新教材人教A版5.5.2简单的三角恒等变换(二)课件（32张）

5.5.2简单的三角恒等变换(二)关键能力·合作学习类型一角的变换问题(数学运算)【题组训练】1.-tan20°= ()

2.若sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=0，则sin(α+2β)+sin(α-2β)等于 ()A.1 B.-1 C.0 D.±13.若3sinx-cosx=2sin(x+φ)，φ∈(-π，π)，则φ=_______.

【解析】1.选C.原式=2.选C.因为sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin(α+β-β)=sinα=0，所以sin(α+2β)+sin(α-2β)=2sinαcos2β=0.3.因为3sinx-cosx，又因为φ∈(-π，π)，所以φ=-.答案：-

【解题策略】角的三种变换(1)常见的配角变换.α=2·，α=(α+β)-β，α=β-(β-α)，α=[(α+β)+(α-β)]，β=[(α+β)-(α-β)]，(2)辅助角变换.asinx+bcosx=sin(x+φ)，其中tanφ=.(3)注意常值的代换.用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能用相关公式，如1=sin2α+cos2α，1=sin90°，=sin30°，=cos30°等.【补偿训练】1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)=_______.

【解析】令α=θ+15°，则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-cosα=sinα+cosα+cosα-sinα-cosα=0.答案：02.(2020·莒南高一检测)=_______.

【解析】原式=

答案：4类型二三角恒等变换的实际应用问题(数学建模、数学运算)【典例】某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).四步内容理解题意条件：①圆心角为45°，半径长为1m的扇形木板；②割出一块一边在半径上的内接长方形桌面.结论：求割出的长方形桌面的最大面积.思路探求连接CO，设∠COB=θ，用θ表示矩形的长宽，写出矩形面积关于θ的函数关系，进而求最值.【解题策略】三角恒等变换实际问题的解题策略此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围.【跟踪训练】如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？【解析】设∠AOB=α，△OAB的周长为l，则AB=Rsinα，OB=Rcosα，所以l=OA+AB+OB=R+Rsinα+Rcosα=R(sinα+cosα)+R=+R.因为0<α<，所以<α+<，

所以l的最大值为R+R=(+1)R，此时，α+，即α=，即当α=

时，△OAB的周长最长.类型三三角恒等变换与函数问题(数学运算，逻辑推理)角度1与三角函数性质有关的问题

【典例】函数f(x)=(1+cos2x)·sin2x(x∈R)是 ()B.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数【思路导引】先利用三角恒等变换把解析式化简为f(x)=Acos(ωx+φ)+c的形式再解答.【解析】选D.因为f(x)=(1+cos2x)(1-cos2x)=(1-cos22x)=sin22x=(1-cos4x).又f(-x)=f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数.【变式探究】本例若把函数解析式改为：f(x)=sin2x-sin2，x∈R，试求f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.【解析】由已知，有f(x)=所以f(x)的最小正周期T==π.因为f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为-.角度2与三角函数图象有关的问题

【典例】函数f(x)=4cos2cos-2sinx-|ln(x+1)|的零点个数为_____.

【思路导引】利用三角恒等变换公式化简函数解析式后再结合图象解答.【解析】因为f(x)=4cos2cos-2sinx-|ln(x+1)|=2(1+cosx)sinx-2sinx-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|，所以函数f(x)的零点个数为函数y=sin2x与y=|ln(x+1)|图象的交点的个数，函数y=sin2x与y=|ln(x+1)|的图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点.答案：2【解题策略】三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asinωx+bcosωx+k的形式，借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式，将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.研究图象问题时用数形结合的方法直观解题，由“数”想图，借“图”解题.【题组训练】

1.函数f(x)=cos2，x∈R，则f(x) ()C.既是奇函数，也是偶函数D.既不是奇函数，也不是偶函数【解析】选D.由cos2x=2cos2x-1，得f(x)=所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数.2.函数f(x)=sinxcosx-ln|x|有_______个零点.

【解析】因为f(x)=sinxcosx-ln|x|=sin2x-ln，所以函数f(x)的零点个数为函数y=sin2x与y=ln图象的交点的个数，y=sin2x与y=ln|x|的图象如图，由图知零点的个数为2个.答案：23.设函数f(x)=sin2ωx+2sinωx·cosωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称.其中ω，λ为常数，且ω∈.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y=f(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域.【解析】(1)因为f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+sin2ωx+λ=2sin+λ.由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴，可得sin=±1.所以2ωπ-=kπ+(k∈Z)，即ω=(k∈Z).又ω∈，k∈Z，所以k=1，故ω=.所以f(x)的最小正周期是.(2)由y=f(x)的图象过点，得f=0，即λ=-2sin即λ=-，故f(x)=2sin函数f(x)的值域为【补偿训练】已知函数f(x)=2asinωxcosωx+2cos2ωx-(a>0，ω>0)1，x2是集合M={x∈R|f(x)=0}中的任意两个元素，|x1-x2|的最小值为.(1)求a，ω的值；(2)若f(α)=，求sin的值.【解析】(1)f(x)=asin2ωx+cos2ωx=sin(2ωx+φ)，其中tanφ=.由题意知=2，a>0，则a=1.f(x)的最小正周期为π，则=π，故ω=1.(2)由(1)知f(x)=sin2x+cos2x=2sin由f(α)=，知2sin，即sin所以sin课堂检测·素养达标1.下列各式中，值为的是 ()2-sin2

【解析】选中，原式=B中，原式=cosC中，原式=

D中，原式=cos30°=.2.已知sin2α=，则cos2= (

)

【解析】选2

3.函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为 (

)【解析】选B.因为y=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x+=sin，所以函数的最小正周期T==π.4.(教材二次开发：练习改编)函数f(x)=sinx-cosx，x∈的最小值为_______.

【解析】f(x)=，x∈.因为-，所以f