创意平板折叠桌

PAGE2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：数模教练组日期：2014年9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：PAGE1易。分析发现最外侧桌脚越长越费材料，但由于增加了底面积而增加了稳固性。另由力学分析得桌子在受压后不会恢复原状的必要条件是每侧最中间的桌腿与桌面的夹角小于90度，即向内“凹”。这样桌子受压时外侧桌腿向外的趋势与中间桌腿向内的趋势可通过钢筋抵消，从而使桌子具备抗压能力。钢筋的位置会影响桌腿开槽长度。槽的长度又有限制条件，即须为正数且小于所在桌腿长。其它的限制条件有：平铺时钢筋的位置须在最短桌腿范围内；折叠时以两侧中间向内的桌腿相碰为极限状态。该问难点在于如何建立一个优化模型以求得最优解。本文以材料总面积大小作为节省材料的评判标准，以桌脚与地面形成的底面积大小评判其稳固性。以两者的加权差作为优化的目标函数。考虑实际确定权值后利用Lingo计算出最优解。考虑了前两个因素后考虑加工难易。以开槽长短作为加工难易的标准。考察不同钢筋位置时桌腿开槽长度，在约束范围内选取最优的槽长。问题三需要满足客户提出的需求以设计桌子。在设计时需要全面考虑所有限制因素，并选择最优方案。沿用第一问的计算方法及第二问的优化模型，根据客户给出的桌面形状、桌高及桌角线形状计算桌腿长、钢筋位置以及桌腿开槽长度等加工参数。应用前两问的程序，改动桌面边缘线的方程，输入客户给定的参数，即可绘图并得出最优的加工参数。在最后本文给出了两例分别以椭圆形与心形作为桌面形状。三、模型假设 1.假设桌子的材料和钢筋足够坚固，能承受桌子上物体的压力不会断裂；2.计算时桌脚接触面为平面，轴穿过桌面中心，桌子关于轴对称。四、变量说明桌子的长度的一半桌子的高度最外侧桌脚在面上的投影长度长方形木板面积四个桌脚所围面积圆桌面面积桌面的半径五、模型的建立与求解5.1问题一的求解如图1建立空间直角坐标系图1桌子的坐标示意图最外侧四个桌脚均落在平面内，桌子的圆心在轴上，且整个桌子关于轴对称。所有桌腿都平行于平面。其侧视图为图2折叠后的桌子侧面示意图设圆桌面边缘上任意点（），钢筋固定点(),桌脚边缘点（）。桌面长度为，则桌脚长度为。桌子折叠后，钢筋相对于每一根桌腿的位置就确定了，因此每一根桌脚必然经过、、三点。可以利用几何关系求出所需加工参数。过作桌面的垂线，垂足为，则。则,，其中，，点()满足过作桌面的垂线，使垂足为，根据两个相似三角形的关系得到桌脚点的坐标由于则均可以用参数来表示。因为已知，而，所以折叠桌子的动态变化过程即是随着变化，桌脚边缘线的变化过程。由于桌子的高度为53，桌子厚度为3，则桌脚的高度为50。由，利用matlab作图得图3桌子折叠后桌子边缘线的坐标图当桌子平铺为一张木板时，每根桌腿的槽的上沿位于同一条直线，即M点均在桌子长的处。故，所以槽的宽度。桌子折叠后后的距离即为图1中的长度。图4木板上的槽宽示意图利用两点间距离公式得利用matlab作图，得到槽长关于的变化曲线图5不同桌脚的槽的长度示意图由图可以看出两侧的桌脚槽长为零，越中间的桌脚槽长越长。从一侧到中央的十根桌脚槽宽依次为：表1各桌腿的开槽长度桌脚序号（从外到里）槽的长度(cm)第1根0第2根8.4015第3根11.5360第4根14.1148第5根16.2456第6根17.9768第7根19.3364第8根20.3426第9根21.0072第10根21.33775.2最优化模型与问题二的求解：5.2.1该问分两部走，首先确定最外侧桌腿长，其次确定钢筋位置。折叠桌的最外侧桌腿长度决定了长方形木板的长，从而决定长方形木板的面积，面积越少，所用材料就越少，于是通过建立最外侧桌腿长与面积的关系反映用材量。四个桌脚在地面围成长方形，根据物理常识，四个桌脚所围成的面越大，重心越不易落到接触面之外，桌子就越稳固。以木板总面积与桌脚形成矩形面积之差为目标函数，根据几何关系得出约束条件，对腿长的选择进行优化。长方形木板面积四个桌脚形成的面积圆桌面的面积当时，这样的桌子被称为独脚桌，不稳定所以图6折叠后桌子的侧视图因为OC=,CD=,而最内侧的桌脚最多碰地，所以,即则可建立有约束条件的优化模型对于厂商来说，节约成本很重要，所以取代入数据，。用lingo运行得到结果,经计算可知最外侧的两根桌脚连线大约与圆相切，即四个桌脚形成的图形为正方形。该桌中最外侧桌脚，长方形木板面积为，桌脚最外侧桌脚面积为。5.2.2利用所得的最优桌脚围成形状来确定最小槽宽桌腿上开槽长度越小加工越容易。同时槽长须满足一定约束条件：为正数、小于腿长。参照上述分析作示意图如下图7木板上的槽宽示意图，其中,,,图一中在中，由余弦定理得槽宽=代入原始数据和所得的，在Matlab中考察不同值对开槽长度的影响。除去不可取的位置后选取最优的槽长。表2各桌腿的开槽长度桌脚序号（从外到里）槽的最短长度第1根0第2根13.8582第3根18.6100第4根17.8793第5根14.7612第6根12.2463第7根10.2795第8根8.8275第9根7．8697第10根7.39375.3问题三的求解：根据客户的设定要求来设计，找出最优的加工参数。在问题一和问题二中我们研究的都是圆形，且给定了一些设计参数。但对于问题三，需要全面考虑所有限制条件以及客户所给出的各种组合能否实现的问题。在问题一中，给定长方形木板材料，但是实际上，桌子展开成平面时不一定非要是长方形。我们可以这样来想：首先，按照客户指定的桌面大小形状来做出桌面，然后根据桌高来确定并且做出四根接触地面的桌腿（如图Ⅰ，图Ⅰ只画了正面的两条桌腿）；在桌腿插上钢筋，然后再将木条向钢筋上放，要求是这些木条能恰好插入到钢筋（如图Ⅱ）；最后延长木条，使得木块下沿构成客户所需要的形状（如图Ⅲ，图Ⅲ）。图Ⅰ图Ⅱ图Ⅲ这个方法很显然可以实现，这样做可以方便加工，而且若是客户没有要求铺开时木板形状，我们还可以将木条的长度缩减到恰好能被钢筋连接起来，这样又可以节省一部分材料。在程序实现中，客户给定桌面形状、桌高以及桌脚边缘线大致形状，只要能给出桌面边缘的显式或参数方程，就可以自动计算加工参数并制图。本文考察了桌面为半长轴为50，半短轴为40的椭圆，高80的桌子，以及以系数为20的心形为桌面，高为70的桌子。给出了开槽长度及折叠过程示意图。椭圆形桌面表3各桌腿的开槽长度桌脚序号（从外到里）槽的长度第1根0第2根17.8746第3根24.5662第4根30.0544第5根34.5735第6根37.2380第7根34.3708第8根32.2532第9根30.8564第10根30.1623心形桌面表4各桌腿的开槽长度桌脚序号（从外到里）槽的长度第1根0第2根8.7391第3根18.3158第4根10.3634第5根6.7269第6根3.6755第7根1.4695第8根0.3274第9根0.4012第10根1.7568第11根4.3605第12根8.0718第13根12.6481第14根17.7660第15根12.0498第16根0.0515六、模型的评价与推广6.1模型的优缺点缺点：1.问题一二中，模型是理想化的，桌面并不是理想的圆形，最外侧的桌脚的长度也不是桌长的一半。2.桌脚构成的边缘线并不是连续的，槽的长度构成的曲线也不是连续的，求得的数据有误差。优点：利用桌子各个参数之间的关系，将桌子加工的方式进行改进，使加工方式简化；6．2模型的推广1.本文建立的模型是简化很多条件后的，因为最外侧桌腿的顶侧并不是相接的，而是留有一小块木块，实际上不论是什么形状的桌子，都必须要留有一部分，否则两条桌腿便无法合上，实际的最外侧桌腿应该比长方形的一半要小，可以根据木块的厚度来决定所留木块的长短，再将这一数据代入模型中可以减小与实际情况的误差。2.槽长和最外侧桌腿与地面的夹角以及钢筋的位置有关，这样就可以将槽长和桌腿地面的面积以及桌面面积联系在一起，建立一个二元变量的目标函数，钢筋的位置是有范围的，不能接触到桌面边缘，也不能超出最外侧木板，在这个约束条件内求最优的钢筋位置和最外侧桌腿与地面夹角。七、参考文献[1]王思成，GBT，10357.7-1995家具力学性能试验桌类稳定性[J]，16-18.2012-09-13.八、附录附录一计算第一问的加工参数cleari=0;forx=-25:0.05:25;%%以x为参数计算桌脚坐标及开槽长度i=i+1;x0(i)=x;z(i)=50;y(i)=sqrt(25^2-x^2);y0(i)=sqrt(625-x.^2)+(60-sqrt(625-x.^2)).*(16.583-sqrt(625-x.^2))/sqrt(1250-x.^2+16.583.^2-2.*16.583.*sqrt(625-x.^2));z0(i)=50-25.*(60-sqrt(625-x.^2))/sqrt(625+(sqrt(625-x.^2)-16.583).^2);d2(i)=sqrt((y0(i)-16.583).^2+(z0(i)-25).^2);%%折叠时钢筋到桌脚的距离d(i)=30-d2(i);%%开槽长度endsubplot(1,2,1)plot3(x0,y0,z0,'r-')%%绘制桌脚边缘线holdongridonsubplot(1,2,2)%%绘制槽长变化曲线plot(x0,d)gridon附录二第二问cleari=0;y1=30;%%更改不同的y1来模拟不同的钢筋位置forx=-40:0.05:40i=i+1;y(i)=sqrt(1600-x^2);co(i)=(y1-y(i))/sqrt((y1-y(i))^2+(7/4*y1)^2);si(i)=7/4*y1/sqrt((y1-y(i))^2+(7/4*y1)^2);x0(i)=x;y0(i)=y(i)+(sqrt(6500)-y(i))*co(i);z0(i)=70-(sqrt(6500)-y(i))*si(i);%%计算桌脚的坐标d2(i)=sqrt((y1-y0(i))^2+(70-7/4*y1-z0(i))^2);d(i)=sqrt(6500)-sqrt(y1^2+(7/4*y1)^2)-d2(i);y2(i)=-y0(i);l(i)=sqrt(6500)-y(i);endsubplot(1,2,1)plot3(x0,y0,z0,'r-')holdonplot3(x0,y2,z0)%%绘制桌脚边缘线gridonsubplot(1,2,2)%%绘制槽长变化曲线plot(x0,d)holdonplot(x0,l,'r')%%绘制桌腿长变化曲线gridon附录三min=11200*(1-0.5*@sqrt(1-x^2))/x;//此函数为加权后的目标函数x>=0.580322535;//程序中的x就是,为了计算简便用了换元x<=0.921573912;附录四第四问椭圆桌面cleara=50;b=40;%%输入桌面形状h=80;%%输入桌高hp=70;%%折叠时变化的桌高i=0;y1=30;l=sqrt(a^2+h^2);z1p=hp-y1*hp/a;y1p=y1/a*sqrt(l^2-hp^2);forx=-b:0.01:b;i=i+1;x0(i)=x;y(i)=sqrt((1-x^2/b^2)*a^2);z(i)=hp;l0(i)=l-y(i);si(i)=(hp-z1p)/sqrt((y1p-y(i))^2+(hp-z1p)^2);co(i)=(y1p-y(i))/sqrt((y1p-y(i))^2+(hp-z1p)^2);y0(i)=l0(i)*co(i)+y(i);z0(i)=hp-l0(i)*si(i);%%计算桌脚坐标d2(i)=sqrt((y1p-y0(i)