北京市朝阳区2012～2013学年度高三年级第2学期期中统一考试

北京市朝阳区2012～2013学年度高三年级第2学期期中统一考试数学试卷（理科）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．设集合，，则下列关系中正确的是（A） （B） （C） （D）2．命题“存在，使得0”的否定是.（A）不存在，使得（B）存在，使得0（C）对任意的，有0（D）对任意的，有3．已知函数则=（A）（B）（C）（D）4．已知等差数列的前项和为，若，则（A）54（B）68（C）72（D）905．已知非零向量a，b，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6．若关于的方程有两个不等的实数解，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）7．已知，，，则向量a与b的夹角为（A）（B）（C）（D）xy1-1O8.若函数的图象如图所示，则的xy1-1O(A)（1，）(B)（0，1）(C)（0，）(D)第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：考生请务必将第Ⅱ卷所有题目的答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．已知，则=.10．由直线与曲线所围图形的面积．11．函数的图象在点处的切线方程是.12.已知O是内部一点，，，且，开始a=2，i=1i≥2010?i=i开始a=2，i=1i≥2010?i=i+1结束输出a是否13．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是．14．一个计算装置有两个数据输入端口I，Ⅱ与一个运算结果输出端口Ⅲ，当Ⅰ，Ⅱ分别输入正整数时，输出结果记为，且计算装置运算原理如下：①若Ⅰ，Ⅱ分别输入1，则；②若Ⅰ输入固定的正整数，Ⅱ输入的正整数增大1，则输出的结果比原来增大3；③若Ⅱ输入固定的正整数，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来的3倍. 则=，若由得出，则满足的平面上的点的个数是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）在中，角所对的边分别为，满足，且．（Ⅰ）求的值和的面积；（Ⅱ）若，求的值．16．（本小题满分13分）已知各项均为正数的等比数列中，，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和.17．（本小题满分13分）设函数是定义在上的奇函数，其图象在点处的切线方程是.（Ⅰ）求，，的值；（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值.18．（本小题满分13分）已知函数（I）求出的最小正周期及函数图象的对称中心；（II）设，若函数为偶函数，求满足条件的最小正数的值.19．（本小题满分14分）已知函数（为常数，且）满足条件，且函数只有一个零点．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求实数（），使得的定义域为时，的取值范围是.20．（本小题满分14分）已知函数，（）.（I）若时，函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围；（II）在（I）的结论下，设函数，，求函数的最小值（用含的式子表示最小值）；（III）设函数的图象与函数的图象交于点，，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，，问是否存在点，使在M处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷参考答案及评分标准（理科）2010.11一、选择题（每小题5分，共40分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）(7)(8)答案BDACBDAC二、填空题（每小题5分，共30分）题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案，，3三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.解：（Ⅰ）因为且，所以.………………3分所以.……………6分因为，所以.…8分（Ⅱ）因为，所以.……10分因为，，所以……………12分.所以.………13分16.解：（Ⅰ）由已知得：…………………2分解得，.……4分则数列的通项公式为.………………6分（Ⅱ）==.……………10分则=.………………13分17.解：（Ⅰ）因为为奇函数，所以.即.解得.…………2分又直线的斜率为 ，所以.…………4分把代入中得…………………5分点在函数的图象上，则…………6分解得，.所以，，.………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知.所以.……8分列表如下：极大值极小值………11分所以函数的单调增区间是和.因为，，，所以在上的最大值是，最小值是.…13分18.解：（I）…………2分=.………………4分所以函数的最小正周期.…………5分令=,即().…………6分则函数图象的对称中心是().…7分（II）==,依题意，().……11分所以().………12分则满足条件的最小整数的值为.………13分19.解：（Ⅰ）因为二次函数f(x)＝ax2＋bx满足条件，所以函数f(x)图象的对称轴是直线x＝1．所以－eq\F(b,2a)＝1，即b＝－2a．…………2分因为函数只有一个零点，即ax2－(2a＋1)x＝0有等根．所以△＝(2a＋1)2＝0.………………4即a＝－eq\F(1,2)，b＝1．所以f(x)＝－eq\F(1,2)x2＋x．……6分（Ⅱ）①当m＜n＜1时，f(x)在[m，n]上单调递增，f(m)＝3m，f(n)＝3n所以m，n是－eq\F(1,2)x2＋x＝3x的两根．解得m＝－4，n＝0；………8分②当m≤1≤n时，3n＝eq\F(1,2)，解得n＝eq\F(1,6).不符合题意；…………10分③当1＜m＜n时，f(x)在[m，n]上单调递减，所以f(m)＝3n，f(n)＝3m即－eq\F(1,2)m2＋m＝3n，－eq\F(1,2)n2＋n＝3m．相减得－eq\F(1,2)(m2－n2)＋(m－n)＝3(n－m)．因为m≠n，所以－eq\F(1,2)(m＋n)＋1＝－3．所以m＋n＝8．将n＝8－m代入－eq\F(1,2)m2＋m＝3n，得－eq\F(1,2)m2＋m＝3(8－m).但此方程无解．所以m＝－4，n＝0时，f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]．………1420.解：（I）依题意的定义域为.因为在是增函数，所以对恒成立. ………………2分所以.因为，所以（当且仅当时取等号）.所以的取值范围是.……………4分（II）设，则函数化为，.因为，所以当，即时，函数在上是增函数.当时，；……………………6分当，即时，当时，；当，即时，函数在上是减函数.当时，.…………………8分综上所述，当时，的最小值为，当时，的最小值为.当时，的最小值为.……9分