第二章6讲与对数函数

6讲[学生ax＝N(a>0a≠1)xaNalogaN＝N．(a>0a≠1)

＝logab(a，b②log logM－log 过定点x>1x>10<x<10<x<1a0<a<1a>1分类讨论，否则a>1时，对数函数的图象“上升”；0<a<1时，对数函数的图象“下降”．a换底及其推

，c0＝log 1(a，b均大于0且不等于＝logb nlogab(a>0a≠1，b>0，m≠0，n∈R)函数y＝xln(1－x)的定义域为( [解析]y＝xln(1－x)，所以

习题改编

[解析]原式＝ln

lnln2·ln 2 [解析]t＝x2－4，y＝log1t在定义域上是减函数，2增区间，t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为

卷)lg2＋2lg

[解析lg2＋2lg

＝lg5－lg2＋2lg＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.[答案]－1 [解析]4－x＝1x＝3时，y＝loga1＋1＝1.[答案对数式的化简与求值[学生 lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；【解】(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg＝2(lg2＋lg原式＝lg2＋lg2lg3＋lglg lg9lg lg＝lg2＋lg2lg3＋lg3＝3lg 5lglg 2lg32lg 3lg 2lg3·6lg lg lg7－lglg27＋lglg [解1)原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg lg（33）2＋lg23－3lg

lg 2lg3＋3lg2－2lg＝lg3＋2lg23（lg3＋2lg2＝lg3＋2lg＝3＝ 【解析】(1)y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B－x)在定义域内单调递减，排除需f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图所示，即1<a≤2，a的取值范围是【答案】 若本例(2)x2－logx<0

a[解]

由题意知，x∈，2时，f(x)g(x)的图象的下方如图，可知

即 解得1≤a<1.a的取值范围是1 已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所 [解析]0<a<1，y＝loga(x＋c)c>0时是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知0<c<1.f(x)＝loga(x＋b)(a>0a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0，1) ]f(－1)＝loga(－1＋b)＝0[答案

即

(1)(2016·高考卷乙)若a>b>0，0<c<1，则(

大值

【解析】(1)法一：0＜c＜1，y＝logcx在(0，＋∞)单调递减，1

1

＝－

2＜＜2，排除D

得x>0或x<0所以函数f(x的定义域为0)∪(0．因为fx

＝f(x)，f(x)是偶函数，A、B.

loga＝1解得a＝2所以

，2，即 f(x)在区间，2【答案】 角度一求对数函数的定义域函数 3

－）≥[解析 －）≥ 所以 角度二解简单的对数不等式或方程

则方程 A．{－1，

2 2 2 D.－1，2，2 [解析]当x≤0时 x＝－1；当0<x<1时

x＝ 2

x>1时，log2x＝2，x＝2.故所求解集为－1，22 角度三比较对数值的大小 [解析]y＝f(x)x＝0对称y＝f(x)时，f(x)＝log2x单调递增，a＝f(－3)＝f(3)，a>c>b，选项D角度四探究对数函数的性质4．(2017·湖南省东部六校联考)y＝lg|x|() [解析]lg|－x|＝lg|x|，y＝lg|x|为偶函数，y＝lg|x|在区间 [解析]a>0，b>0，ab＝8，loga·log(2b)＝loga·log16＝loga·(4－loga)＝－(log 2a log2a＝2，a＝4时，log2a·log2(2b)4.[答案]4[学生(2017·黄冈模拟)若函数f(x)＝log1(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)2增，则实数m的取值范围为

【解析】先保证对数有意义，又可得二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为 2要使函数2 m＜2.故选【答案】

f(x)＝log1(－x2＋4x＋5)的定义域，2x2＋4x＋5的对称轴x＝2在区间(3m－2，m＋2)的左侧即可，从而导致解答错误．f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]a的取值范围．[解]g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，x＝a，要使函数在(－g（1）>0，

即

a的取值范围为[学生P330(独立成册函数

[解析]因为 ，所以要使函数f(x)有意义，需使

若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( B.1C．log 12[解析]由题意知f(x)＝logax，因为f(2)＝1，所以loga2＝1.所以a＝2.所以a若函数f(x)＝ax－1的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝log1的图象是 a [解析]f(4)＝2，a3＝2，a＝3

133

4．(2017·莱芜模拟)a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32 2[解析a＝log23＋log23＝log233>1，b＝log9＝log2323

log

a5[解析]当a>1时函数 a－1＝1 a－1＝0

＝1，a＝2，loga6＋loga5＝log265＝log28＝3.6．(2017·江西名校第三次联考)设函数f(x)＝log(x2＋1)＋ ，则不等式 2

2

[解析]因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝log(x2＋1)＋ ＝f(x)，所以f(x)为2 2t＝log2x，222f(t)≥2，f(1)＝log2＋8＝1，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，R上为偶函数2 2 [解析]原式

lg

[答案]

2lg

2lg图象上，则f(log23)＝ [解析]A(2，0)，f(2)＝4＋b＝0，b＝－4，f(log23)＝3－4＝－1.[答案]－11值为3，则实数a的值 [解析]y＝|logax|(0＜a＜1)的大致图象如图令x＝a

－ aan－m

3[答案]3

10．(2017·滨州模拟)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为 [解析]a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数f(x)>1恒成立，8当0<a<1时，f(x)在x∈[1，2]上是增函数，由f(x)>1恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)>1，

[答案] 计算：(1)(lg5)2＋lg2·lg4 4

3·log5

log210－（33）3－7log72 [解1)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg＝(lg5＋lg3 3 ＝3－1·log [解1)ax－1>0，ax>1，a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)a>1时，0<x1<x2，0<ax1－1<aloga(ax1－1)<loga(ax2－1)f(x1)<f(x2)．故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．类似地0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．综上知，函数f(x)在定义域上单调递增． 13(2017·＋x)(a>0a≠1)

[解析]当x∈0，1时，2x2＋x∈(0，1)，因为当x∈0，1时，恒有f(x)>0， 1

取值范围 [解析]f(a)＝f(b)＝f(c)，可知－log3a＝log3b＝2－log3c，ab＝1，bc＝9， b，a＋b＋c＝bb，b∈(1，3)，f(b)＝bb的减区间上3[答案]19，113

f(x)＝log2x－1(a为常数)(1)af(x)[解1)

11