7.1.1+数系的扩充和复数的概念+++教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

§7.1.1数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析内容：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第七章第1节的内容．本节内容是数系的扩充和复数的概念，基于之前所学的数系的发展历程，由一元二次方程的根的问题导入，将数学扩充到复数范围，并研究复数的概念，为复数的运算打好基础。复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.二、目标和目标解析目标：（1）了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．（2）理解复数的概念、表示法及相关概念．（3）掌握复数的分类及复数相等的充要条件．目标解析：（1）能够通过方程的解，感受引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用．（2）学生能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数系扩充的一般“规则"，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用．（3）学生能说明虚数i的由来，能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，会用Venn图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系；知道两个复数相等的含义，能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题．基于上述分析，本节课的教学重点定为：复数的分类及复数相等的充要条件．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：因为现实生活中没有任何事物支持虚数，学生可能会怀疑引入复数的必要性，在教学中，如果单纯地讲解或介绍复数的概念会显得枯燥无味，学生不易接受．解决方案：适当介绍数的发展简史，增强学生学习的生动性．2．教学问题二：由于知识储备和认知能力的限制，学生对数系扩充的一般规则并不熟悉，对虚数单位的引入，以及虚数单位和实数进行形式化运算的理解会出现一定困难．解决方案：通过解方程问题引导，借助已有的数系扩充的经验，特别是从有理数系扩充到实数系的经验，从特殊到一般，帮助学生梳理出数系扩充过程中体现的“规则”，进而在“规则”的引导下进行从实数系到复数系的扩充，感受引入复数的必要性和合理性．3．教学问题三：学生以前学习过的数都是单纯的一个数，而复数的代数形式是两项和的形式，学生比较陌生，因此理解上会存在一定困难．解决方案：引导学生按照“规则”自主探究出复数集中可能存在的各种数，并归纳总结出复数的一般表示方法，经历复数形式化的过程．基于上述情况，本节课的教学难点定为：理解复数的概念、表示法及相关概念．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生类比得到复数的概念，应该为学生创造积极探究的平台，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视复数概念的理解和表示，让学生体会数系扩充的基本过程．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图复习回顾，温故知新[问题1]N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？[问题2]若给方程SKIPIF1<0一个解SKIPIF1<0，则这个解SKIPIF1<0要满足什么条件？SKIPIF1<0是否在实数集中？实数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相乘、相加的结果应如何？教师1：提出问题1．学生1：学生思考．教师2：提出问题2．学生2：学生思考．通过复习数系的扩充过程，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。探索交流，解决问题阅读课本，思考以下问题：[问题3]实数系经过扩充后得到的新数集是什么？[问题4]什么是复数？[问题5]复数如何表示？什么是复数的实部和虚部？[问题6]如何确定两个复数是否相等？[问题7]复数集如何分类？[问题8]两个复数一定能比较大小吗？[问题9]复数z＝a＋bi的虚部b可以为零吗？教师3：提出问题3．学生3：复数集.教师4：提出问题4．学生4：复数定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集.教师5：提出问题5．学生5：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部．教师6：提出问题6.学生6：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.教师7：提出问题7.学生7：对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下：复数eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数（b＝0），,虚数（b≠0）（当a＝0时为纯虚数）.))教师8：提出问题8.学生8：不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小.教师9：提出问题9.学生9：可以.当b＝0时，z为实数.通过思考，引入虚数单位，提高学生分析问题、概括能力。典例分析，举一反三1.复数的概念例1下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；⑤－1没有平方根；⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．A．0B．1C．2D．32.复数的分类例2实数x分别取什么值时，复数z＝eq\f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．3.复数相等的充要条件例3根据下列条件，分别求实数x，y的值．(1)x2－y2＋2xyi＝2i；(2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.[课堂练习1]实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[课堂练习2]已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．教师10：完成例题1.学生10：全部错误，答案选A教师11：完成例题2.学生11：(1)x＝5时，z是实数．(2)x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．教师12：完成例题3．学生12：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4.))．教师13：布置课堂练习1、2．学生13：完成课堂练习，并核对答案．通过例题1，进一步巩固复数的概念，提高学生的概括问题的能力、解决问题的能力。通过例题2、3进一步巩固复数的分类和相等，提高学生的概括问题的能力、解决问题的能力。[课堂练习1]巩固复数的分类．[课堂练习2]巩固复数的相等.课堂小结升华认知[问题10]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A.eq\r(2)，1B.eq\r(2)，5C.±eq\r(2)，5D.±eq\r(2)，12.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A.±1B.±iC.±eq\r(2)iD.±2i3.i202