6.4.2向量在物理中的应用举例教案-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章平面向量及其应用6.4.2向量在物理中的应用举例教学设计教学目标1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型.2.握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明确向量在物理中应用的基本题型.二、教学重难点1.教学重点用向量方法解决实际问题的基本方法.2.教学难点实际问题转化为向量问题.三、教学过程（一）探索新知探究一：平面向量在物理中的应用教师：向量的数量积与功有什么联系？提示：物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．教师：用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？提示：用向量方法解决物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．例1.一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________．例2.设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为eq\f(2,3)π，如图所示．①求F3的大小；②求F2与F3的夹角．思考：(1)eq\x(求出合力、位移的坐标表示)→eq\x(利用数量积求功)(2)①eq\x(由三个力处于平衡状态用F1，F2表示F3)→eq\x(用向量模的计算公式求F3的大小)②eq\x(用F1，F2表示F3)→eq\x(构造F2·F3)→eq\x(利用夹角公式求解)解：(1)－40因为F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,4)，则F·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－1×8－8×4＝－40，即三个力的合力所做的功为－40.(2)①由题意|F3|＝|F1＋F2|，因为|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为eq\f(2,3)π，所以|F3|＝|F1＋F2|＝eq\r(1＋4＋2×1×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(3).②设F2与F3的夹角为θ，因为F3＝－(F1＋F2)，所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2，所以eq\r(3)·2·cosθ＝－1×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－4，所以cosθ＝－eq\f(\r(3),2)，所以θ＝eq\f(5,6)π.探究二：向量在物理中的应用1.求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解.2.用向量方法解决物理问题的步骤：①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；③结果还原为物理问题.例3.一条宽为eq\r(,3)km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝eq\r(,3)km，船在水中最大航速为4km/h；问怎样安排航行速度可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？解：如图所示，设eq\o(AC,\s\up6(→))为水流速度，eq\o(AD,\s\up6(→))为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，|eq\o(DE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4，∠AED＝90°，∴|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(,|\o(AD,\s\up6(→))|2－|\o(DE,\s\up6(→))|2)＝2eq\r(,3)，eq\r(,3)÷2eq\r(,3)＝0.5(h)，sin∠EAD＝eq\f(1,2)，∴∠EAD＝30°.∴船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时0.5小时.总结：1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：①转化：把物理问题转化为数学问题；②建模：建立以向量为主体的数学模型；③求解：求出数学模型的相关解；④回归：回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象．（二）课堂练习1.已知作用在点A的三个力，，，且，则合力的终点坐标为()A. B. C. D.答案：A解析：，设合力f的终点为，O为坐标原点，则.故选A.2.两个大小相等的共点力，，当它们的夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为()A.40N B. C. D.答案：B解析：，当和的夹角为120°时，由平行四边形法则知.故选B.3.已知两个力的夹角为,它们的合力大小为,合力与的夹角为,那么的大小为()A. B. C. D.答案：A解析：∵,∴的大小为.故选A.4.一个物体受到同一平面内二个力的作用，沿北偏东方向移动了8m，已知，方向为北偏东，，方向为北偏东，方向为北偏西，则这三个力的合力所做的功为()A. B. C. D.答案：D解析：如图，建立平面直角坐标系，则，则合力，又位移，故合力所做的功.选D.（