广西专用高考数学一轮复习考点规范练15导数与函数的单调性（含解析）新人教A版（理）

考点规范练15导数与函数的单调性基础巩固1.函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是()A.在区间(-2,1)内,f(x)单调递增B.在区间(1,3)内,f(x)单调递减C.在区间(4,5)内,f(x)单调递增D.在区间(-3,-2)内,f(x)单调递增答案:C解析:由题图知,当x∈(4,5)时,f'(x)>0,所以在区间(4,5)内,f(x)单调递增.2.函数f(x)=12x2-lnx的单调递减区间为(A.(0,1) B.(0,1)∪(-∞,-1)C.(-∞,1) D.(-∞,+∞)答案:A解析:f(x)=12x2-lnx的定义域为(0,+∞f'(x)=x-1x,令f'(x)<0,即x-1x解得0<x<1或x<-1,又x>0,所以0<x<1.故选A.3.下列函数中,在区间(0,+∞)内为增函数的是()A.y=sin2x B.y=xexC.y=x3-x D.y=-x+ln(1+x)答案:B解析:若y=xex,则y'=ex+xex=ex(1+x)在区间(0,+∞)内恒大于0.故y=xex在区间(0,+∞)内为增函数.4.若f(x)=lnxx,e<a<b,则(A.f(a)<f(b) B.f(a)=f(b)C.f(a)>f(b) D.f(a)f(b)>1答案:C解析:令f'(x)=1-lnxx2∴f(x)在区间(e,+∞)内单调递减.∵e<a<b,∴f(a)>f(b).5.(2020四川德阳模拟)若函数f(x)=ex(sinx+a)在R上为增函数,则实数a的取值范围为()A.[2,+∞) B.(1,+∞) C.[-1,+∞) D.(2,+∞)答案:A解析:因为f(x)=ex(sinx+a),所以f'(x)=ex(sinx+a+cosx).因为f(x)在R上为增函数,所以f'(x)≥0恒成立.即sinx+a+cosx≥0恒成立.所以a≥-sinx-cosx恒成立.因为-sinx-cosx=-2sinx+所以-2≤-sinx-cosx≤2,所以6.若函数f(x)的导函数为f'(x)=x2-4x+3,则函数f(x+1)的单调递减区间是.

答案:(0,2)解析:由f'(x)=x2-4x+3,f'(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x,令f'(x+1)<0,解得0<x<2,所以f(x+1)的单调递减区间是(0,2).7.若函数f(x)=ax3-x恰有三个单调区间,则实数a的取值范围是.

答案:(0,+∞)解析:∵f(x)=ax3-x,∴f'(x)=3ax2-1,要使函数f(x)=ax3-x恰有三个单调区间,则f'(x)是二次函数,且f'(x)=0有两个不等实根,∴a>0,即实数a的取值范围是(0,+∞).8.已知函数y=f(x)在定义域-32,3内可导,其图象如图所示.记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式xf'(x答案:-32,-解析:对于不等式xf'(x)≤0,当-32<x<0时,f'(x)≥0,则结合题中图象知,原不等式的解集为-32,-13;当x=0时,显然成立;当0<x<3时,f'(x)≤0,则结合题中图象知,原不等式的解集为(0,1]∪[2,3).9.若函数f(x)=12x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是.答案:(1,2]解析:∵f(x)=12x2-9lnx,∴f'(x)=x-9x(x>0).令x-9x≤0,解得x≤-3或0<x≤3,又x>0,∴0<x≤3,即f(x)在区间(0,3]上单调递减.又f(x)在区间[∴a-1>0,且a+1≤3,解得1<a≤2.10.试求函数f(x)=kx-lnx的单调区间.解:函数f(x)=kx-lnx的定义域为(0,+∞),f'(x)=k-1当k≤0时,kx-1<0,∴f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减.当k>0时,由f'(x)<0,即kx-1x<0,解得0由f'(x)>0,即kx-1x>∴当k>0时,f(x)的单调递减区间为0,单调递增区间为1综上所述,当k≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞);当k>0时,f(x)的单调递减区间为0,111.已知函数f(x)=x3+ax2-a2x+2.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若a>0,求函数f(x)的单调区间.解:(1)∵a=1,∴f(x)=x3+x2-x+2,∴f'(x)=3x2+2x-1,∴f'(1)=4.又f(1)=3,∴切点坐标为(1,3),∴所求切线方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.(2)f'(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)·(3x-a),由f'(x)=0得x=-a或x=a又a>0,由f'(x)<0,得-a<x<a3由f'(x)>0,得x<-a或x>a3故f(x)的单调递减区间为-a,a3,单调递增区间为(-∞能力提升12.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下面四个图象中为y=f(x)的大致图象的是()答案:C解析:当x<-1时,xf'(x)<0,∴f'(x)>0,∴当x<-1时,函数y=f(x)单调递增;当-1<x<0时,xf'(x)>0,∴f'(x)<0,∴当-1<x<0时,函数y=f(x)单调递减;当0<x<1时,xf'(x)<0,∴f'(x)<0,∴当0<x<1时,函数y=f(x)单调递减;当x>1时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,∴当x>1时,函数y=f(x)单调递增.结合各选项,知C项正确.13.(2020浙江绍兴二模)已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则函数g(x)=f(x)A.(0,4) B.(-∞,1),4C.0,43 D.答案:D解析:由题中图象可知,过点(0,0)及点43,0的图象为函数f'(x)的图象,且g'(x)令g'(x)<0,可得f'(x)<f(x),结合题中图象可知,0<x<1及x>4符合该不等式,故所求单调递减区间为(0,1),(4,+∞).14.(2020浙江金华模拟)已知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)是f(x)的导函数,且满足xf'(x)-2f(x)>0,若f(x)是偶函数,f(1)=1,则不等式f(x)>x2的解集为.

答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:令g(x)=f(x)x则g'(x)=x因为xf'(x)-2f(x)>0,所以,当x>0时,g'(x)>0,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.又f(x)是偶函数,故g(x)=f(x)x而f(1)=1,故g(1)=f(1)1因此,f(x)>x2⇔f(x)x2>1,即g(x)>g(1),即所以,|x|>1,解得x>1或x<-1.则不等式f(x)>x2的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).15.已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).(1)当a=-14时,求函数f(x(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)内为减函数,求实数a的取值范围.解:(1)当a=-14f(x)=-14x2+ln(x+1)(x>-f'(x)=-12x+1x+1=-(x当f'(x)>0时,解得-1<x<1;当f'(x)<0时,解得x>1.故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞).(2)因为函数f(x)在区间[1,+∞)内为减函数,所以f'(x)=2ax+1x+1≤0对任意x∈[1,即a≤-12x(x+1)对任意x令g(x)=-12x(x+1),则因为在区间[1,+∞)内g'(x)>0,所以g(x)在区间[1,+∞)内单调递增,故g(x)在区间[1,+∞)内的最小值g(x)min=g(1)=-14,故a≤-14.即实数a16.(2020广西南宁三中模拟)已知函数f(x)=kx-lnx.(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,求k的取值范围;(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,求证:x1x2>e2.答案:(1)解∵f(x)=kx-lnx,函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,∴f'(x)=k-1x≥0在区间(1,+∴k≥1x在区间(1,+∞)内恒成立,∴k(2)证明不妨设x1>x2>0,∵f(x1)=f(x2)=0,∴kx1-lnx1=0,kx2-lnx2=0,可得lnx1+lnx2=k(x1+x2),lnx1-lnx2=k(x1-x2),要证明x1x2>e2,即证明lnx1+lnx2>2,也就是证k(x1+x2)>2,∵k=lnx1-lnx即lnx1x2>2x1x令g(t)=lnt-2(t-1)t+1,t>1,则g'故函数g(t)在区间(1,+∞)内是增函数,∴g(t)>g(1)=0,即lnt>2(t-1)高考预测17.设函数f(x)=x(1)求证:f(x)在区间(0,1)和(1,+∞)内都单调递增;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.答案:(1)证明f'(x)=2xlnx-x2-令g(x)=2lnx-x2-1x2,则g'当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=x(lnx)2g(x)>0,故当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=x(lnx)2g故f(x)在区间(1,+∞)内单调递增.(2)解af(x)-x=a(x令h(x)=a(x2-1)则h'(x)=a令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且方程φ(x)=0的判别式Δ=1-4a2≤0,即a≥12时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在区间(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥12时,在函数f(x)的定义域内,h'(x)>0,故h(x若0<x<1,h(x)<h(1)=0,所以af(x)-x=xlnxh(x)若x>1,h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=xlnxh(x)所以当x>0,且x≠1时都有