2022年黑龙江省哈尔滨市亚沟中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2022年黑龙江省哈尔滨市亚沟中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，则下列说法正确的是A.f(x)定义域是（0，+∞）B.x∈（0，1）时，f(x)图象位于x轴下方C.f(x)存在单调递增区间D.f(x)有且仅有两个极值点E.f(x)在区间（1，2）上有最大值参考答案：BC【分析】利用函数的解析式有意义求得函数的定义域，再利用导数求解函数的单调区间和极值、最值，逐项判定，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确；由，当时，，∴，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的；由，则，所以，函数单调增，则函数只有一个根，使得，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确；由，则，所以，函数单调增，且，，所以函数在先减后增，没有最大值，所以E不正确，故选BC．【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，以及利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，其中解答中准确求解函数的导数，熟记函数的导数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.下面图形中是正方体展开图的是(

)．

参考答案：A3.若成等比数列，则函数的图像与轴交点个数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.复数等于（）A．8 B．﹣8 C．8i D．﹣8i参考答案：D【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，然后进行复数幂的运算即可．【解答】解：由，故选D．5.双曲线上的点P到左焦点的距离是6，这样的点有（

）A.3个

B.4个

C.2个

D.1个

参考答案：A6.用数学归纳法证明不等式，第二步由k到k+1时不等式左边需增加（

）A．

B.

C.

D.参考答案：D7.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为，则的最大值为(

)A．

B． C． D．参考答案：B略8.某高中有在校学生3000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校举行了跳绳和跑步比赛活动．每位学生都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：

高一年级高二年级高三年级跳绳跑步其中∶∶＝2∶3∶5，全校参与跳绳的人数占总人数的.为了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个300人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取（

）A．72人

B．54人

C．42人

D．30人参考答案：B9.直线y=x-1的倾斜角为

(

)A．150o

B．60o

C．30o

D．-60o参考答案：C10.数列{an}的前n项和为Sn，若S3=13，an+1=2Sn+1，n∈N*，则符合Sn＞a5的最小的n值为（）A．8 B．7 C．6 D．5参考答案：D【考点】数列递推式．【分析】an+1=2Sn+1，n∈N*，n≥2时，an=2Sn﹣1+1，可得an+1﹣an=2an，即an+1=3an，利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵an+1=2Sn+1，n∈N*，n≥2时，an=2Sn﹣1+1，∴an+1﹣an=2an，即an+1=3an，∴数列{an}是等比数列，公比为3，由S3=13，∴=13，解得a1=1．∴a5=34=81．Sn==，S5==121＞a5，S4==40＜a5．∴符合Sn＞a5的最小的n值为5．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，∠AFB=90°，则C的离心率e=．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知条件，利用解直角三角形求出|BF|，再利用椭圆的对称性质能求出椭圆的离心率．【解答】解：如图所示，在△AFB中，|AB|=10，|AF|=6，∠AFB=90°，∴|BF|2=|AB|2﹣|AF|2=100﹣36=64，∴|BF|=8，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=|AF|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6=14，2c=10，解得a=7，c=5，∴e==，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的对称性的合理运用．12.的夹角为，则

参考答案：13.设等比数列的公比，前n项和为，则=_____________。参考答案：略14.若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=

．参考答案：2【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2．15.已知直线是的切线，则的值为

参考答案：略16.已知命题p：x≤1，命题q：≥1，则命题p是命题q的条件．参考答案：必要不充分【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】命题q：≥1，即≤0，等价于x（x﹣1）≤0，x≠0，解得0＜x≤1．即可判断出结论．【解答】解：命题p：x≤1，命题q：≥1，∴≤0，等价于x（x﹣1）≤0，x≠0，解得0＜x≤1．则命题p是命题q的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S＝132，那么判断框中应填入

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围．（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2＜e2k．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由题意x＞0，=lnx﹣k，由此根据k≤0，k＞0利用导数性质分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值．（2）问题转化为k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．（3）设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，由此利用导数性质能证明x1x2＜e2k．【解答】解：（1）∵f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R），∴x＞0，=lnx﹣k，①当k≤0时，∵x＞1，∴f′（x）=lnx﹣k＞0，函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值；②当k＞0时，令lnx﹣k=0，解得x=ek，当1＜x＜ek时，f′（x）＜0；当x＞ek，f′（x）＞0，∴函数f（x）的单调减区间是（1，ek），单调减区间是（ek，+∞），在区间（1，+∞）上的极小值为f（ek）=（k﹣k﹣1）ek=﹣ek，无极大值．（2）∵对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，∴f（x）﹣4lnx＜0，即问题转化为（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0对于x∈[e，e2]恒成立，即k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则，∴t（x）在区间[e，e2]上单调递增，故t（x）min=t（e）=e﹣4+4=e＞0，故g′（x）＞0，∴g（x）在区间[e，e2]上单调递增，函数g（x）max=g（e2）=2﹣，要使k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，∴k+1＞2﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，+∞）．证明：（3）∵f（x1）=f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，ek）上单调递减，在区间（ek，+∞）上单调递增，且f（ek+1）=0，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，∵f（x）在区间（ek，+∞）上单调递增，∴f（x2）＜f（），又f（x1）=f（x2），即证f（x1）＜，构造函数h（x）=f（x）﹣f（）=（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln﹣k﹣1），即h（x）=xlnx﹣（k+1）x+e2k（），x∈（0，ek）h′（x）=lnx+1﹣（k+1）+e2k（+）=（lnx﹣k），∵x∈（0，ek），∴lnx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，∴函数h（x）在区间（0，ek）上单调递增，故h′（x）＜h（ek），∵，故h（x）＜0，∴f（x1）＜f（），即f（x2）=f（x1）＜f（），∴x1x2＜e2k成立．【点评】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．19.已知命题p：实数m满足，其中；命题q：方程表示双曲线.(Ⅰ)若，且为真，求实数m的取值范围；(Ⅱ)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.参考答案：（1）

（2）命题：由题得，又，解得.............................2分.命题:，解得................................................................................4分.（1）若，命题为真时，...................................................................................5分.当为真时，则真且真∴，解得的取值范围是...............................................................................7分（2）是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件................................................9分∴，所以实数的取值范围是..........................................................................12分20.(本小题10分)；.参考答案：（1）2x-3y+14=0

(2)x-2y-4=0略21.（本小题满分12分）已知数列满足且，．求数列的前项和．参考答案：∵∴时∴

累加得----------------4分又∴经检验也成立∴

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