河北省唐山市黄庄镇中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析

河北省唐山市黄庄镇中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.从1，2，3，4，5中任取两个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出这两个数的乘积为偶数包基本事件个数，由此能求出这两个数的乘积为偶数的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取两个数，基本事件总数n==10，这两个数的乘积为偶数包基本事件个数m=+=7，∴这两个数的乘积为偶数的概率为p==．故选：D．3.设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则A． B． C． D．参考答案：D略4.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为(

)参考答案：D略5.已知椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若，则椭圆E的离心率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C6.已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数，?x1≥0，?x2≥0，若x1≠x2，则.如果，那么x的取值范围为()参考答案：B7.设f（x)＝ex＋x－4，则函数f（x）的零点位于区间（）

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)参考答案：C8.设抛物线的焦点为F，直线l交抛物线C于A、B两点，，线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4，则A． B．5 C．4 D．3参考答案：B抛物线方程可化为，线段的中点到抛物线的准线的距离为4，则，故，故B项正确.9.要得到函数g（x）=，只需将f（x）=cos2x的图象(

)A．左移个单位 B．右移个单位 C．左移个单位 D．右移个单位参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵函数g（x）==cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），故将f（x）=cos2x的图象向右平移个单位，可得到函数g（x）=的图象，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．10.向量，则“x=2”是“"的A.充分但不必要条件

B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若则=

.参考答案：【知识点】已知三角函数值求三角函数式的值.

C7【答案解析】

解析：因为所以.【思路点拨】把所求化成关于正切的式子求解.12.=__________．参考答案：略13.如图，PT切圆O于点T，PA交圆O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB=．参考答案：15【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：首先根据题中圆的相交弦定理得DT，再依据直角三角形的勾股定理用PB表示出PT，最后结合切割线定理求得一个关于PB线段的方程式，解此方程即可．解：如图，由相交弦定理可知，2?DT=3?6?DT=9．在直角三角形PTD中，由切割线定理可知PT2=PB?PA?（6+x）2﹣92=x（x+9）?x=15．故填：15．【点评】：此题综合运用了切割线定理、圆的相交弦定理以及与圆有关的直角三角形，属于基础题．14.已知函数f（x）=，则f[f]=

．参考答案：1【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，由里及外求解所求表达式的值．【解答】解：函数f（x）=，则f[f]=f=f（1913）=2cos=2cos（638π﹣）=2cos=1．故答案为：1．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，诱导公式的应用，考查计算能力．15.已知双曲线的右焦点为F，左顶点为A.以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，的一个内角为60°，则C的离心率为______.参考答案：【分析】由题意可得PA⊥PB，又，△APQ的一个内角为60°，即有△PFB为等腰三角形，PF＝PA＝a+c，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求．【详解】如图，设左焦点为F1，圆于x轴的另一个交点为B，∵△APQ的一个内角为60°∴∠PAF＝30°，∠PBF＝60°?PF＝AF＝a+c，?PF1＝3a+c，在△PFF1中，由余弦定理可得．?3c2﹣ac﹣4a2＝0?3e2﹣e﹣4＝0?，故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，以及等腰三角形的性质，考查离心率公式的运用，属于中档题．16.如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角，以及，从点测得，已知山高，则山高

．参考答案：试题分析:设山高,则由题设,在中,由正弦定理可得,解之得,故应填答案.考点：正弦定理及解直角三角形的有关知识及综合运用．17.设均为正实数，且，则的最小值为____________．参考答案：16三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)在中，角，，的对边分别为，，，若.（1）求证：；（2）当，时，求的面积.

参考答案：(1)（1），（当且仅当时取得等号）.…………7分（2），，，，……………11分又，，19.数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N*）．（I）求数列{an}的通项an；（II）求数列{nan}的前n项和T．参考答案：解：（I）∵an+1=2Sn，，∴Sn+1﹣Sn=2Sn，∴=3．又∵S1=a1=1，∴数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n﹣1（n∈N*）．∴当n≥2时，an﹣2Sn﹣1=2?3n﹣2（n≥2），∴an=（II）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，当n=1时，T1=1；当n≥2时，Tn=1+4?30+6?31+…+2n?3n﹣2，①3Tn=3+4?31+6?32+…+2n?3n﹣1，②①﹣②得：﹣2Tn=﹣2+4+2（31+32+…+3n﹣2）﹣2n?3n﹣1=2+2?=﹣1+（1﹣2n）?3n﹣1∴Tn=+（n﹣）3n﹣1（n≥2）．又∵Tn=a1=1也满足上式，∴Tn=+（n﹣）3n﹣1（n∈N*）略20.如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=BC，E是底边BC上的一点，且EC=3BE．现将△CDE沿DE折起到△C1DE的位置，得到如图2所示的四棱锥C1﹣ABED，且C1A=AB．（1）求证：C1A⊥平面ABED；（2）若M是棱C1E的中点，求直线BM与平面C1DE所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（1）设AD=AB==1，利用勾股定理的逆定理可以判断C1A⊥AD，C1A⊥AE；（2）由（1）知：C1A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分别以AB，AD，AC1为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，明确平面的法向量的坐标和的坐标，利用直线与平面的法向量的夹角的余弦值等于线面角的正弦值解答．【解答】解：（1）设AD=AB==1，则C1A=1，C1D=，∴，∴C1A⊥AD，…又∵BE=，C1E=∴AE2=AB2+BE2=∴∴C1A⊥AE…又AD∩AE=E∴C1A⊥平面ABED；…（2）由（1）知：C1A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分别以AB，AD，AC1为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，…则B（1，0，0），C1（0，0，1），E（1，，0），D（0，1，0），∵M是C1E的中点，∴M（），∴=（），…设平面C1DE的法向量为=（x，y，z），，由即，令y=2，得=（1，2，2）…设直线BM与平面C1DE所成角为θ，则sinθ=||=∴直线BM与平面C1DE所成角的正弦值为．…【点评】本题考查了线面垂直的判定定理的运用以及利用空间向量解决线面角的问题，属于中档题．21.设函数.（1）若函数在区间[1,e]（为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数a的取值范围；（2）若在[1,e]（为自然对数的底数）上存在一点，使得成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）或（2）.【分析】（1）求得，对的范围分类，即可判断函数的单调性，结合即可判断函数在区间上是否有唯一的零点，问题得解。（2）将问题转化为：函数在上的最小值小于零.求得，对的范围分类即可判断函数的单调性，从而求得的最小值，问题得解。【详解】（1），其中.①当时，恒成立，单调递增，又∵，函数在区间上有唯一的零点，符合题意.②当时，恒成立，单调递减，又∵，函数在区间上有唯一的零点，符合题意.③当时，时，，单调递减，又∵，∴，∴函数在区间有唯一的零点，当时，，单调递增，当时符合题意，即，∴时，函数在区间上有唯一的零点；∴的取值范围是.（2）在上存在一点，使得成立，等价于在上有解，即函数在上的最小值小于零.，①当时，即时，在上单调递减，所以的最小值为，由可得，∵，∴；②当时，即时，在上单调递增，所以的最小值为，由可得；③当时，即时，可得的最小值为，∵，∴，，所以不成立.综上所述：可得所求的取值范围是.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及利用单调性判断函数的零点个数，考查了利用导数求函数的最值，还考查了分类思想及转化能力，属于难题。22.“莫以宜春远，江山多胜游”，近年来，宜春市旅游事业蓬勃发展，某单位为研究本市旅游现状，以便对未来旅游发展作出新的规划，决定对全市A，B，C，D四个景区进行问卷调查活动，然后按分层抽样的方式从所有参加问卷调查的人抽取10名“幸运之星”，若已知C景区选取出“幸运之星”的人数为3人．景区ABCD问卷人数X604515（1）求X的值；（2）已知B景区幸运之星中男女人数一样多，C景区幸运之星中男性是女性的2倍，现从B、C景区的幸运之星中随机选出两人接受电视台采访，求选出的两人来自不同景区且性别不同的概率．参考答案：【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）先求出抽样比，从而得到B景区需选取4人，D景区需选取1人，需要从A景区选取2人，列出方程能求出X．（2）已知B景区幸运之星有4人，2男2女，可记两男为A，B；两女为a，b．C景区幸运之星有3人，2男1女，可记两男为1，2；两女为③，利用列举法能求出两人来自不同景区且性别不同的概率．【解答】解：（1）抽样比为，可知B景区需选取4人，D景区需选取1人，故需要从A景区选取2人，得到，解得X=3