概率随机变量及其分布13

§12.4二项分布与正态分布大一轮复习讲义第十二章概率、随机变量及其分布NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做

，用符号

来表示，其公式为P(B|A)＝

(P(A)>0).在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝

.(2)条件概率具有的性质①

；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝

.1.条件概率及其性质知识梳理ZHISHISHULI条件概率P(B|A)0≤P(B|A)≤1P(B|A)＋P(C|A)条件公式A，B相互独立P(A∩B)＝___________A1，A2，…，An相互独立P(A1∩A2∩…∩An)＝_____________________2.事件的独立性(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率

，即

.这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.(2)概率公式：P(B|A)＝P(B)P(A)×P(B)没有影响P(A1)×P(A2)×…×P(An)3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验①定义：在

条件下，

做n次试验，各次试验的结果

，那么一般就称它们为n次独立重复试验.②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝

(k＝0,1,2，…，n).相同的重复地相互独立此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作

.4.两点分布与二项分布的期望、方差(1)若随机变量X服从二点分布，则E(X)＝

，D(X)＝

.(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝

，D(X)＝

.(2)二项分布在n次独立重复试验中，事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝

，其中k＝0,1,2，…，n.于是得到X的分布列X～B(n，p)pp(1－p)npnp(1－p)X01…k…nP____________……______5.正态分布(1)正态曲线正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝

，x∈R(其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞).(2)正态曲线的性质①曲线在x轴的

，并且关于直线

对称.②曲线在

时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐

，呈现“中间高，两边低”的形状.③曲线的形状由参数σ确定，σ

，曲线越“矮胖”；σ

，曲线越“高瘦”.降低上方x＝μx＝μ越大越小(3)正态变量在三个特定区间内取值的概率值①P(μ－σ<X<μ＋σ)＝

；②P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝

；③P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝

.95.4%99.7%68.3%1.条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？提示不一样，P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率.2.“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示

两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥.【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.(

)(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立.(

)(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(

)(4)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率.(

)××基础自测JICHUZICE1234567×√(5)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差.(

)(6)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.(

)123456√√7题组二教材改编12345672.天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为A.0.2 B.0.3 C.0.38 D.0.56√解析

设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.12345673.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为解析设A＝{甲第一次拿到白球}，B＝{甲第二次拿到红球}，√4.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝_____.解析∵X～N(3,1)，∴正态曲线关于x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，1234567题组三易错自纠5.两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为

和

，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为1234567√12345676.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于√12345677.设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是

，则μ等于A.1 B.2 C.4 D.不能确定解析当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根据正态曲线的对称性，√2题型分类深度剖析PARTTWO题型一条件概率例1

(1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________.师生共研解析方法一(应用条件概率公式求解)设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P(B|A)，方法二(缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格品，(2)一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中).设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)，P(A|B).解

如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，∴n(AB)＝1，思维升华跟踪训练1

已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为√解析

方法一设事件A为“第1次取到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次取到的是卡口灯泡”，方法二第1次取到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，题型二独立重复试验与二项分布命题点1独立事件的概率多维探究例2

某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是

，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是

，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是

.若各家庭回答是否正确互不影响.(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；解记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P(A)＝

，(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.解有0个家庭回答正确的概率为所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为命题点2独立重复试验例3

一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为

，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；解X可能的取值为10,20,100，－200.所以X的分布列为X1020100－200P(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为命题点3二项分布例4

某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；解令X表示5次预报中预报准确的次数，(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率.(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法①首先判断几个事件的发生是否相互独立.②求相互独立事件同时发生的概率的方法(ⅰ)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(ⅱ)正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算.(2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略①在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率.思维升华跟踪训练2

为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人.(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列.所以X的分布列为解根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，X0123P题型三正态分布师生共研例5

(2017·全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2).(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件数，求P(X≥1)及X的期望；解抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.0026，故X～B(16,0.0026).因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408.E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592，

≈0.09.解如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.0410.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.因此μ的估计值为10.02.解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.思维升华跟踪训练3

“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数

(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；解

所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数

＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45]内的概率；附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝

≈11.95；若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.683，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954.解∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，∴P(14.55<Z<38.45)＝P(26.5－11.95<Z<26.5＋11.95)＝0.683，∴Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.683.②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和期望.∴X的分布列为X01234P3课时作业PARTTHREE1.(2018·大连模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为

和

，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为√基础保分练12345678910111213141516解析

根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获奖或甲没获奖乙获奖，123456789101112131415162.(2018·抚顺模拟)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是√123456789101112131415163.(2018·鞍山模拟)甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是√甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：4.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数少于900的概率为(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997)A.0.977 B.0.683

C.0.998 D.0.95412345678910111213141516√解析

∵X～N(800,502)，∴P(700<X<900)＝0.954，∴P(X<900)＝1－0.023＝0.977，故选A.5.某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为______.1234567891011121314151610∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.6.在某次射击中，甲命中目标的概率是

，乙命中目标的概率是

，丙命中目标的概率是

.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________.解析设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，“丙命中目标”为事件C，则击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生.12345678910111213141516解析记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，7.一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________.12345678910111213141516123456789101112131415168.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________.12345678910111213141516解析设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A，B，C，123456789101112131415169.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是

.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________.解析

由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，1234567891011121314151610.若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X>5)＝P(X<－1)＝0.2，则P(2<X<5)＝______.0.31234567891011121314151611.某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图所示.(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15，标准差σ为5.68.12345678910111213141516(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N(μ，σ2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数(结果保留整数).正态总体N(μ，σ2)在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率约为0.954.12345678910111213141516解设甲每场比赛中的得分为随机变量X，由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率设在82场比赛中，甲得分在26分以上的次数为Y，则Y～B(82,0.023).Y的期望E(Y)＝82×0.023≈2.由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数为2.12.一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45]，由此得到样本的质量频率分布直方图如图所示.(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；1234567891011121314151612345678910111213141516解由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，解得a＝0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克，而50个样本中小球质量的平均数为故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均数为24.6克.(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5,15)内的小球个数为X，求X的分布列和期望.(以直方图中的频率作为概率)12345678910111213141516X的可能取值为0,1,2,3，12345678910111213141516∴X的分布列为12345678910111213141516X0123P技能提升练1234567891011121314151613.(2018·大连模拟)夏秋雨季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为√解析设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，1234567891011121314151614.(2018·包头模拟)设X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%)A.7539 B.6038C.7028 D.658512345678910111213141516√12345678910111213141516解析∵X～N(1,1)，∴μ＝1，σ＝1.∵P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%，∴P(0<X<2)＝68.3%，则P(1<X<2)＝34.15%，∴阴影部分的