2022-2023学年山东省烟台市栖霞松山中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年山东省烟台市栖霞松山中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则满足的实数x的取值范围是（

）A.(－∞,0] B.(3,+∞) C.[1,3) D.(0,1)参考答案：B【分析】根据函数的解析式，得出函数的单调性，把不等式，转化为相应的不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数，可得当时，，当时，函数在单调递增，且，要使得，则，解得，即不等式的解集为，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中根据函数的解析式，得出函数单调性，合理利用函数的单调性，得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.2.已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M?N，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0]参考答案：A【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】解出集合M，根据子集的概念即可求得实数a的取值范围．【解答】解：M={x|x＜2}；∵M?N；∴a≥2；∴a的取值范围是[2，+∞）．故选A．【点评】考查子集的概念，描述法表示集合，可借助数轴求解．3.过点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A、B，0为坐标原点，则的外接圆方程是

A．

B．C．

D．参考答案：A4.已知直线按向量平移后得到的直线与曲线相切，则为（

）（A）（0，1）

（B）（1，0）

（C）（0，2）

（D）（2，0）参考答案：A5.（5分）（2015?济宁一模）已知i是虚数单位，复数z=，则|z﹣2|=（）A．2B．2C．D．1参考答案：C【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式求模．解：∵z﹣2=﹣2=，∴|z﹣2|=．故选：C．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6.设函数若a>b>1,且f(a)=f(b),则的取值范围为 （

）A.(-2,3)

B.(-2,2)

C.(1,2)

D.参考答案：D略7.已知条件，条件则p是成立的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B略8.集合具有性质“若，则”，就称集合是伙伴关系的集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为（

）A.

3

B.

7

C.

15

D.31参考答案：C9.设全集，集合，，则的值为.

.

.

.

参考答案：C10.函数的零点所在的区间为

A.

B.

C.

D.参考答案：C因为，所以函数的零点所在的区间为，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．参考答案：60【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．12.正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是

．参考答案：【知识点】积分的意义；几何概型..B13

K3

【答案解析】

解析：因为，所以在第一象限有，则在第一象限的阴影部分的面积为，所以概率为，故答案为.【思路点拨】先利用积分的意义求出图形在第一象限的阴影部分的面积，然后求概率即可.13.已知函数f（x）的值域[0，4]（x∈[﹣2，2]），函数g（x）=ax﹣1，x∈[﹣2，2]，?x1∈[﹣2，2]，总?x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣]∪[，+∞}【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；分类讨论．【分析】由题意知，g（x）的值域包含f（x）的值域，g（x）的值域与a的正负有关，分a＞0，a＜0两类求解，两类中分别得出端点值的大小关系，求两个不等式组，得到关于a的两个范围，求并集可得a的取值范围．解：根据题意，分情况讨论可得：①a＞0时，，得a≥；②a＜0时，，得a≤﹣，③a=0时，g（x）=ax﹣1=﹣1，∴a∈?则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题考查函数的值域，集合间的关系，解不等式组等知识点；把集合间的关系转化为不等式组求参数范围，可借助数轴；求值域时用分类讨论的思想．14.已知

在[-2，2]上有最小值3，那么在[-2，2]上的最大值是

参考答案：43

15.（文科做）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有

人。参考答案：816.在的展开式中，x3项的系数为（用数字作答）参考答案：2017.已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．参考答案：15【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．【专题】综合题；压轴题．【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，曲线在点处的切线方程为(1)求a，b的值；(2)证明:.参考答案：（1）解：，由题意有，解得

┄┄┄┄┄┄4分（2）证明：（方法一）由（1）知，.设则只需证明，设则，在上单调递增，，使得

┄┄┄┄┄┄7分且当时，，当时，当时，，单调递减当时，，单调递增

┄┄┄┄┄┄8分，由，得，，

┄┄┄┄┄┄10分

设，，当时，，在单调递减，，因此

┄┄┄┄┄┄12分（方法二）先证当时，，即证设，则，且，在单调递增，在单调递增，则当时，

┄┄┄┄┄┄8分（也可直接分析显然成立）再证设，则，令，得且当时，，单调递减；当时，，单调递增.，即又， ┄┄┄┄┄┄12分法三：要证不等式等价于令，，分别求最值.19.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式;（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）参考答案：本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）

解：（Ⅰ）由题意：当；当

再由已知得

故函数的表达式为

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得

当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；

当时，

当且仅当，即时，等号成立。

所以，当在区间[20，200]上取得最大值

综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值。

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。18.（本小题满分12分）

小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队。游戏规则为：以O为起点，再从(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为.若就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队。求小波参加学校合唱团的概率；求的分布列和数学期望。

参考答案：21.某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C103，奖金的可能取值是0，30，60，240，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，写出分布列和期望值．（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率，和四次抽奖是相互独立的，得到中奖的次数符合二项分布，根据二项分布的方差公式写出结果．【解答】解：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C103=120，奖金的可能取值是0，30，60，240，∴一等奖的概率P（ξ=240）=，P（ξ=60）=P（ξ=30）=，P（ξ=0）=1﹣∴变量的分布列是ξξ03060240P∴Eξ==20（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率是1﹣四次抽奖是相互独立的∴中奖次数η～B（4，）∴Dη=4×【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布的方差公式，解本题的关键是看清题目中所给的变量的特点，看出符合的规律，选择应用的公式．22.（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．参考答案：【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：计算题；解三角形．【分析】：（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出sinA=，再由△ABC是锐角三角形，即可算出角A的大小；（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子，结合题意化简得b2+c2﹣bc=16，与联解b+c=8得到bc的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．解：（1）∵△ABC中，，∴