2022-2023学年上海市浦东新区南汇中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市浦东新区南汇中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知集合，若全集，则．2．陈述句“或”的否定形式是．3．不等式的解为．4．设，，若是的必要条件，则实数的取值范围为．5．已知关于的不等式的解集为，则．6．设，，则．7．若，，则（结果用、表示）．8．已知，则的最小值为．9．已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为．10．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．11．设集合，3，5，，若非空集合同时满足：①，②（A），（其中表示中元素的个数，（A）表示集合中最小的元素）称集合为的一个好子集，则的所有好子集的个数为．12．已知，，且，则的最小值为．二、选择题：（共4小题，每小题3分，满分12分）13．设命题甲：“”，命题乙：“”，那么命题甲是命题乙的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．若，，则下列正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则15．已知、、，下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．设集合，，，，其中，，下列说法正确的是A．对任意，是的子集，对任意，不是的子集 B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集 C．对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集 D．对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集三、解答题：（第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分）17．（8分）设集合，，若，求实数的取值范围．18．（8分）设，，，是四个正数．（1）已知，比较与的大小；（2）已知，求证：，，，中至少有一个小于1．19．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，如图所示，在相邻区域之间间隔，三块矩形区域的前、后与内墙各保留宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留宽的通道．设矩形温室的室内长为，三块种植植物的矩形区域的总面积为．（1）用表示；（2）当为何值时，最大，并求出该最大值．20．（12分）若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数．（1）若，求的取值范围；（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，说明理由．21．法国数学家佛朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理．韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题．（1）关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值；（2）关于的方程有两个实数根、，若，求实数的值；（3）已知集合，，有且仅有3个元素，这3个元素恰为直角三角形的三条边长，求，的值．

2022-2023学年上海市浦东新区南汇中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知集合，若全集，则或．解：因为集合，全集，所以或．故答案为：或．2．陈述句“或”的否定形式是且．解：由命题的否定方法，的否定为，的否定为，所以“或”的否定形式是且．故答案为：且．3．不等式的解为或．解：即即解得或故答案为或4．设，，若是的必要条件，则实数的取值范围为，．解：是的必要条件，，，的取值范围为，．故答案为：，．5．已知关于的不等式的解集为，则．解：关于的不等式的解集是，所以方程的解为：和3，由根与系数的关系知，，，解得，所以．故答案为：．6．设，，则．解：，，则，原式，故答案为：．7．若，，则（结果用、表示）．解：由题意可得，故答案为：．8．已知，则的最小值为．解：，，，当且仅当时，取等号．故答案为：9．已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为，，．解：由已知可得集合，，因为，则，，，，，当时，，当时，，当时，，当，时，不成立，故的取值集合为，，，故答案为：，，．10．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．解：当时，不等式为，此时解集为，符合题意，当，即时，由开口向上的二次函数可知不可能为空集，故不符合题意，舍去，当即时，此时△，解得，综上所述，实数的取值范围是．故答案为：．11．设集合，3，5，，若非空集合同时满足：①，②（A），（其中表示中元素的个数，（A）表示集合中最小的元素）称集合为的一个好子集，则的所有好子集的个数为8．解：①当，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为：，，，，②当，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为：，，，，，，③当，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为：，5，，的所有好子集的个数为8．故答案为：8．12．已知，，且，则的最小值为．解：令，，则，且，，，当且仅当取等号，即，，时成立．故答案为：．二、选择题：（共4小题，每小题3分，满分12分）13．设命题甲：“”，命题乙：“”，那么命题甲是命题乙的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：由得，由得，由于，故命题甲是命题乙的充分不必要条件，故选：．14．若，，则下列正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则解：对于，若，则，故错误；对于，若，则，故正确；对于，若，则，，故错误；对于，若，则，故错误．故选：．15．已知、、，下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①，若，，则，所以①错误．②，若，则，所以②正确．④，若，如，，，则，所以④错误．③，若，即，同号，所以，所以③正确．所以正确的个数是2个．故选：．16．设集合，，，，其中，，下列说法正确的是A．对任意，是的子集，对任意，不是的子集 B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集 C．对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集 D．对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集解：对于集合，，可得当，即，可得，即有，可得对任意，是的子集；当时，，，可得是的子集，故错误，正确；当时，，且，可得不是的子集．综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集，故错误，错误．故选：．三、解答题：（第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分）17．（8分）设集合，，若，求实数的取值范围．解：若，则，即故．若，则，即，即．（7分）因为，即，所以．解得，故实数的取值范围为，（12分）18．（8分）设，，，是四个正数．（1）已知，比较与的大小；（2）已知，求证：，，，中至少有一个小于1．解：（1）由，且，，两边同乘以得，，由于，，，，均为正数，所以，故．（2）证明：假设，，，都不小于1，即，，，均大于等于1，即，，，，由均值不等式得：，故，当且仅当时等号成立，这与矛盾，故假设不成立，原命题成立．19．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，如图所示，在相邻区域之间间隔，三块矩形区域的前、后与内墙各保留宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留宽的通道．设矩形温室的室内长为，三块种植植物的矩形区域的总面积为．（1）用表示；（2）当为何值时，最大，并求出该最大值．解：（1）由题意得矩形温室的室内长为，则矩形温室的室内宽为，则三块种植植物的矩形区域的总面积为，由题意得，解得，，且；（2）由（1）可得，，，（当且仅当时取等号），，此时长为．故长度为60米，的最大值676平方米，20．（12分）若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数．（1）若，求的取值范围；（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，说明理由．解：（1），当时，，解得：，与取交集得，当时，，故，当时，，解得：，与取交集得，综上：的取值范围是；（2）对一切实数恒成立，因为，故，实数的取值范围为，．（3），，其中的几何意义为：在数轴上一点到的距离之和，要想距离之和最小，其中时，取得最小值，当时，取得最小值，当时，取得最小值，综上：当时，取得最小值，最小值为，故的最小值为9．21．法国数学家佛朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理．韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题．（1）关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值；（2）关于的方程有两个实数根、，若，求实数的值；（3）