椭圆的几何性质

椭圆的几何性质椭圆的定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆焦距(一般用2c表示).F1F2M2c即：{M||MF1|+|MF2|=2a}2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2焦点在x轴上焦点在y轴上一、椭圆的顶点顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。

a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2F1F2oxy由即说明：椭圆位于矩形之中。二、椭圆的范围和外切矩形F1F2坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心oxy三、椭圆的对称性F1F2oxy离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：⑴离心率的取值范围：因为a>c>0，所以1>e>0⑵离心率对椭圆形状的影响：①e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁②e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆③特例：e=0，则a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为圆四、椭圆的离心率F1F2标准方程图象范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长焦距a,b,c关系离心率|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。（a,0）,(0,b)（b,0）,(0,a)(c,0)(0,c)长半轴长为a,短半轴长为b.焦距为2c;a2=b2+c2它的长轴长：

。短轴长：

。焦距是：

。离心率等于：

。焦点坐标是：

。顶点坐标是：

。

外切矩形的面积等于：

。

108680例1已知椭圆方程为0.6它的长半轴长是：

。短半轴长是：

。焦距是：

。离心率等于：

。焦点坐标是：

。顶点坐标是：

。

外切矩形的面积等于：

。

练习已知椭圆方程为3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：焦点在x轴上，a=6，e=；焦点在y轴上，c=3，e=；(3)经过点P(-3,0)，Q(0,-2)；(4)长轴长等于20，离心率等于。例已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，求该椭圆的标准方程。1.椭圆的一个焦点（0，2），求k的值。2.与椭圆过点(-3，2)的椭圆标准方程.有相同的焦点，且3.椭圆的一个顶点和两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（）4.若椭圆的长轴长为200，短轴长为160，则椭圆上的点到焦点的距离范围是（)F1F2xyop5.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。(全国卷III)6.已知点A(a,1)在椭圆的内部，求实数a的取值范围。例已知椭圆过点P(2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程。PxyO练习：已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.(1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。7.若椭圆的两个焦点把长轴分成三等份，求椭圆的离心率e。8.求经过点M(1,2)，且与椭圆有相同的离心率的椭圆的标准方程。9.已知P为椭圆上的点，F1，F2为左右焦点，且，求。10.已知方程表示椭圆，求k的取值范围。12.椭圆F1、F2的连线互相垂直，求△PF1F2的面积。上一点P与椭圆的两个焦点11.已知椭圆过点A(0,1)作一条弦，交椭圆与P,Q两点，若直线PQ的斜率，求弦PQ的长度。13.设点M1(0，-3)，M2（0，3），动点P