数学建模2022319长春

解决问题与模型化方法研究

吉林省教育学院何凤波1目录：引言：建模解析一、画图方法二、列表方法三、猜想与尝试方法四、从特例入手寻找规律方法五、其他方法策略引言数学建模3数学建模的涵义数学模型（MathematicalModel）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划。模型有别于一般的数学算式，也有别于通常的数学应用，模型是用来解决一类具有实际背景的问题的数学方法。（史宁中）4应用数学知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（MathematicalModeling）。56模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。7建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题；用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。8这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。9

小学数学中涉及到的数学模型主要有：公式模型、方程模型、集合模型、函数模型。公式：S=AB（长方形面积=长X宽）方程：A+X=B（原来有一些物体，增加3个是6个，求原数，3+X=6）

集合模型：五（1）班每人参加了一个或两个课外小组，参加数学组的有10人，参加微机组的有20人，其中有5人同时参加这两个小组，求五（1）班一共有多少人？模型：20+10-5=25（人）有交集情况的通用算式。A+B-AnB=C10函数模型：正比例：Y=KX（总价=单价X数量）11建模过程例：有10名选手进行乒乓球比赛，如果每2名选手之间都进行一场比赛，一共比赛多少场？12分析：10人比赛很复杂，可先从2人、3人比赛开始研究。13参加比赛人数示意图各点之间连线数比赛场数21131+2=33（加了一个点）41+2+3=66（又加了一个点）……………………14有10名选手进行乒乓球比赛，比赛多少场？1+2+3+……+9=45（场）15建模过程现实问题检验实际问题的解数学问题的解现实模型数学模型16现实问题：如前面的比赛场次现实模型：2人1场3人2场4人3场17数学模型画图代数式

1+2=3……发现寻找规律求解1+2+3+……+9=4518比赛场次的数学模型：有N个人参加比赛，每2人比赛一场，比赛场次：S=1+2+3+4+……+（N-1）现代数学的建模过程是很复杂的，如天气预报、台风预报等。我们以上是简单的例子，一般地说，小学数学中解决问题，多半是用了模型化方法。20解决问题不是单纯地解题，而是包括提出问题，制定计划、建立模型、寻找方法、实施方案、直到最后解决问题的一系列环节。加拿大教材提出了解决问题的10种方法策略。212223下面分别作以解释：制订解题计划：在头脑中或在纸上简单想出或写出解决问题的计划，如先做什么，再做什么。猜想与尝试：先猜一猜，再尝试验证。使用或寻找规律：根据题目中所给的信息，找出题目中隐含的规律并用之解题。24动手操作：利用学具等操作进行解题。列表：把题目中的信息和自己的分析、推算等呈现在表格里，从而找出问题答案。反推：从后往前想。25画图：通过画示意图、线段图等分析和解决问题。推理：从已知的信息出发，运用用演绎的方式寻找结论。26简化（从特例入手）：就是把复杂的问题简单化，可以把陌生的问题转化为熟悉的问题，也可以从特殊化入手解决问题。灵机一动（头脑风暴）：就是凭借直觉想出问题的答案。27我们把具有普遍意义的方法称之为策略。学生在解决问题时，总是有意无意地使用一定的策略。28我们的目的是通过教学，让学生学习一些基本的解决问题策略，体验解决问题策略的多样性，并在此基础上形成自己的策略。29我们主要对如下最常用的几种建模策略进行讨论。画图列表猜想与尝试从特例入手寻找规律30一、画图简单说就是用画图解决数学问题和策略。这种策略应当成为学生常用的方法，灵活运用画图策略，有助于提高解决问题能力。311、用画图表示数量关系例：第十届动物车展中第一天的成交量是65辆，第二天的成交量比第一天增加了1/5，第二天的成交量是多少？第一天65辆

比第一天多1/5第二天65×1/5=13辆

65+13=78（辆）32也可以画示意图。第一天65辆

13辆

比第一天多1/5第二天

65+13=78（辆）模型：第一天成交量+增量=第二天成交量A+(B-A)=B33例子沙丽存款额是蒂拉的3倍，军威存款额比沙丽少20元，如果3人共存645元，军威存款额是多少？34沙丽蒂拉645元军威20沙丽蒂拉665元军威357个单位645+20=6651个单位665/7=953个单位95*3=285所以军威存款额：285-20=26536设蒂拉存款额为X元。X+3X+3X-20=645（方程思想）X=95模型：A+B+C=总和372、用画图表示搭配问题2种主食：米饭、馒头：3种副食：白菜、豆腐、芹菜一菜一饭可有多少种不同的搭配？

米饭、馒头

白菜、豆腐、芹菜模型：元素有序组合（A1A2A3B1B2B3）3、数概念的图形表示。个十百千394、数运算的图示表示。1/2×1/3=1/6分数乘法模型：A/B×C/D=AC/BD405、运动状态的图形表示：星期天小芳早晨从家出发，到商场购物，之后返回家里。用图示描述运动状态。

离家的距离

时间

分段函数模型：Y=KX二、列表列表可以清晰明确地表示出题目信息，便于分析和推理。1、列表分析数量关系42例：米丽和玛珂是马戏团的小象。它们总在马戏表演中担任主角。

米丽4岁玛珂13岁什么时候玛珂的年龄是米丽的2倍？43像这样的问题，如果用找数量关系进行抽象计算，难度会很大，但列表解决问题会很容易。模型：对应关系：（4+N）×2=13+N米丽456789玛珂131415161718442、列表推理例：学校组织了足球、航模、和电脑兴趣小组，淘气、笑笑和小明各参加了一个小组。笑笑不喜欢踢足球，小明不是电脑小组的，淘气喜欢航模。判断他们各在哪个小组。45列表解决问题。足球航模电脑淘气√笑笑×小明×46足球航模电脑淘气×√×笑笑×小明×47足球航模电脑淘气×√×笑笑×小明√×48足球航模电脑淘气×√×笑笑×√小明√××49足球航模电脑淘气×√×笑笑××√小明√××50隐含：每行每列只有一个√三、尝试与猜测

根据题目给出的信息，先猜测结果，再进行调整。52马戏团表演，许多只大象正列队进场，大象的脚比起其鼻子和尾巴的总和还多于十。请问马戏团可能有几只大象？53大象/个脚/只鼻子/只尾巴/条2822（脚比起其鼻子和尾巴的总和还多于4）54大象/个脚/只鼻子/只尾巴/条282241644（脚比起其鼻子和尾巴的总和还多于8）55大象/个脚/只鼻子/只尾巴/条28224164452055（脚比起其鼻子和尾巴的总和还多于10）56方程：4X-2X=10简化------从特例入手1、有关对称问题的简化例：两人轮流往一圆桌上平放一枚同样大小的硬币，谁放下最后一枚且使对方没有位置再放，谁就获胜。问题：怎么样才能稳操胜券？是先放者胜还是后放者胜？58思路：如果圆桌小到只能放下一枚硬币，那么先放者胜。这是问题的特殊情况。这个特殊情况有什么指导意义？59对于一般的圆桌，我先放中心位置，根据圆桌的对称性，就可以获胜。6061626364其实，不管是圆桌还是方桌，也不管桌子和硬币的大小。只要先放对称的中心位置，就能获胜。几何对称模型。652、有关运动问题的简化例：有两个边长为1分米的正方形，空白正方形的一角顶点位于另一个正方形中心，并在1/3边线处相交，计算重合部分的面积。66旋转：特殊情况：1/4。67利用对称原理，其他情况重叠部分也是1/4。68几何对称模型。4、有关图形分割问题。1条直线把长方形分成2部分；5条直线把长方形最多分成几部分？70

部分直线21条2+2=42条2+2+3=73条2+2+3+4=114条712+2+3+4+5=165条72N条

2+2+3+4+……+N=1+1+2+3+4+……+N=1+（1+2+3+4+……+N）模型73综合运用解决问题策略有许多问题需要用多种策略解决，这需要学生灵活运用知识。74例：意大利数学一位数学家提出过一个非常有趣的数学问题：如果一对小兔每月能生1对新兔，每一对新兔在出生后的第3个月开始又生1对新兔，假定不发生死亡的情况下，1对兔子在1年内能繁殖成多少对？

75分析：假定今年1月份生的一对新兔，今年2月应该还只有1对，到3月份这对兔子生了1对，总共2对；到4月份又可生出一对新兔，共3对；到5月份，有2对兔子生出2对新兔，加上原来的3对一共5对……76用图形来表示：○代表一对新兔◎代表一对未成年兔●代表一对成年兔

1月2月3月4月5月6月○◎●○●○●○●○◎◎●○◎●○◎●○找一找上面兔子的数量的模型。77列表：月份1

2

3

4

5

6

数量1

1

2

3

5

8月份7

8

9

101112数量13

21

3455

89

144综合运用画图、列表和寻找规律解决问题。

78AN=A（N-1）+A（N-2）79R．J．斯腾伯格（1940-）美国著名心理学家。提出了“解决问题的循环系统”：80

81确定问题定义问题形成策略组织信息分配资源效果监控方案评估例：由5个等圆组成的图形，请画一条直线把5个圆分成面积相等的两部分。82四、其他方法策略1、质化策略找出问题中最基本的条件，把问题归结为单纯的相互独立的元素，从而显示解决问题的思路，以达到解决问题的目的。84例：国庆小学学生去参观科技展.346人排成两行，相邻的前后两排相距0.5米,队伍每分钟行走65米，途经一座长889米的大桥，从排头上桥到排尾离桥，共需要几分钟？85我们可以应用质化策略，在解题过程中略去那些具体的过桥过程，而把排尾质化为一个点，只考虑初始状态这点与桥末端的距离（队长+桥长）利用路程公式就可以解决问题.346人，2行，65米/分，间距0.5米[(346/2-1)X0.5+889]/65=15（分）86889米2、分化策略把综合性的数学问题看作是若干个子问题构成的整体或者把一个复杂问题分解为若干个较易解决的子问题，对其各个击破，整体问题就会迎刃而解。87例如：两步或三步应用题可以分解为几个一步应用题；王阿姨买3瓶牛奶用了12元，买8瓶这样的牛奶需要多少钱？（12÷3）×88812÷3=44×8=3289组合图形面积计算可以分成几个单一图形来计算。

4m6m3m7m9091923.概化策略描述：当我们研究的是某些具体元素（往往是维数或抽象水平低）的关系时，可以把问题归结为元素所在整体（往往是维数或抽象水平高的）的关系或性质的问题，通过对整体的性质的考察来使问题得互解决。93概化过程抛弃了一些非本质的因素，而突出本质因素。其表现为：对具体事物进行抽象，再在抽象水平上进行形式推理，然后用于解决具体问题。用方程解决问题就是典型的应用概化策略。抽象数学问题抽象数学问题解决具体问题具体问题解决94例：商店原来有一些水果糖，又运来25千克，卖出34千克后，还剩41千克，这个商店原来有水果糖多少千克？设：原来有水果糖X千克（用符号表示所求问题）

X+25-34=41（抽象的数学问题）

X=50