新教材人教A版4.5.3函数模型的应用课件（34张）

4.5.3函数模型的应用关键能力探究探究点一指数函数模型【典例1】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下列问题:(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式.(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人).(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年).10≈1.127,log1.20≈15).【思维导引】具体列出一年后、二年后、三年后的人口总数,利用归纳的方法,确定函数关系.【解析】(1)1年后该城市人口总数为:y=100+100×1.2%=100(1+1.2%);2年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2;3年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2·1.2%=100(1+1.2%)3;x年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为:100×(1+1.2%)10≈112.7(万).(3)设x年后该城市人口将达到120万,即100×(1+1.2%)xx=1.20.所以x=log1.20≈15(年).【类题通法】指数函数模型在生活中的应用(1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.(2)增长率问题多抽象为指数函数形式,当由指数函数形式来确定相关的量的值要求不严格时,可以通过图象近似求解.用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围,是数学常用的方法之一.【定向训练】某公司预投资100万元,有两种投资方案可供选择:方案一:年利率10%,按单利计算,5年后收回本金和利息;方案二:年利率9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元?(结果精确到0.01万元)【解析】本金100万元,年利率10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1+10%×5)=150(万元).本金100万元,年利率9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1+9%)5≈153.86(万元).由此可见,方案二更有利,5年后多得利息约3.86万元.【补偿训练】每次用同体积的水清洗一件衣物,且每次能洗去污垢的,若洗x次后存留的污垢在1%以下,则x的最小值是________.

【解析】每次洗去污垢的,就是存留了,故洗x次后,还有原来的(x∈N*),故有<1%,所以5x>100,解得x的最小值为3.答案:3探究点二对数函数模型【典例2】(2020·成都高一检测)近年来,我国在航天领域取得了巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v0ln计算火箭的最大速度vm/s,其中v0m/s是喷流相对速度,mkg是火箭(除推进剂外)的质量,Mkg是推进剂与火箭质量的总和,称为“总质比”.已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s.(1)当总质比为330时,利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度.(2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加800m/s,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据:ln330≈5.8,2.225<e<2.226.【思维导引】(1)将数据代入公式v=v0ln直接计算.(2)列出不等式,解不等式求的最小整数值.【解析】(1)当总质比为330时,v=2000ln330.由参考数据得v≈2000×5.8=11600m/s,所以当总质比为330时,A型火箭的最大速度约为11600m/s.(2)由题意,经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度为3000m/s,总质比变为.要使火箭的最大速度至少增加800m/s,则需3000ln-2000ln≥800.化简,得3ln-2ln≥0.8.所以≥0.8,整理得ln≥0.8.所以≥e,则≥125×e.由参考数据,知2.225<e<2.226.所以278.125<125×e<278.25.所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为279.【类题通法】对数函数y=logax(x>0,a>1)经复合可以得到对数型函数,其函数值变化比较缓慢.直接以对数型函数作为模型的应用问题不是很多,但我们知道,对数运算实际上是求指数的运算,因此在指数函数模型中,也常用对数计算.【定向训练】1.地震的等级是用里氏震级M表示,其计算公式为,M=lgA-lgA0,其中A是地震时的最大振幅,A0是“标准地震的振幅”(使用标准地震振幅是为了修正测量中的误差).一般5级地震的震感已比较明显,则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.

【解析】因为8=lgA1-lgA0,5=lgA2-lgA0,所以A1=108A0,A2=105A0,所以A1∶A2=108A0∶105A0=1000.答案:10002.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2,单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位?(2)当燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?【解题指南】(1)燕子静止时的耗氧量即v=0时Q的值.(2)燕子的耗氧量是80个单位时,求它的飞行速度,即为当Q=80时v的值.【解析】(1)由题意,当燕子静止时,它的速度v=0,代入题中给出的公式可得:0=5log2,解得Q=10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位.(2)将耗氧量Q=80代入题中给出的公式得:v=5log2=5log28=15(m/s).【思维导引】根据增长速度的不同选定模型,用待定系数法确定解析式,再根据解析式求最小月份.探究点三拟合函数模型的应用【典例3】某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0，a>1)与y=可供选择.(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式.(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)【解析】(1)两个函数y=kax(k>0，a>1),y=在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k>0,a>1)的值增加越来越快,而函数y=的值增加越来越慢,由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型y=kax(k>0,a>1)适合要求.由题意可知,当x=2时,y=24;当x=3时,y=36,所以所以该函数模型的解析式是y=(2)当x=0时,y=,所以元旦放入凤眼莲面积是m2,由所以x>因为≈5.7,所以x≥6,所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.【类题通法】数据拟合问题的三种求解策略(1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入所给数据,问题即可获解.(2)列式比较法:若题目所涉及的是最优化方案问题,则可根据数据先列式,然后进行比较.(3)描点观察法:若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型,则可根据数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模型,问题即可顺利解决.【知识延拓】数据拟合的作用一般情况下数学建模,是离不开假设的,假设的作用主要表现在以下几个方面:(1)进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用.(2)降低解题难度,经过适当的假设就可以有能力建立数学模型,并且得到相应的解.(3)一般情况下,是先在最简单的情况下组建模型,然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际,从而得到更满意的解.【定向训练】某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双.由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长,就月份x,产量为y给出三种函数模型:y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=abx+c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量?【解题指南】本题是通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型.【解析】由题意,知将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据.(1)设模拟函数为y=ax+b时,将B,C两点的坐标代入函数式,得解得所以有关系式y=0.1x+1.由此可得结论为:在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1000双,这是不太可能的.(2)设模拟函数为y=ax2+bx+c时,将A,B,C三点的坐标代入函数式,得解得2+0.35x+0.7.结论为:由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下,对称轴为x=3.5),不合实际.(3)设模拟函数为y=abx+c时,将A,B,C三点的坐标代入函数式,得由①,得ab=1-c,代入②③,得解得则a==-0.8.x+1.4.4+1.4=1.35.x+1.4模拟比较接近客观实际.【课堂小结】课堂素养达标1.今有一组实验数据如下表所示:t1.99345.16.12u1.54.047.51218.01则最佳体现这些数据关系的函数模型是 ()A.u=log2t B.u=2t-2C.u= D.u=2t-2【解析】选C.t=1.99,log21.99≈1,2-2≈2,≈1.5,2×1.99-2=1.98;t=3,log23≈1.6,23-2=6,=4,2×3-2=4;t=4,log24=2,24-2=14,=7.5,2×4-2=6;t=5.1,log25.1<3,2-2>30,≈12.51,2×5.1-2=8.2.故排除A、B、D.2.在一次数学实验中,采集到如下一组数据:x-2.0-1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x,y的函数关系最接近(其中a,b为待定系数)函数 ()A.y=a+bx B.y=bxC.y=ax2+b D.y=【解析】选B.散点图如图所示:由散点图可知,此函数图象不是直线,排除A;此函数图象是上升的,是增函数,排除C,D.3.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销售中发现,这种商品每天的销量m(件)与每件的售价x(元)满足一次函数:m=162-3x.若要每天获得最大的销售利润,每件商品的售价应定为 ()【解析】选B.设每天的销售利润为y元,则y=(x－30)(162－3x),30≤x≤54,将上式配方后得y=-3(x－42)2+432,当x=42时,y取得最大值.故每件商品的售价定为42元时,每天才能获得最大的销售利润.4.据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度,设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m,则从2000年起,经过x年后,北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是 ()【解析】选A.设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的q%,则(q%)50