吉林省东北师范大学附中高三下学期七模数学试题2

东北师大附中2022—2023学年下学期第七次模拟考试高三年级数学试卷试卷满分：150分考试时长：120分钟注意事项：1．答题前，考生请务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能只答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足(其中为虚数单位)，则复数的虚部为（）A. B. C. D.3.若，则（）A. B. C. D.4.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那他至少经过（）小时才能驾驶．（参考数据）A.5 B.6 C.7 D.85.在矩形中，与相交于点，过点作于，则（）A. B. C. D.6.现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（）A. B. C. D.7.已知双曲线的左、右焦点分为，，左、右顶点分别为，，点M，N在y轴上，且满足（O为坐标原点）．直线，与C的左、右支分别交于另外两点P，Q，若四边形为矩形，且P，N，三点共线，则C的离心率为（）A.3 B.2 C. D.8.已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数．若对任意恒成立，则实数的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（）A.B.函数在上为增函数C.直线是函数图象一条对称轴D.是函数图象的一个对称中心10数列首项，对一切正整数，都有，则（）A.数列是等差数列B.对一切正整数都有C.存在正整数，使得D.对任意小的正数，存在，使得11.已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦，记线段的中点分别为，则下列结论正确的是（）A.圆的方程为 B.四边形面积的最大值为C.弦的长度的取值范围为 D.直线恒过定点12.如图，平面四边形中，是等边三角形，且，是将翻折，折成三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（）A.存在某个位置，使得与所成角锐角B.棱上总会有一点，使得平面C.当三棱锥的体积最大时，D.当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为___________.14.已知随机变量，则的最小值为___________．15.已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为_________．16.设函数，若不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是_______________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知中角的对边分别为，．（1）求；（2）若，且的面积为，求周长．18.已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．19.如图，在四面体中，．点为棱上的点，且，三棱锥的体积为．（1）求点A到平面的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值．20.概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．马尔科夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．当为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：设的分布列为其中，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和．切比雪夫不等式的形式如下：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有（1）根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立．（2）某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．21.在平面直角坐标系中，抛物线焦点为的准线交轴于点，过的直线与拋物线相切于点，且交轴正半轴于点．已