2022年广东省阳江市永宁中学高三数学理下学期摸底试题含解析

2022年广东省阳江市永宁中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知过曲线上一点与原点的直线的倾斜角为，则点坐标是(

)A．（，）B．C．（，）D．参考答案：D2.已知元素为实数的集合A满足条件：若，则，那么集合A中所有元素的乘积是（

）A．－1

B．1

C．0

D．±1参考答案：B3.若的三个内角满足，则（

）A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形

D.可能是锐角三角形，也可能是直角三角形参考答案：C4.某同学采用计算机随机模拟的方法来估计图(1)所示的阴影部分的面积，并设计了程序框图如图（2）所示，在该程序框图中，表示[0,1]内产生的随机数，则图(2)中①和②处依次填写的内容是（

）A.， B.，C.， D.，参考答案：D分析：本题求阴影部分面积时，根据自变量的范围，确定在程序框图中初值，从程序框图中可以看出，一共随机模拟了1000次，落入阴影部分的次数为，根据矩形的面积，求出的表达式。详解：从图（1）可以看出，求曲线与轴围成的面积，而RAND表示内的随机数，所以在程序框图中，赋初值，由题意，随机模拟总次数为1000，落入阴影部分次数为，设阴影部分面积为，矩形面积为，所以，选D.点睛：本题主要考查了用随机数模拟方法求阴影部分面积和程序框图以及几何概型求面积等，属于中档题。解答本题的关键是读懂题意和看懂程序框图。5.已知，则

的解集为

(

)A．(－∞，－1)∪(0，)

B．(－∞，－1)∪(，＋∞)C．(－1,0)∪(，＋∞)

D．(－1,0)∪(0，)参考答案：A6.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是()（A）

(B)

（C）

(D)

参考答案：B7.若，则是复数是纯虚数的（

） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C略8.对于三次函数（），定义：设f″（x）是函数y＝f′（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数的“拐点”．有同学发现:“任、何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数，则=（

）

（A）2010

（B）2011

（C）2012

（D）2013参考答案：A令，，则g（x）=h（x）+m（x）．

则，令，所以h（x）的对称中心为（，1）．设点p（x0，y0）为曲线上任意一点，则点P关于（，1）的对称点P′（1﹣x0，2﹣y0）也在曲线上，∴h（1﹣x0）=2﹣y0，∴h（x0）+h（1﹣x0）=y0+（2﹣y0）=2．∴h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）=[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+…+[h（）+h（）]=1005×2=2010．由于函数m（x）=的对称中心为（，0），可得m（x0）+m（1﹣x0）=0．∴m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）=[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+…+[m（）+m（）]=1005×0=0．∴g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）=h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）+m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）=2010+0=2010，选A.9.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，，则A、B两点的距离为A.

B.C.D.参考答案：B因为，所以，所以根据正弦定理可知，，即，解得，选B.10.已知全集U=R，集合为为A. B. C. D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线的任意点,圆x2＋y2－2x－4y＝0上的任意点为,线段的长度最小值等于________．参考答案：12.若函数的最小值为4，则a的值为_______．参考答案：1略13.若，则___________.参考答案：14.“”是”的

条件.参考答案：必要不充分略15.已知，那么=_________________.参考答案：略16.一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为

．参考答案：由三视图可得，该几何体是一个组合体，其上半部分是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长度为2的菱形，高为2，其体积为：，下半部分是半个球，球的半径R=1，其体积为据此可得，该几何体的体积为.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．17.函数y=x+lnx在点（1，1）处的切线方程为

．参考答案：2x﹣y﹣1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由y=x+1nx，知，由此能求出函数y=x+1nx在点（1，1）处的切线方程．【解答】解：∵y=x+1nx，∴，∴k=y′|x=1=1+1=2，∴函数y=x+1nx在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），整理，得2x﹣y﹣1=0．故答案为：2x﹣y﹣1=0．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数,，其中R.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（Ⅲ）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）的定义域为，且，

----------1分①当时，，在上单调递增；

----------2分②当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增.

------4分（Ⅱ），的定义域为

-------------5分因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以

-------------8分（Ⅲ）当时，，由得或当时，；当时，.所以在上，

------------10分而“，，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值为所以有

-----------------------------12分所以实数的取值范围是------------------------------13分略19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB上的点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若E是PB的中点，若AE与平面ABCD所成角为45°，求三棱锥P﹣ACE的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）利用勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，由PC⊥平面ABCD得出AC⊥PC，故而AC⊥平面PBC，从而得出PMACE⊥平面PBC；（II）取BC的中点F，连接EF，AF，则可证EF⊥平面ABCD，即∠EAF为AE与平面∠平面ABCD所成的角，利用勾股定理求出AF，则EF=AF．由E为PB的中点可知VP﹣ACE=VE﹣ABC=．【解答】证明：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC?平面PBC，PC?平面PBC，BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，又∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．解：（Ⅱ）取BC的中点F，连接EF，AF，∵E，F是PB，BC的中点，∴EF∥PC，由PC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．∴∠EAF为AE与平面ABCD所成角．即∠EAF=45°．∵AF==，∴EF=AF=．∵E是PB的中点，∴VP﹣ACE=VE﹣ABC===．20.（14分）已知集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}．（1）若A∩B=?，求a的取值范围；（2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（?RA）∩B．参考答案：【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．【专题】集合．【分析】（1）先解出集合中的一元二次不等式，然后根据A∩B=空集，说明集合A，B没有共同的元素，从而求出实数a的范围；（2）由条件判断a=﹣2，求出CRA，即可求得（CRA）∩B．【解答】解：（1）∵y=x2﹣x+=（x﹣1）2+2，∴y=x2﹣x+在[0，1]递减，在[1，3]上递增，当x=1时，有最小值，即为2，当x=3时，有最大值，即为4，∴2≤y≤4，∴B=[2，4]，∵A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}═{y|（y﹣a）[y﹣（a2+1）]＞0}，又a2+1＞a∴A={y＞a2+1或y＜a}，∵A∩B=?，∴a2+1≥4或a≤2，∴≤a≤2或a≤﹣，（2）使不等式x2+1≥ax恒成立时，由判别式△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的最小值时，a=﹣2．由（1）可得CRA={y|a≤y≤a2+1}={y|﹣2≤y≤5}，B={y|2≤y≤4}．（CRA）∩B=B=[2，4]．【点评】本题主要考查两个集合的补集、交集、并集的定义和运算，二次函数的性质，属于基础题21.（本题满分12分）已知函数，在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0.(1)求函数f(x)解析式；（2）若对于区间[-2,2]上的任意两个自变量都有，求实数c的最小值；（3）若过点M（2，m）(m2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围；参考答案：（1）由已知得，根据题意，得即解得（2）由（1）知则令又f(-1)=2,f(1)=-2,f(-2)=-2,f(2)=2,(3)设切点为（，则切线的斜率为则有，即过点M(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，方程有三个不同的实数解，有三个不同的零点，令解得x=0,x=2,22.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数g(x)＝f(x)－(x－1)，其中k∈R，求函数g(x)在区间[1，e]上的最大值．参考答案：解：(1)f′(x)＝lnx＋1(x＞0)．令f′(x)≥0，得lnx≥－1＝lne－1，x≥lne－1＝；令f′(x)≤0，得x∈.∴f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是，∴函数的极小值为f＝－，无极大值．(2)g(x)＝xlnx－k(x－1)，则g′(x)＝lnx＋1－k，由g′(x)＝0，得x＝ek－1，∴在区间(0，ek－1)上，g(x)为递减函数，在区间(ek－1，＋∞)上，g(x)为递增函数．当ek－1≤1，即k≤1时，在区间[1，e]上，g(x)为递增函数