求递推数列的通项及前n项和宿州三中郑静

求递推数列的通项及前n项和宿州三中郑静预测2016年命题热点为:(1)已知等差(比)数列的某些项的值或其前几项的和,求该数列的通项公式.(2)已知某数列的递推式或某项的值,求该数列的和.(3)已知某个不等式成立,求某参数的值.证明某个不等式成立.【知识回顾】(1)求递推数列的通项公式:①利用前n项和与通项的关系②累加法:满足an+1-an=f(n);③累乘法:满足=f(n);④将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列).(2)常见的求和的方法①公式法求和②错位相减法③裂项相消法④分组求和法(3)主要思想:分类讨论典例突破【典例1】(2015·东营一模)数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=(

)A.3×44B.3×44+1C.45D.44+1【解析】选A.由an+1=3Sn,得到an=3Sn-1(n≥2),两式相减得:an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,则an+1=4an(n≥2),又a1=1,a2=3S1=3a1=3,得到此数列除去第一项后,为首项是3,公比为4的等比数列,所以an=a2qn-2=3×4n-2(n≥2),则a6=3×44.

问：1、求前n项和S62、易错点在哪？注：（1）公式中an＝Sn-Sn-1(n≥2)

（2）验证n=1时，是否成立；（3）注意求和时的项数n。【典例2】(1)在数列{an}中,a1=,an+1=an+ln(),求an以及前n项和Sn变式1：把(1)中的条件改为“2nan+1=(n+1)an”,其他不变。变式2：把(1)中的条件改为“(n+2)an+1=nan”，其他不变。问:（1）由上题总结用到的求通项公式及求和的方法？（2）上述方法适用的条件？（3）易错点在哪？【方法规律】1.求通项的方法（1)累加法:数列递推关系形如an+1=an+f(n）(2)累乘法:数列递推关系如an+1=g(n)an2.求和方法裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差.(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多3.错位相减法的关注点适用题型:等差数列{an}与等比数列{bn}对应项相乘({an·bn})”型数列求和.例3：(2015·乌鲁木齐模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有Sn=2an+n-3成立.(1)求证:数列{an-1}为等比数列.(2)求数列{nan}的前n项和Tn.【解析】(1)当n=1时,S1=2a1+1-3,得a1=2,由Sn=2an+n-3得Sn+1=2an+1+n+1-3,两式相减,得an+1=2an+1-2an+1,即an+1=2an-1,所以an+1-1=2(an-1),而a1-1=1,所以数列{an-1}是首项为1,公比为2的等比数列.(2)由(1)得an-1=1×2n-1=2n-1,即an=2n-1+1,nan=n(2n-1+1)=n×2n-1+n,

所以Tn=(1×20+1)+(2×21+2)+(3×22+3)+…+(n×2n-1+n)=(1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1)+(1+2+3+…+n)=(1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1)+

令Vn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1,

则2Vn=1×21+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n

两式相减得:-Vn=1+21+22+…+2n-1-n×2n=2n-1-n×2n.

所以Vn=n×2n+1-2n,

所以Tn=(n-1)2n++1.思考：总结方法规律？注意问题？课堂练习：2.(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,an2+2an=4Sn+3.(1)求{an}的通项公式.(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.1.(2015·东北三省三校一模)已知数列{an}的前n项和Sn,且a1=2,an+1=Sn+2,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn.【课堂小结】1.分组求和的常见方法(1)根据等差、等比数列分组.(2)根据正号、负号分组.2.裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差.(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多.3.错位相减法的关注点(1)适用题型:等差数列{an}与等比数列{bn}对应项相乘({an·bn})型数列求和.(2)步骤:①求和时先乘以数列{bn}的公比