课程上课课件第2章刚体力学

第2章 刚体力学(

The

rigid

body

mechanics

)§2.1

刚体的定轴转动§2.2

刚体定轴转动定律及其应用§2.3

转动中的角动量§2.4

刚体定轴转动的功和能刚体形状、大小不变的物体实际物体在外力作用下形状和大小会有一些变化，若这种变化对所讨论的问题的影响可忽略，即视为刚体刚体可看作一组质点系，其中任意两质点间距离不变自由度刚体的位置由3个不共线的点确定，自由度为6刚体运动学刚体的一般运动可看作刚体随某点(例如质心)的整体平动和绕该固定点的定点转动的组合3个平动自由度，3个转动自由度刚体的定点转动可看作刚体绕某一瞬轴的转动刚体的定轴转动：若刚体上有两个固定点(速度为0)，刚体的运动为定轴转动，过两个固定点的直线为转轴刚体的定轴转动自由度为1，属于约束运动刚体动力学

Fi

Mi平动转动动量：若刚体的质心为固定点，动量守恒角动量：定轴转动定律机械能：刚体中内力不做功2d

rij

=

2rij

drij

=

0

\

drij

=

0fij内力沿两质点连线等效力系，力系的简化§2.1

刚体的定轴转动(The

rotation

of

a

rigid

body

about

a

fixed

axis)平动和转动角速度和角加速度刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的转动惯量1)平动(任意两质点的连线方向始终不变)

DrA

=

DrB\

vA

=vBA

Ba

=

aAABDrADrBv

=

0w2)转动特点:各质点角位移,角速度,角加速度相等;位移,速度,加速度不相等。纯滚动u

=rwr特点:刚体上每个质点的位移、速度、加速度均相等v

=

2uuurw

DtDtfi

0DtDtfi

0limDrA

=

limDrB2.1.1

平动和转动(The

translation

and

rotation

of

a

rigid

body)刚体(特殊的质点系):受力时物体的形状和体积不变刚体的基本运动

(平动 转动）刚体运动随处可见,观览轮盘是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回转的装置。轮盘和吊箱的运动各有什么样的特点?如何描述?2π

π=T

10

·

60

300x2

+

(

y

+

L)2

=

R2A

A解:

w

=

2π

=例1:一大型回转类“观览圆盘”如图所示。圆盘的半径R=25m，供人乘坐的吊箱高度L=2m。若大圆盘绕水平轴匀速转动，转速为0.1

rev/min。求:吊箱底部A点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。吊箱运动为平动设t

=0时，角位置为q0xA

=

xB

=

R

cos(wt

+q0

)yA

=

yB

-

L

=

R

sin(wt

+q0

)

-

LwAyAxA+v

2

=

Rw

=

0.26v

202=

-Rw

cos(wt

+q

)dta

=AxAx\

v

=dv+

a2

=

Rw

2

=

2.7

·10-3

m

/

s2a2\

a

=AyAxA02=

-Rw

sin(wt

+q

)dta

=AyAydv0=

-Rw

sin(wt

+q

)dtdxAAxv

=0=

Rw

cos(wt

+q

)dtdyAAyv

=2.1.2

角速度和角加速度(The

angular

velocity

and

angular

acceleration)Pwvxq

rDqβOzdqw

=dtdw

d2qb

=

dt

=

dt

2角位置

q

角位移

Dq角速度角加速度1.刚体绕定轴转动的角量描述刚体各点绕同一转轴作圆周运动方向:沿轴向,右手螺旋2.角量与线量关系

P点速度、加速度{v

=

rw

a2an

=

r

=

rwv2=

rbat

=dv

dtq

=

q

+

w

t

+

bt

2

/

20

0w

=

w

0

+

bt0w

2

-w

2

=

2bDq当b

=const.例2:

一飞轮转速n=1500rev/min，受到制动后均匀地减速，经t=50s后静止。求角加速度b和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N；求制动开始后t=25

s时飞轮的角速度w

；设飞轮的半径r=1m，求在t=25

s时边缘上一点的速度和加速度。解:(1)设初角速度为w

,方向如图0量值为w0=2p·1500/60=50p

[rad/s]在t=

50s时刻,

w

=

0

,代入方程w

=w0

+b

t

得5020=

=

-π[rad/s

]w

-

w

-

50πtb

=Ow

0Pvrb从开始制动到静止,飞轮的角位移Dq及转数N分别为21

12- ·

π

·

50

22=

50π

·

50Δq

=

q

-

q0

=

w

0

t

+

bt=

1250

π

[rad]N

=

Δq

=

1250π

＝625[rev]2π

2π(2)t=25

s

时飞轮的角速度w

=

w

0

+

bt

=

(50

π

-

π

·

25

)=

25

π[rad/s

]w的方向与w0相同;Ow

0

,wPvr=

wr

=

25π[m/s]v

=

v

=

wr

sin

j

=

wr

sin

90(3)t=25

s

时飞轮边缘上一点P的速度可由

v

=

w

·

r求得。所以方向如图相应的切向和法向加速度分别为ta

=

br

=

-

π[m/s

2

]2

3

2a

n

=

w

r

=

6.16

·

10

[m/s

](

6.16

·

10

3

)

2

+

3.14

2\

a

=

a

2

+

a

2

=n

t»

6.16

·

10

3

[m/s

2

]na的方向几乎和

a

相同。Ow

0vr

an

ata

PbOrivi

=

w

·riDmi2.1.3

刚体定轴转动的角动量(The

angular

moment

of

a

rigid

body

about

a

fixed-axis

rotation

)第i

个质元Dmi对O点的角动量:z

+

riz

)·viL

=

R

·(Δm

)

=

Δm

(ri

i

ivi

i

iwLRiiz

gi

=

Δmi

ri

·vi

+Δmi

riz

·viLiLih=

Liz

+

Lih2

=

Δmi

ri

w

-

Δmi

Ri

cosgiw

riii

ii

iihhL

=wΔm

R

cosg

r

)L

=

(-iii

Lz

=

Liz

=

(Δmi

ri

)w2刚体的角动量：i

ih

ih

i

i

i

iΔm

R

cosg

r

)wL

=

(-L

=若转轴为刚体对称轴，Lh为零；一般情况下Lh不为零，方向与转轴垂直，且随着刚体以角速度ω绕轴转动wLhdLhLh不为零时，在水平方向上角动量不守恒，需要一相应的外力矩以满足角动量定理刚体的定轴转动为约束运动，转轴会对刚体提供相应的侧向约束力，以满足水平方向的力矩要求。因此对定轴转动问题，只需考虑z(转轴)方向的动力学。

Lz

=

Liz

=

(Δmi

ri

)w

=

w

r

dm

=

Jw2

2i

iLz与O点位置无关，J只与刚体的结构有关(转动惯量)2.1.4

刚体定轴转动的转动惯量(The

moment

of

inertia

of

a

rigid

body

about

a

fixed-axis

rotation

)1.质点(m)对转动轴的转动惯量:J

=

mr

22.质点系对同一个转动轴的转动惯量:22

21

1

2

2i

im

r+

m

r

+

.....

=J

=

m

rr

2dmJ

=

r

2dm3.刚体的转动惯量刚体上取质元dm,质元对转动轴的转动惯量:刚体的转动惯量r

•mwr

dm•rimi•r2•m2r1m•1r

是质元到转轴的垂直距离(或转动半径)Vdm=rdV

J

=r

rdV2木(J小)

铁(J大)2)J与质量的分布有关(m相同，半径相同)球J

最小圆盘

圆环

J最大3)J与轴的位置有关LJ

=r

ldl2l[kg/m]线密度dm=

ldls[kg/m2]面密度dm=sdSSJ

=r

sdS2r[kg/m3]体密度说明1)J与质量有关平行轴定理：刚体对任一轴A的转动惯量JA和通过质心c并与A轴平行的轴的转动惯量Jc有如下关系:dmr

r’2c22

2AV

V+

mddm

=

(r

+

d

-

2xd

)dm

=

Jr¢J

=

J

=

J

+

md

2A

c取c为原点r¢2

=

x¢2

+

y¢2

=

(x

-

d

)2

+

y2A

xcdy垂直轴定理：薄板刚体对板内互相垂直的两条轴的转动惯量为Jx和Jy，则薄板对过xy交点且与xy轴垂直的z轴的转动惯量：zxydmyxV

VzJ

=

(x

+

y

)dm

=J

+

Jr

dm

=2

22薄板忽略z方向厚度J

z

=

J

x

+

J

y刚体定轴转动时，沿转轴方向的角动量(对轴的角动量)L

=

Jw类比于动量p

=

mvL

—

p，J

—

m，w

—

v一般情况下，转动惯量为二阶张量

zx

zy zz

z

J

J

J

L

Ly

=

J

yx

Lx

w

J

yz

w

y

J

xx

J

xy

J

xz

w

x

J

yy

z

绕z轴转动时Lx

=

J

xzw

z

Ly

=

J

yzw

z

Lz

=

J

zzw

z惯量张量非对角元为零时角动量方向与角速度方向相同定轴转动惯量是惯量张量的Jzz分量例3:质量为m,长为l的匀质棒的转动惯量求:

1)定轴在一端, 2)定轴在质心xyO解:

积分四大步:化整为零,写出微分寻找对称,选择坐标引入密度,统一变量定上下限,积零为整1)dJ2202213mlmllJ

=

x

dm

=xx

dx

=yOc2)由平行轴公式14

12ml2l

2J

=

J

-

m

=cdmdxm2

2=

x

dm

=

x

ldx

=

x

dxl例4:

质量为m,长为l的均匀细杆,中点有一垂直于杆的转轴。杆绕轴旋转的角速度为w求:

杆对O轴的角动量。·Oxdm

dx解:质元dm对O轴的角动量为ldx2

m2dL

=

wx

dm

=

wx则杆对O轴的角动量:lmL

=

w

l12x

dx

=ml

2w2

l

2-

2=Jw

方向:⊙wdL

=

r

·vdmvr

=

xi方向:

⊙J

=220

0321dmRr

drR

2πq

=r

sdS

=

s2问:1)圆盘绕y轴的转动惯量?(Jy=

1

mR

2

+

mR

2

)2112

2-

m

R

)(J

=

mR2)圆盘边缘有一质量为m1的小块(很小)脱落了,求绕OO'轴的转动惯量?例5:均匀圆盘(m,R)绕OO'轴的转动惯量yOO解:取面积元dS,其质元的质量为dmdm

=

sdS

dS

=r

dq

dr则质元dm对OO'轴的转动惯量为dJ

=

r

2dm

=

r

2sdSdSdrdqr43)圆盘对沿直径转轴的转动惯量?

(

J

=

1

mR

2

)§2.2

刚体的定轴转动定律及应用(The

law

of

a

rigid

body

about

a

fixed-axis

rotation

and

it's

application)刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律的应用2.2.1

刚体的定轴转动定律(The

law

of

a

rigid

body

about

a

fixed-axis

rotation

)1.绕定轴转动的力矩rF^F//FzyxM

=

R

·

FO

=

r

·

F^

+

r

·

F//

+

d·

FF

对点O转动的力矩:(moment

of

force

about

a

fixed-axis

rotation

)F

对转轴z的力矩为对O点力矩的z方向分量:M

=

·

Fr

^aOMO

PRMd

=

r

·

F

+

d

·

FM

=

r

·

F^

=

r

·

F^

t

+

r

·

F^

n通过转轴的力不产生力矩

^t

^

z=

rF

sina

eM

=

r

·

F力对定轴的力矩只需考虑力作用点到轴的距离以及力在垂直于OPZ平面的分量rF^OF^

tF^

naP在垂直与转轴方向(水平方向)，有约束力提供力矩。考虑水平方向的动力学方程只能给出约束力的信息。侧向约束力通过轴心，不提供沿转轴方f向的力矩。但当考虑转轴半径时，转轴处的力可以提供沿转轴方向的力矩。约束力一般会提供冲量，因此动量不便使用

对定轴的合外力矩对定轴的合外力矩等于各分力矩的矢量和:M

=

M1

+

M2

+....M

=0·N

+0·mg

+R1

·F1

+R2

·F2沿轴线选定力矩方向:与w

相同的方向为力矩的正方向M

=

0

+

0

-

RF1

+

RF2F1F2mgNR

˜

+MdtdLM

=转动定律：意义:刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此力矩作用下所获得的角加速度的乘积。说明定律的瞬时性,与牛顿第二定律对比。定律中各物理量是对同一转轴而言的。矢量方向(沿转轴)固定，可看作标量方程。M

:对轴的合外力矩

M

=

Jb2.刚体定轴转动定律角动量定理，在沿转轴z方向Mzdt=

J

dw=

dLzF

=

ma类比M

—

F，J

—

m，β

—

adtdwdtb

=w一质量为M的均匀细杆，长度为l，绕通过杆中心O的转轴做匀速转动，角速度为ω，杆与转轴夹角为θ，转轴被AB两点固定，AO=BO=d，求A、B两点对轴的水平作用力(约束力)AOB

ii

iiih

i

ihcosg

r

)L

=

(-

Δm

R

L

=120202Ml

w

sinq

cosqwMMhl/

2hL

=

-dR

R

sinq

cos(p

-q)wldR

R

sinq

cosq

-lL

=

--l

/

2水平方向角动量θRhh12Mdt=

dLh

1

2=

w

·

L

M

=

Ml2w

sinq

cosq1Ml2w

2

sinq

cosq24d方向A向左B向右合力为0f

=f

A

=

-

fBh

12f

A

=

fB

=

f

Mh

=

2

fd力矩解题步骤:认刚体;定转轴,找运动;分析力和力矩;定转向,列方程。2.2.2

定轴转动定律的应用(The

application

of

the

law

about

a

fixed-axis

rotation)二类问题:第一类:由角量运动,求力矩。(微分法)第二类:由力矩及初始条件,求运动。(微分方程)特别注意:明确转动轴位置。选定转动的正方向,

注意力矩、角速度、角加速度的正负。同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。对轮:对m

:TR

=

Jb

(1)bTN解:轮与m为联结体,轮为定轴转动,m为平动,m速度大小与轮边缘线速度大小相等。Gmgmg

-

T

=

ma

(2)T

' =

-

Tma例6:己知:定滑轮为均匀圆盘,其上绕一细绳,绳一端固定在盘上,另一端挂重物m,绳与轮无相对滑动,绳不可伸长,轮半径R=0.2m,

m=1kg,

m下落时间t

=3s,

v0=0,h=1.5m。求:轮对O轴J

=?Rhmt绳v0=0O˜

+x22hgt

2联立解得:

J

=

(-1)mR

=

1.14[kg

m2

]运动学关系:a=Rb(3)(4)2h

=

1

at

2用转动定律解题小结：平动物体,用隔离体法,写出牛顿方程转动物体,用隔离体法,分析力矩,写出转动方程由角量和线量关系,将平动和转动联系起来v

=

rw

,

at

=

rbm2

:

m2

g

-T2

=

m2a2B+

J

)bm

,

m

:

r

T

-

r

T

=

(JA

B

A

2

B

1

A˜

+a1

=

rB

ba2

=

rA

b解得:a

=0.82[m/s2],a

=1.63[m/s2]例7:

组合轮由二个匀质圆盘固结而成,

己知mA=

6kgrA=0.1m,mB=4kg,rB=0.05m,二盘边缘绕有细绳,绳子下端挂二个物体m1=m2=2kg,

二个物体离地面高度均为

h=2m,

求1)二物体的加速度a1,a2

;

2)下降物体着地时间,3)绳中张力解:1)

m

1

:

m

1

g

-

T1

=

-m

1

a1a2a1x12)h=a2t2/22t=1.56[s]3)T1=m1(g+a1)=21.2[N],

T2=m2(g－a2)=16.3[N]m

g2m

g1hAB1T2

T例8:

如图装置,己知木块(m1=5kg)可在斜面上滑动

(m=0.25)斜面倾角q=30º定滑轮(m=20kg,R=0.2m),重物m2=10kg设绳与轮之间无相对滑动求重物m2加速度,绳中张力?1

1

1

1解:

m

:T

-

f

-m

gsinq

=

m

am2

:

m2

g

-T2

=

m2am

:

T2

R

-T1

R

=

Jb2J

=

1

mR

2a

=

Rbf

=

mm g

cos

qm1

+

m

2

+

m

/

21解得

a

=

m

2

-

mm1

cos

q

-

m1

sin

q

=

2.52[m/s

2

]T2

=

m2

(

g

-

a)

=

72.8[N]T1

=T2

-

Jb

/

R

=

47.6[N](m,R)m

g1m

g21T2Tfa初始时它在水平位置求:它由此下摆q

角时的wm

lqx解:dm

质元gdmM

=

dM

=

1

mgl

cosqb

=

Mdwdwb

=

dt

=

w

dq0

0例9:均匀细直棒m

、l

，可绕轴O

在竖直平面内转动ldm

=

m

dxdm

重力矩

dM

=

gdm

x

cosq3J1ml2J

=2l3g

cosqb

=dq3

g

cosq2lw

qwdw

=

2重力对棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩\

w

2

=（3g

sinq）/

lO•例10:

匀质圆盘(m,R),初角速度w0

不计轴承处的摩擦,如空气对圆盘表面每单位面积摩擦力正比于该处速率,即f=kv

(k为常数)求:1)t时刻圆盘角速度为w

时,所所受的空气阻力矩:

00dq2

π

Rr

3dr

=

-πkR4wM

=

-2kw受空气阻力矩? 2)圆盘停止前转数?解:

取刚体m为对象,

w

0为正方向设t

时刻圆盘角速度为w用积分法求力矩。1)取圆盘上的面积元dS,该面积元w

0v

=

rw2

fdS\

M

=

dM

=

-2

rkvr

dq

drdq

rdrdSdMdM

=

r

·(2

fdS

)\

dM

=

-2rf

dS

=

-2rfr

dq

dr2)根据转动定律M

=Jbd

t2d

w=

1

mR-

π

kR

4

wwdq00dw

=

-mq

-

2πkR

2w

dt

=

0m22πkR

20w2πkR

2mq

=2π

4π

2

kR

2mw

0N

=

q

=刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量守恒定律*2.3.3

进动§2.3

转动中的角动量(The

angular

moment

in

rotation

)dt

dtdL

=

d(Jw

)

=

JbdtM

=

dL刚体的角动量定理:刚体所受合外力矩等于刚体角动量对时间的变化率。21L1tL2t

dL

=

L2

-

L1Mdt

=刚体的角动量定理:刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量。微分形式积分形式注意式中合外力矩及角动量都是对同一个轴的。式中角动量与力矩都是沿转轴方向分量，可看作标量方程。2.3.1

刚体定轴转动的角动量定理(The

theorem

of

angular

momentum

about

a

fixed-axis

rotation)2.3.2

刚体定轴转动的角动量守恒定律(The

conservation

of

angular

momentum

abouta

fixed-axis

rotation)刚体定轴转动角动量

L

=

J

守恒wM

=

0当

时J

(t

)ω(t

)=常量3)变形体所受合外力矩为零时,角动量也守恒。J(t)大,w(t)小J(t)小,w(t)大说明沿转轴方向外力矩为零，刚体定轴转动的角动量守恒。转动惯量J不变,角动量守恒时,刚体将以恒定角速度w

绕定轴转动。如:导航定向回转仪Nxy0vm13ML2

+

my2mv0

y\

w

=w例11:

一均质棒,长度为L,质量为M,现有一子弹在距轴为y

处水平射入细棒。求:子弹细棒共同的角速度w

。解:子弹、细棒系统的角动量守恒mv0

y

=

Jw3例y

=2

L

(打击中心)时，Nx=0,

则水平方向动量守恒3+

J

=

1

ML2

+

my

2其中

J

=

J子弹棒碰撞前后系统水平方向动量是否守恒?取决于转轴对棒作用力在水平方向投影Nx

是否等于0Nxyv0mw3y

=2

L

时，水平方向动量守恒的验证作用后m

w

y均质棒子弹作用前

mv0

+

0+=？(w

L/2)M

(质心)讨论31

ML2

+

my2mv0

yw

=其中例12:转台绕过质心的铅直轴转动,初角速度为w0

,转台对此轴的转动惯量J=5·10-5kg·m2,今有砂粒以每秒1g速率垂直落在转台上,砂粒落点距轴r

=0.1m,求:砂粒落20Jw

=

(J

+

0.001tr

2

)

w

0=

5[]s=1

·10

-3

·

0.12J

5

·10

-5t

=0.001

r

2在转台上使转台角速度减为w0/2所需时间?解:取转台和落下的砂粒为系统M

=0\L

守恒t

时刻落下的砂粒质量:m=0.001t

[kg]rw

0

dL

=

Mdt高速自旋的物体的转轴在空间转动的现象称为进动。dtdL对O点的重力矩:

M=mgr角动量定理:

M

=进动的角速度:wL

JwpL

M

mgr=

=dt

dt=

dq

=

dLdt

时间内轴OO'转过dq

角rOLdLOML

+dLdqwp设自旋刚体对O点的角动量为L,

就是对本身对称轴OO¢的角动量。*2.3.3

进动(Precession)(又叫旋进)OwLmgM

˜^

L

(俯视图)mgfvw

p•cw

L为什么炮筒内壁上刻有螺旋线(又称来复线)?§2.4

刚体定轴转动的功和能(The

work

and

energy

of

a

rigid

body

about

a

fixed-axis

rotation)力矩的功定轴转动刚体的机械能定轴转动刚体的动能定理2.4.1

力矩的功(The

work

of

moment

of

force)FwOrPΔqf1q2qMdqA

=^a

Fcosf

=

sina外力F对刚体所做的元功:DA

=

F^

Dr

cos

f

=

F^

r

sin

aDq=

MDq对一有限过程：力矩的瞬时功率P:P

=

DA

=

Mdq

=

MwDt

dt力对刚体所做的功可用力矩与刚体角位移乘积的积分表示,称为力矩的功。Dr

2.4.2

定轴转动刚体的机械能(The

mechanical

energy

of

a

rigid

body

about

a

fixed-axis

rotation)wOrivi

=

wriiDm1.刚体的转动动能第i

个质元的动能刚体转动动能221i

ikiDm

vE

=22211N2i

iNi=1i=1

2=

(

Δmi

ri

)wEk

=

Δm

v2kE

=

1

Jw

2J

—

m，ω

—

v2.刚体的重力势能各质元重力势能的总和,就是刚体的重力势能。iihiEp

=

mghcmi

iDm

h=

mg

i

c=

mghhiDmiEp=0hcc•质心的势能Ep

=

Dmi

g

hi

=

g

Dmi重力正比于质量212212

21q2qJw

-

JwM

dq

=外1外M

dqA

=2kE

=

1

Jw

22.4.3

定轴转动刚体的动能定理(Theorem

of

kinetic

energy

of

a

rigid

body

about

a

fixed-axis

rotation)1.动能定理刚体定轴转动动能定理意义:合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功(即力矩的功)等于刚体转动动能的增量。计算刚体动能时,是否考虑内力所做的功？A

=

Ek

2

-

Ek1动能定理:刚体定轴转动:-

Ek

1

+

Ep12.定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立:A外

+

A非保内

=

Ek

2

+

Ep

2若系统是一个包含刚体、质点、弹簧等复杂系统时,则系统机械能守恒:Ek

+

Ep

=

Const.2

2kE

=

1

mv

2

+

1

Jw

2

+

.....包括系统中所有物体相对于惯性系的动能。Ep

应包括系统中所有物体的势能。3.机械能守恒定律对于包括刚体在内的系统,若只有保守内力作功A外+A非保内=021J

=2

2Mr

2mgh

=

1

mv

2

+

1

Jw

2v

=

rwmghM

+

2mv

=

2h例13:滑轮(r,M)，在绳的一端挂一重物m，开始时静止，不计摩擦力。求:重物下落高度h

时重物的速度v

。mgO解:

取m、M和地球为系统。系统的机械能守恒，m

的重力势能转化为滑轮和m

的动能例14:

一匀质细棒长为l,质量为m,可绕通过其端点O的水平轴转动,如图。当棒从水平位置自由释放后,它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m,它与地面的摩擦系数为m

,相撞后,物体沿地面滑行一距离s而停止;求:相撞后棒的质心C上升的最大高度h,并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。解:可分为三个阶段。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时机械能守恒。把棒在竖直位置时质心所在处取为势能零点,用w表示棒这时的角速度,则C22

32

w

2l

1

1

12

2mg=

Jw

＝

(

ml

)O•C势能零点s第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短,冲力极大,物体虽受到地面的摩擦力,但可以忽略。棒与物体相撞时,它们组成的系统对O轴的角动量守恒。用v表示物体碰撞后的速度,则w

¢13

32(

1

ml

2

)w

=

m

v

l

+

(

ml

)由匀减速直线运动的公式得式中w'为棒在碰撞后的角速度,它可正可负。w'取正值,表示碰后棒向左摆;反之,表示向右摆。第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运动,加速度由牛顿第二定律求得为-

mmg

=

ma0

=

v

2

+

2as=

2

mgsv

2l2

mgs3

gl

-

3w

¢=当w'取正值,棒向左摆,其条件:当w'取负值,棒向右摆,其条件:2

mgs

>

03

gl

-

33

gl

-

32

mgs

<

0棒的质心C上升的最大高度h,与第一阶段情况相似,也可由机械能守恒定律求得:mgh

=

1

(

1

ml

2

)w

¢22

3l2+

3

ms

-

6

msl\

h

=CO•w'sh可以大于l

/2吗？¢13

312

2(

ml

)w

=

m

v

l

+

(

ml

)wl3

gw

=1

mgl

‡

1

m

v

2

+

1

(

1

ml

2

)w

¢22

2

2

3v

‡

lw8\

h

£

1

l？8ms

£

3

ldM例15:匀质圆盘(m,R)在水平桌面上可绕过圆心并与桌面垂直的轴转动,它与桌面之间摩擦系数为m

;求：1)从w0

到停止转了多少圈?2)用了多少时间?解法1: 1)

考察面积为dS的质元dm根据动能定理:A=Ek2k1022π

R0r

drπR2dq=

-m

mg21qqMdq

=

M

(Δq)—

E

A

=w

0πR2dm

=

m

r

dq

drdf

=m

g·dm32b取w

0

方向为正=

-

mmgRrdfdM

=

·df

\

dM

=

-r

dfrM

=

dM

=

-

rmg

dmdrdSdq

0

8

mg3

Rw

223

R

w

0

2

π 16

π

mgΔ

q=\

N

=解法2:

根据转动定律:M

=

Jb2

b23=

1

mR-

2

mmgR解得:3

Rb

=

-

4mgw

2

-

w

2

=

2bΔq02b

8mg-w

2

3Rw

2解得:

Δq

=

0

=

0

2)由w

=w

+bt04

mg=

3

Rw

0-

bt

=

w

02012JwmmgR(Δq)

=

0

--

23\

Δq

=m2例16:匀质细杆(m1,L)一端挂在墙上O处,一端固定有一物体(m2),求:1)转动惯量;2)从图中水平位置无初速落下时的b

;3)落到铅直位置时的角加速度、角速度。解:1)以m1、m2为系统的转动惯量:2

21

231+

m

LJ

=

m

Lm

gL

+

m g

L

=

Jb22

1解得(6m2

+

2m1

)Lb

=

(6m2

+

3m1

)g121

L2

2m2

gL

+

m1

gL

=Jw

+

m

g(3m2

+

m1

)L(6m2

+

3m1

)g\

w

=w

,

b取w

方向为正

2)由M

=Jb3)竖直位置时,棒受重力矩M=0,故此时角加速度b'=0以m1、m2、地球为系统的机械能守恒,得O

(m1,L)•例17:匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转,轻绳跨过圆盘一端与弹簧相连,另一端与质量为m的物体相连,弹簧另一端固定在地面上,轻绳与盘无滑动,系统处于静止状态,

此时靠近圆盘边缘质量为m0的小物块从h

高度处自由落下,与m碰撞后粘在一起。求:m下降的最大位移s。2120

0v0

=

2ghm0

gh

=

m

v解:

m0的质量很小,整个过程分成两个阶段,第一阶段:m0与m碰撞,但碰撞过程未引起m移动;第二阶段:m0与m一起下降。m0与m碰撞前的速度v0

:MvRm0v0

R

=

(m0

+

m)Rv

+

J取M、m、m0为系统,第一阶段角动量守恒:2MJ

=

1

MR2MRm0hmsk势能零点2020

02012121212Jk(x

+

s)gs

=kx

+

(m

+

m)

+M

R

v

2(m

+

m)v

+取M、m、m0、弹簧、地球为系统,只有保守力做功第二阶段机械能守恒(取下落s处为重力势能零点):其中x0

为m下降前弹簧的伸长量,且mg

=kx0滑轮与弹簧之间,滑轮与物体之间的内力做功多少?注意:易犯的两个错误:不分过程,从小物块m0下落开始,到发生碰撞,再到碰后系统下降的整个过程笼统处理,对全过程应用机械能守恒(完全非弹性碰撞,机械能有损耗)。对小物块m0与m的碰撞过程,对M、m、m0系统应用动量守恒。例18:

能绕OZ轴旋转的静止匀质圆盘(m1,R),盘底面与水平接触面之间的摩擦系数为m

,一个质量为m2的子弹以速度v

射入盘边缘并嵌在盘边,求:1)子弹嵌入盘边后盘的角速度?经多少时间停下来?盘共转多少角度?2)子弹与盘从w到停止转动,运用角动量定理)w122122

2m

Rm

vR

=

(m

R

+(2m2

+

m1

)R2m2vw

=解:1)子弹与圆盘相撞,

L守恒2tt1

M

d

t

=

L

2

-

L1ZOvM2=－f2R=－m

m2

gRw213221221m

R

)-

(m

R

+-

(

mm gR

+

mm

gR)Dt

=

0(2m1

+

3m2

)mg23m2v\

Dt

=M=M1+M2M1

=

dM1

=

-

rmgdm1=

-m022π

R021r

drπRdqmg132=

-

mm

gRMw1f2f取w

方向为正dq

rdrdS13)运用动能定理:q2qMdq

=

MDq

=

Ek

2

-

Ek122122121223wm

R

)(m

R

+-

(mm1

gR

+

mm2

gR

)Dq

=

0

-

2

(

2

m

2+

m

1

)(

2

mm

1

gR

+

3

mm

2

gR

)3

m

2v

2D

q

=与例15差不多刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动可看作是刚体随其上某基点A在平面内的平动和绕过基点且垂直于该平面的轴的转动的组合；2个平动自由度，1个转动自由度ABB刚体上每一点都在与某固定平面平行的平面内运动刚体上任意点在垂直于该固定平面方向的速度为零刚体的平面平行运动可由与该固定平面平行的任一截面的运动来代表；自由度为3ABABAB为方便处理，一般选取质心为基点实验室系中质心的在平面内的移动质心系中刚体绕过质心且垂直于平面的轴的定轴转动刚体的平面平行运动运动方程

Mi

=

Jc

bi

F

=

mac质心运动定理质心系中的定轴转动定理刚体动量P

=

mvc刚体角动量刚体动能2c2c21J

wkmv

+E

=外力的力矩外力的功cicA

=L

=

·