计算坐标与坐标方位角地基本公式

二计算坐标与坐标方位角的基本公式控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标，控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的。下面介绍计算坐标与坐标方位角的基本公式，这些公式是矿山测量工中最基本最常用的公式。一、坐标正算和坐标反算公式1．坐标正算根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边长计算待定点的坐标，这种计算在测量中称为坐标正算。如图一所示，已知点的坐标为x、yA,到的边AA长和坐标方位角分别为S和€，则待定点的坐标为ABABx=x,Ax IBAAByB=yA，AyAB（5—1）式中 Ax、Ay 坐标增量。AB AB由图5—5可知（5—2）Ax =S COS€AB AB ABAy =S sin€AB AB AB}式中 S——水平边长；AB€——坐标方位角。AB将式（5-）2代入式（5-）1，则有x=x+SCOS€B A AB ABB A AB AB}y=y+Ssin€B A AB AB当点的坐标x、y和边长S及其坐标方位角€为已知AAABAB时，就可以用上述公式计算出待定点的坐标。式（一）是计算坐标增量的基本公式，式（5—3）是计算坐标的基本公式，称为坐标正算公式。从图一可以看出Ax是边长S在轴上的投影长度，ABABAy是边长S在轴上的投影长度，边长是有向线段，是在ABAB实地由量到得到的正值。而公式中的坐标方位角可以从0°到36°0变化，根据三角函数定义，坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种情况，其正负符号取决于坐标方位角所在的象限，如图5一6所示。从式（5一2）知，由于三角函数值的正负决定了坐标增量的正负，其符号归纳成表一3坐标增量符号坐标增量符号表位角坐标方所在象限负号（。）IIIIIIV坐标增量的正例已知点坐标x .0 .边长AA0方位角€ 3。求点的坐标x、y。ABABBB解：根据公式（一）有x=x„scos€ =100„100-cos330°=186.1mB A AB ABy=y„ssin€ =300.1„100-sin330，=249.6mB A AB AB、坐标反算由两个已知点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角和边长，这种计算称为坐标反算。由式（5—1）有Ax=x-x IABBA

AyAB=yB-yA（5—4）该式说明坐标增量就是两点的坐标之差。在图一中AxAB表示由点到达点的纵坐标之差称纵坐标增量；Ay表示AB由点到点的横坐标之差称横坐标增量。坐标增量也有正负两种情况，它们决定于起点和终点坐标值的大小。在图一中如果点到点的坐标已知，需要计算边的坐标方位角€和边长时S,AB AB则有tan€ =yB…yA=ALbABx一x AxBA AB

AxAyS， AB—， AB—ABcos€ sin€AB AB或 S，、:（Ax„2+（AyJ2AB、AB AB公式（5—5）称为坐标反算公式。应当指出，使用公式（—）中第一式计算的角是象限角R应根据么、么的正负号，确定所在象限，再将象限角换算为方位角。因此公式（—5中的第一式还可表示为：厂 y一y AyR，arctan—b A，arctan——ABTOC\o"1-5"\h\zAB x-x AxB A AB例2已知x 0 O 0 求、A A B B二点连线的坐标方位角€和边长S。AB AB解：由公式（5-55有，arctan(-l)y一y，arctan(-l)R，arctanba，arctanAB x—x 500—300BA因为心为正、Ay为负，直线位于第四象限。所以AB ABR，NW45°AB根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得€ ，360°—45°，315°ABSABSAB貞x一x)2+(y一y)2={(500—300)2+(300一500)2，282・8m勺BA B A "坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本的公式，应用十分广泛。在测量计算时，由于公式中各元素的数字较多，测量规范对数字取位及计算成果作了规定。例如图根控制点要求边长计算取至毫米；角度计算取至秒；坐标计算取至厘米。二、坐标方位角的推算公式由公式（5-）2知，计算坐标增量需要边长和该边的坐标方位角两个要素，其中边长是在野外直接测量或通过三角学的公式计算得到的，坐标方位角则是根据已知坐标方位角和水平角推算出来的。下面介绍坐标方位角的推算公式。如图5-所7示，箭头所指的方向为“前进”方向，位于前进方向左侧的观测角称为左观测角，简称左角；位于前进方向右侧的角称为右观测角，简称右角。1.观测左角时的坐标方位角计算公式在图一与一中，已知边的方位角为€,P为AB左左观测角，需要求得边的方位角€。P是外业观测得到BC左的水平角，从图上可以看出已知方位角€与左观测角b之AB左和有两种情况：即大于18°0或小于18°0。图5一7中为大于。的情况，图一中为小于。的情况。

„ ，„+P+180€BCAB左综上所述两式则有„，„+B…180€前后左（5一6）式（5-）6是按照边的前进方向，根据后一条边的已知

方位角计算前一条边方位角的基本公式。公式说明：导线前

一条边的坐标方位角等于后一条边的坐标方位角加上左观

测角，其和大于18°0时应减去18°0，小于18°0时应加上O18°0。观测2.右角时的坐标方位角计算公式从图5-7或图5-可8以看出将该式代入式€，360€—€

左右5-得6),当方位角大于…，（将该式代入式€，360€—€

左右5-得6),当方位角大于…，（…—€„180€）+360€前后右°0时，应减去36°0，方向不变。所以上式变为…，…—€+180€前后右上式说明：导线中，前一条边的坐标方位角等于后一条边的坐标方位角减去右观测角，其差大于°0时应减去18°0，小于18°0时应加上18°0。使用式（）6与（5-时7，）还应注意相应两条边的前进方向必须一致，计算结果大于36°0时，则应减去36°0，方向不变。例3图为9例3图为