𝜋

【解析】解：如图，连接OM、ON，

∵半圆分别与AB，AC相切于点M，𝑁.

∴𝑂𝑀⊥𝐴𝐵，𝑂𝑁⊥𝐴𝐶，

∵∠𝐵𝐴𝐶=120∘，

∴∠𝑀𝑂𝑁=60∘，

∴∠𝑀𝑂𝐵+∠𝑁𝑂𝐶=120∘，

∵𝑀𝑁的长为𝜋，

⏜

∴60𝜋𝑟=𝜋，

180

∴𝑟=3，

∴𝑂𝑀=𝑂𝑁=𝑟=3，

连接OA，

在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝑁中，∠𝐴𝑂𝑁=30∘，𝑂𝑁=3，

∴𝐴𝑁=3，

∴𝐴𝑀=𝐴𝑁=3，

∴𝐵𝑀+𝐶𝑁=𝐴𝐵+𝐴𝐶(𝐴𝑀+𝐴𝑁)=1623，

∴𝑆阴影=𝑆△𝑂𝐵𝑀+𝑆△𝑂𝐶𝑁(𝑆扇形MOE+𝑆扇形NOF)

1

120𝜋×32

=2×3×(𝐵𝑀+𝐶𝑁)(360)

3

=2(1623)3𝜋

=24333𝜋

故答案为：24333𝜋.

连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，𝑁.可得𝑂𝑀⊥𝐴𝐵，𝑂𝑁⊥𝐴𝐶，由∠𝐵𝐴𝐶=120∘，可

得∠𝑀𝑂𝑁=60∘，得∠𝑀𝑂𝐵+∠𝑁𝑂𝐶=120∘，再根据⏜的长为𝜋，可得𝑂𝑀=𝑂𝑁=𝑟=3，连接OA，根

𝑀𝑁

据𝑅𝑡△𝐴𝑂𝑁中，∠𝐴𝑂𝑁=30∘，𝑂𝑁=3，可得𝐴𝑀=𝐴𝑁=3，进而可求图中阴影部分的面积．

本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公

式．

14.【答案】37

2

【解析】解：连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接

AF，如图所示：

则四边形ABEH是矩形，

∴𝐻𝐸=𝐴𝐵=1，𝐴𝐻=𝐵𝐸=𝐵𝐶+𝐶𝐸=2+4=6，

∵四边形CEFG是矩形，

∴𝐹𝐺//𝐶𝐸，𝐸𝐹=𝐶𝐺=2，

∴∠𝑅𝐹𝑃=∠𝑅𝐶𝑄，∠𝑅𝑃𝐹=∠𝑅𝑄𝐶，𝐹𝐻=𝐸𝐹𝐻𝐸=21=1，

在𝑅𝑡△𝐴𝐻𝐹中，由勾股定理得：𝐴𝐹=𝐴𝐻2+𝐹𝐻2=62+12=37，

在△𝑅𝐹𝑃和△𝑅𝐶𝑄中，

∠𝑅𝐹𝑃=∠𝑅𝐶𝑄

{𝑃𝐹=𝐶𝑄

，

∠𝑅𝑃𝐹=∠𝑅𝑄𝐶

∴△𝑅𝐹𝑃≌△𝑅𝐶𝑄(𝐴𝑆𝐴)，

∴𝑅𝑃=𝑅𝑄，

∴点R与点M重合，

∵点N是AC的中点，

∴𝑀𝑁是△𝐶𝐴𝐹的中位线，

1

1

37

∴𝑀𝑁=2𝐴𝐹=2×37=2.

故答案为：37.

2

连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，则四边形ABEH是矩形，求出𝐹𝐻=1，𝐴𝐹=

𝐴𝐻2+𝐹𝐻2=37，由ASA证得△𝑅𝐹𝑃≌△𝑅𝐶𝑄，得出𝑅𝑃=𝑅𝑄，则点R与点M重合，得出MN是△

𝐶𝐴𝐹的中位线，即可得出结果．

本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理

等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键．

15.【答案】3或65

5

【解析】解：如图1中，当点F落在BD上时，点F与D重合．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴𝑂𝐵=𝑂𝐷=1𝐵𝐷=3，即𝑂𝐹=3.

2

如图2中，当点F落在AC上时，设BE交AC于点𝐽.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐷=45∘，

∵𝐵𝐴=𝐵𝐷=6，

∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐷𝐴=45∘，

∴∠𝐴𝐵𝐷=90∘，

∴𝐴𝑂=𝑂𝐵2+𝐴𝐵2=22+42=25，

∵𝐵𝐴，BF关于BE对称，

∴𝐵𝐹=𝐵𝐴，𝐵𝐸⊥𝐴𝐹，

∴𝐴𝐽=𝐽𝐹，

∵1⋅𝐴𝐵⋅𝑂𝐵=1⋅𝑂𝐴⋅𝐵𝐽，

2

2

∴𝐵𝐽=2×4=45，

25

5

∴𝑂𝐽=𝑂𝐵2𝐵𝐽2=22(45)2=25，

5

5

∴𝐴𝐽=𝐽𝐹=𝐴𝑂𝑂𝐽=2525=85，

5

5

∴𝑂𝐹=𝐹𝐽𝑂𝐽=8525=65，

5

5

5

综上所述，满足条件的OF的值为3或65.

5

故答案为：3或65.

5

分两种情形：如图1中，当点F落在BD上时，点F与D重合．如图2中，当点F落在AC上时，设BE

交AC于点𝐽.分别求出OF即可．

本题考查翻折变换，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考

问题，属于常考题型．

16.【答案】解：原式=(𝑚2𝑚4+𝑚+3)⋅(𝑚3)(𝑚+3)

𝑚+3

𝑚+3

𝑚+1

𝑚21(𝑚3)(𝑚+3)

=𝑚+3⋅

𝑚+1

(𝑚1)(𝑚+1)(𝑚3)(𝑚+3)

=

⋅

𝑚+3

𝑚+1

=(𝑚1)(𝑚3)

=𝑚24𝑚+3

∵𝑚24𝑚6=0，

∴𝑚24𝑚=6，

∴原式=6+3=9.

【解析】先根据分式混合运算法则对分式进行化简，然后将已知𝑚24𝑚6=0变形后整体代入求值．

本题考查分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的混合运算的计算法则准确计算，并利用整体代入思

想求值．

17.【答案】889181.95450人甲两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校

学生的数学水平较高

【解析】解：将甲学校20名学生数学成绩重新排列如下：

31、44、71、72、77、81、85、85、86、88、88、89、90、91、91、91、92、93、95、97，

所以甲学校20名学生数学成绩的中位数𝑎=88+88=88，众数𝑏=91，乙学校20名学生数学成绩的平均数

2

𝑐=

1

20

×(84+93+66+69+76+87+77+82+85+88+90+88+67+88+91+96+68+97+

59+88)=81.95；故答案为：88、91、81.95；

(1)若甲学校有600名八年级学生，估计这次考试成绩80分以上人数为600×15=450(人)，故答案为：

20

450人；

(2)可以推断出甲学校学生的数学水平较高，理由为：两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高

于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．故答案为：甲，两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数

均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．将甲学校20名学生数学成绩重新排列，再根据中位数和众

数及平均数的概念求解即可得出a、b、c的值；

(1)依据甲学校考试成绩80分以上人数所占的百分比，即可得到有600名八年级学生中这次考试成绩80分

以上人数；

(2)从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个学校学生的数学水平较高．本题主要考查了统计

表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才

能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都

是最多且相同，此时众数就是这多个数据．

18.【答案】解：(1)∵四边形OCGF是正方形，

∴𝑂𝐶=𝐶𝐺=𝐺𝐹=𝑂𝐹，∠𝐶𝐺𝐹=90∘，

∵𝑂𝐶2=𝑆阴影=1，

∴𝑂𝐶=𝐶𝐺=𝐺𝐹=𝑂𝐹=1，

∴点A的横坐标为1，点B纵坐标为1.

∵点A、B是双曲线𝑦=𝑘上的点，

𝑥

∴点A的纵坐标为𝑦=𝑘=𝑘，点B横坐标为𝑥=𝑘=𝑘，

1

1

∴𝐴𝐶=𝑘，𝐵𝐹=𝑘，

∴𝐴𝐺=𝑘1，𝐵𝐺=𝑘1.

∵∠𝐴𝐺𝐵=∠𝐶𝐺𝐹=90∘，

∴𝑆△𝐴𝐺𝐵=1𝐴𝐺⋅𝐵𝐺=1(𝑘1)2=2，

2

2

解得𝑘=3(取正值).

∴反比例函数的解析式为𝑦=3；

𝑥

(2)点A、B在运动过程中△𝐴𝐺𝐵的面积保持不变．

理由如下：

设矩形OCGF的边𝑂𝐶=𝑚.

，∴𝑂𝐹=𝑚.

1

∴点A的横坐标为m，点B纵坐标为1.

𝑚

∵点A、B是双曲线𝑦=3上的点，

𝑥

∴点A的纵坐标为𝑦=3，点B横坐标为𝑥=

𝑚

∴𝐴𝐶=3，𝐵𝐹=3𝑚.

𝑚

又𝐹𝐺=𝑂𝐶=𝑚，𝐶𝐺=𝑂𝐹=𝑚，

1

3

1

𝑚

=3𝑚.

∴𝐴𝐺=𝐴𝐶𝐶𝐺=

3

𝑚

1

𝑚

=2，𝐵𝐺=𝐵𝐹𝐹𝐺=3𝑚𝑚=2𝑚，

𝑚

1

12

∴𝑆△𝐴𝐺𝐵=2𝐴𝐺⋅𝐵𝐺=2⋅𝑚⋅2𝑚=2.

∴点A、B在运动过程中△𝐴𝐺𝐵的面积保持不变．

【解析】(1)由于正方形OCGF的面积是1，得出𝑂𝐶=𝐶𝐺=1，即点A的横坐标为1，点B纵坐标为1.由

点A、B是双曲线𝑦=𝑘上的点，得出点A的纵坐标与点B的横坐标都是k，从而可用含k的代数式表示

𝑥

AG，BG，再根据△𝐴𝐺𝐵的面积为2，列出关于k的方程，求解即可；

(2)由于△𝐴𝐺𝐵的面积=1𝐴𝐺⋅𝐵𝐺，所以本题即求1𝐴𝐺⋅𝐵𝐺的值是否为一个常数．为此，设矩形OCGF的边

2

2

𝑂𝐶=𝑚，则点A的横坐标为m，由

，可知𝑂𝐹=1，即点B纵坐标为1.然后由点A、B

𝑚

𝑚

是双曲线𝑦=𝑘上的点，得出点A的纵横坐标与点B的横坐标，从而可用含m的代数式表示AG，BG，进

𝑥

而求出1𝐴𝐺⋅𝐵𝐺的值，从而得出结果．

2

本题考查了反比例函数的图象的性质以及正方形、矩形的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效

的方法．

19.【答案】解：(1)如图，过点B作𝐵𝑀⊥𝐴𝐸，𝐵𝑁⊥𝐶𝐸，垂足分别为M、N，

由题意可知，∠𝐶𝐵𝑁=45∘，∠𝐷𝐴𝐸=53∘，𝑖=1：3，𝐴𝐵=10米，𝐴𝐸=21

米．

∵𝑖=1：3=𝐵𝑀=tan∠𝐵𝐴𝑀，

𝐴𝑀

∴∠𝐵𝐴𝑀=30∘，

∴𝐵𝑀=1𝐴𝐵=5(米)，

2

即点B距水平地面AE的高度为5米；

(2)在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑀中，∠𝐵𝐴𝑀=30∘，

∴𝐵𝑀=1𝐴𝐵=5(米)=𝑁𝐸，𝐴𝑀=3𝐴𝐵=53(米)，

2

2

∴𝑀𝐸=𝐴𝑀+𝐴𝐸=(53+21)米=𝐵𝑁，

∵∠𝐶𝐵𝑁=45∘，

∴𝐶𝑁=𝐵𝑁=𝑀𝐸=(53+21)米，

∴𝐶𝐸=𝐶𝑁+𝑁𝐸=(53+26)米，

在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中，∠𝐷𝐴𝐸=53∘，𝐴𝐸=21米，

∴𝐷𝐸=𝐴𝐸⋅tan53∘21×4=28(米)，

3

∴𝐶𝐷=𝐶𝐸𝐷𝐸=53+2628=5326.7(米)，

即广告牌CD的高度约为6.7米．

【解析】(1)根据坡度的定义，求出∠𝐵𝐴𝑀=30∘，再利用直角三角形的边角关系求出答案；

(2)在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑀中求出AM，进而求出ME，再在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝑁中，得出𝐶𝑁=𝐵𝑁，然后在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中求出

DE，即可求解．

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关

键．

20.【答案】直径所对的圆周角是直角

【解析】解：(1)如图，连接OD，OT，

∴∠𝑂𝐷𝑇=∠𝑂𝐵𝑇=90∘，

在𝑅𝑡△𝑂𝐷𝑇和𝑅𝑡△𝑂𝐵𝑇中，{𝑂𝐷=𝑂𝑇，

=𝑂𝐵

𝑂𝑇

；

(2)直径所对的圆周角是直角；

故答案为：直径所对的圆周角是直角．

(3)如图，连接OD，CE，

∵△𝐵𝐸𝐷是等边三角形，

∴∠𝐸𝐵𝐷=60∘，

∵𝐵𝐸是⊙𝑂的切线，

∴∠𝐸𝐵𝐴=90∘，

∴∠𝐷𝐵𝐴=30∘，

∴∠𝐷𝑂𝐶=60∘，

∵𝑂𝐷=𝑂𝐴，

∴△𝑂𝐷𝐴为等边三角形，

∵𝑂𝐷=2，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，

∴𝑂𝐶=1𝑂𝐴=1，𝐷𝐶=3，

2

∴𝐵𝐷=23=𝐵𝐸，

∵𝑂𝐵=2

∴𝐵𝐶=3，

在𝑅𝑡△𝐸𝐵𝐶中，由勾股定理得，

𝐶𝐸=(23)2+32=21.

(1)连接OD，OT，全等三角形的判定定理HL，即可得到结论；

(2)由圆周角定理可得答案；

(3)连接OD，CE，根据等边三角形的性质与判定及切线的性质得△𝑂𝐷𝐴为等边三角形，再由直角三角形的

性质及勾股定理可得答案．

此题考查的是圆的综合题目，涉及的知识点有：圆周角定理、切线的性质及判定定理、全等三角形的判

定、直角三角形的性质等内容．

21.【答案】解：(1)设A种办公椅x元/把，B种办公椅y元/把，

2𝑥+5𝑦=600

依题意得：{3𝑥+𝑦=380，

𝑥=100

解得：{𝑦=80.

答：A种办公椅100元/把，B种办公椅80元/把．

(2)设购买A种办公椅m把，则购买B种办公椅(100𝑚)把，

依题意得：𝑚3(100𝑚)，

解得：𝑚75.

设实际所花费用为w元，则𝑤=[100𝑚+80(100𝑚)]×0.9=18𝑚+7200.

∵𝑘=18>0，

∴𝑤随m的增大而增大，

∴当𝑚=75时，w取得最小值，最小值=18×75+7200=8550，此时100𝑚=25.

答：当购买75把A种办公椅，25把B种办公椅时，实际所花费用最省，最省的费用为8550元．

【解析】(1)设A种办公椅x元/把，B种办公椅y元/把，根据"购买A种办公椅2把，B种办公椅5把，共

需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅1把，共需380元"，即可得出关于x，y的二元一次方程

组，解之即可得出结论；

(2)设购买A种办公椅m把，则购买B种办公椅(100𝑚)把，根据购买A种办公椅的数量不少于B种办公

椅数量的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设实际所花费用为w

元，利用实际花费=单价×总价×折扣率，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解

决最值问题．

本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准

等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．

22.【答案】解：(1)把点𝐴(4,2𝑎4)代入抛物线解析式𝑦=𝑥2+(𝑎1)𝑥2𝑎，

得2𝑎4=(4)24(𝑎1)2𝑎.

解得𝑎=3.

∴抛物线的解析式为𝑦=𝑥2+2𝑥6.点A的坐标为(4,2).

(2)∵抛物线的对称轴为直线𝑥=2=1，且3𝑥2.

2

∴当𝑥=