湖南省永州市塘家岭乡中学2021年高三数学理期末试卷含解析

湖南省永州市塘家岭乡中学2021年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，，若，则的最小值为A．

B．6

C．

D．参考答案：A2.有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为A.

B.

C.

D.参考答案：A【知识点】排列、组合及简单计数问题．J1J2

解析：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．若是1，1，3，则有×=60种，若是1，2，2，则有×=90种所以共有150种不同的方法．故选：A．【思路点拨】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．3.奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则A．-2

B．-1

C．0

D．1

参考答案：D4.抛物线的焦点坐标是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B5.已知集合A={x|x≥3或x≤1}，B={x|x2﹣6x+8＜0}，则（?RA）∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式求出集合B，根据补集与交集的定义写出（?RA）∩B．【解答】解：集合A={x|x≥3或x≤1}，B={x|x2﹣6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，则?RA={x|1＜x＜3}，所以（?RA）∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．6.双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴的长，则该双曲线的离心率为

A．

B．

C．2

D．参考答案：D7.若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】KE：曲线与方程．【分析】取特殊点代入进行验证即可．【解答】解：由题意，x=1时，y=1，故排除C，D；令x=2，则y=，排除A．故选B．8.数列的前项和，则当时，有(

)（A）

（B）（C）

（D）参考答案：D9.设集合A={x|x2﹣5x﹣14＜0}，B={x|x＞1，x∈N}，则A∩B的元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】求出A中方程的解确定出A，找出A与B的交集，找出交集的个数即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣7）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜7，即A={x|﹣2＜x＜7}，∵B={x|x＞1，x∈N}，∴A∩B={x|1＜x＜7，x∈N}={2，3，4，5，6}，则A∩B的元素的个数为5．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10.已知数列{an}满足Sn=，则=

（

）A．1

B．－1

C．2

D．－2参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成角时，AB与b成角；②当直线AB与a成角时，AB与b成角；③直线AB与a所成角的最小值为；④直线AB与a所成角的最大值为．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）参考答案：②③由题意知，三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故，，斜边以直线为旋转轴旋转，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆．以为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系．则，，直线的方向单位向量，．点起始坐标为，直线的方向单位向量，．设点在运动过程中的坐标，其中为与的夹角，．那么在运动过程中的向量，．设与所成夹角为，则．故，所以③正确，④错误．设与所成夹角为，.当与夹角为时，即，．∵，∴．∴．∵．∴，此时与夹角为．∴②正确，①错误．

12.已知向量与向量的夹角为120°，若且，则在上的投影为．参考答案：考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系．

专题： 平面向量及应用．分析： 因为向量与向量的夹角为120°，所以在上的投影为，问题转化为求．解答： 解：因为向量与向量的夹角为120°，所以在上的投影为，问题转化为求，因为，故，所以在上的投影为．故答案为：．点评： 本题考查在上的投影的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．13.在平面直角坐标系中，已知点P（4，0），Q（0，4），M，N分别是x轴和y轴上的动点，若以MN为直径的圆C与直线PQ相切，当圆C的面积最小时，在四边形MPQN内任取一点，则这点落在圆C内的概率为

▲

．参考答案： 14.已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为

.参考答案：如图所示，设为外接球球心，三棱柱的高为，则由题意可知，，，，，此时三棱柱的体积为，其中.令，则，令，则，当时，，函数增，当时，，函数减.故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为.15.在边长为2的正△ABC中，则_________。参考答案：16.已知＝有零点，则取值范围为

参考答案：17.在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，，则C的参数方程为

▲

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图6，四棱锥的底面是边长是1的正方形，侧棱⊥平面，、分别是、的中点．⑴求证：平面；⑵记，表示四棱锥的体积，求的表达式（不必讨论的取值范围）．参考答案：证明与求解：⑴取的中点，连接、，则，……2分，因为，所以平面平面……4分，平面，所以平面……6分．⑵，⊥平面，所以⊥平面……8分，平面，……9分，，所以……10分，由⑴知……11分，所以……13分，……14分．略19.各项均为正数的数列{an}中，前n项和．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若恒成立，求k的取值范围；（3）对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间（2m，22m）内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm．参考答案：解：（1）∵，∴，两式相减得，整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，∵数列{an}的各项均为正数，∴an﹣an﹣1=2，n≥2，∴{an}是公差为2的等差数列，又得a1=1，∴an=2n﹣1．（2）由题意得，∵，∴=…（8分）∴（3）对任意m∈N+，2m＜2n﹣1＜22m，则，而n∈N*，由题意可知，于是=，即．略20.某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动、活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为x元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．该手机厂商将在这200万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取1000名，每名用户赠送1000元的红包，为了合理确定保费x的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中y表示保费为x元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）；（1）根据上面的数据求出y关于x的回归直线方程；（2）通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为0.2%．已知更换一次该型号手机屏幕的费用为2000元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于70万元，能否把保费x定为5元？x1020304050y0.790.590.380.230.01

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，，参考数据：表中的5个值从左到右分别记为，相应的值分别记为，经计算有，其中，．参考答案：（1）；（2）能【分析】（1）由已知表格中的数据求得，进而可得线性回归方程；（2）求出保费定为5元时，该手机厂商在这次活动中，因销售该“手机碎屏险”产生的利润，与70万元比较，即可得出结果.【详解】解：（1）由已知得，，，所以，，关于的回归直线方程为；（2）能把保费定为5元．理由如下：若保费定为5元，则估计．估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为元（万元）（万元）.∴把保费定为5元．【点睛】本题主要考查线性回归方程，熟记最小二乘法求即可，属于常考题型.21.求证：对任意的有成立．参考答案：

用数学归纳法证明：

①当时，不等式成立；②假设当（，）时，不等式成立，即，那么当时

＝∴当时，不等式成立。由①②知对任意的,不等式成立．

略22.（本小题满分12分）移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元.国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率.(1)求某人获得优惠金额不低于300元的概率；(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率.参考答案：【答案解析】(1)；(2)解析：（1）设事件=“某人获得优惠金额不低于300元”，

……………1分则.

……………4分（2）设事件=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，……………5分由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，

……………6分分别记为，从中选出两人的所有基本事件如下：，，，，，，，，，，，，，，，共1