版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领
文档简介
第六节偏导数在几何上的应用~
空间曲线的切线与法平面二 曲面的切平面与法线(1)式中的三个函数均可导设曲线上一点M
(x0
,y0
,z0
)对应于t
=t0点M
(
x0
+
Dx，y0
+
Dy,
z0
+
Dz)对应于
t
=
t0
+
Dt1.
空间曲线的方程z
=
w
(t
)
y
=y
(t
)
(1)
x
=
f(t
)一、空间曲线的切线与法平面割线
MM
的方程为x
-
x0
=
y
-
y0
=
z
-
z0Dx
Dy
Dzzo
yx考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以Dt
,x
-
x0
=
y
-
y0
=
z
-
z0MMDxDtDyDtDzDt0
时M
,即D
t
fi当M
fi曲线在M处的切线方程x
-
x0
=
y
-
y0
=
z
-
z0f¢(t0
)
y
¢(t0
)
w
¢(t0
)切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量。T
=
{f
(t0
),
y
(t0
),
w
(t0
)}法平面：过M点且与切线垂直的平面。f
(t0
)(
x
-
x0
)
+y
(t0
)(
y
-
y0
)
+
w
(t0
)(
z
-
z0)
=
0切线方程x
-
0
=
y
-
1
=
z
-
21
2
3法平面方程x
+2(y
-1)+3(z
-2)=0例1求曲线x
=0z=1
+e
3t
在t=0处的切线和法平面方程。解：当t
=0时，x
=0,y
=1,z
=2x
=
e
t
cos
t,
y
=
2cos
t
-
sin
t,
z
=
3e
3t
x
(0)
=
1,
y
(0)
=
2,
z
(0)
=
3tue
cos
udu，x
+
2
y
+
3z
-
8
=
0即y
=
2sin
t
+
cos
t
z
=
y
(
x
)2.将x
看作参数得空间曲线方程为
y
=f(x
)=
z
-
z0x
-
x0
=
y
-
y01
f¢(
x0
)
y
¢(
x0
)法平面方程为(
x
-
x0
)
+
f
(
x0
)(
y
-
y0
)
+y
(
x0
)(z
-
z0
)
=
0在M
(x0
,y0
,z0
)处切线方程为3.空间曲线方程为G(
x,
y,
z)
=
0F
(
x,
y,
z)
=
0切线方程为Fy
Fz
Fz
Fx
Fx
FyGy
Gz
0
Gz
Gx
0
Gx
Gy
0z
-
z0=y
-
y0=x
-
x0法平面方程为0(z
-
z
)
=
0y
00(
y
-
y
)
+0(
x
-
x
)
+G
Gx
0F
FxG
Gz
0xFyGxzzyFy
Fz
+dx
dx
dy
dzdx
dx=
-1
y
dy
+
z
dz
=
-x解2：将所给方程的两边对x
求导并移项，得dy
=
z
-
xdx y
-
zdx y
-
zdz x
-
y=例2求曲线
x
2
+
y2
+
z
2
=
6
,
x
+
y
+
z
=
0在点(1,-2,1)处的切线及法平面方程。解1：直接利用公式；由此得切向量T
={1,0,-1}x
-
1
y
+
2
z
-
1所求切线方程为
1
=
0
=
-
1法平面方程为(
x
-
1)
+
0 (
y
+
2)
-
(z
-
1)
=
0
x
-
z
=
0=
0,dx
(1,-2,
1)dy=
-1dx
(1,-2,
1)dz设曲面方程为F
(
x,
y,
z)
=
0在曲面上任取一条通过点M的曲线曲线在M处的切向量T
={f
(t0
),y
(t0
),w
(t0
)}z
=
w
(t
)G：
y
=y
(t
)
x
=
f(t
)nTM二、曲面的切平面与法线令n
={Fx
(x0
,y0
,z0
),Fy
(x0
,y0
,z0
),Fz
(x0
,y0
,z0
)}则n
^
T
,由于曲线是曲面上通过点M的任意一条曲线，它们在点M的切线都与同一向量n
垂直，故曲面上通过M的一切曲线在点M的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M的切平面切平面方程为Fx
(
x0
,
y0
,
z0
)(
x
-
x0
)
+
Fy
(
x0
,
y0
,
z0
)(
y
-
y0
)+
Fz
(
x0
,
y0
,
z0
)(
z
-
z0
)
=
0法线方程为Fx
(
x0
,
y0
,
z0
)
Fy
(
x0
,
y0
,
z0
)
Fz(
x0
,y0
,
z0
)z
-
z0=
=x
-
x0
y
-
y0垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量曲面在M处的法向量即n
={Fx
(
x0
,
y0
,
z0
),
Fy
(
x0
,
y0
,
z0
),
Fz
(
x0
,
y0
,
z0
)}通过点M0
(x0
,y0
,z0
)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。特殊地：空间曲面方程形为z
=f
(x,y)曲面在M处的切平面方程为fx
(
x0
,
y0
)(
x
-
x0
)
+
f
y
(
x0
,
y0
)(
y
-
y0
)
=
z
-
z0曲面在M处的法线方程为=
z
-
z0=x
-
x0
y
-
y0fx
(
x0
,
y0
)
f
y
(
x0
,
y0
)
-
1F
(
x,
y,
z)
=
f
(
x,
y)
-
z令=
f
x
(
x0
,
y0
)(
x
-
x0
)
+
f
y
(
x0
,
y0
)(
y
-
y0
)z
-
z0切平面上点的竖坐标的增量全微分的几何意义因为曲面在M处的切平面方程为函数z
=f
(x,y)在点(x0
,y0
)的全微分z
=f
(x,y)在(x0
,y0
)的全微分，表示曲面z
=f
(x,y)在点(x0
,y0
,z0
)处的切平面上的点的竖坐标的增量若a，b，g
表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角g是锐角，则法向量的方向余弦为cosa
=x
y1
+
f
2
+
f
2-
fxcos
b
=x
y1
+
f
2
+
f
2-
f
y1
+
f
2
+
f
2x
y1cosg
=x
x
0
0f
=
f
(
x
,
y
)fy
0
0y=
f
(
x
,y
)其中解：Fx
(1,
2,0
)
=
2
y
(1,
2,0
)=
4,
Fy(1,
2,0
)=
2
x
=
2,(1,
2,0
)=
0(1,
2,0
)z
(1,
2,0
)F
=
1
-
ez处的切平面及法线方程。令
F
(
x,
y,
z)
=
z
-
ez
+
2
xy
-
3切平面方程法线方程4(
x
-
1)
+
2(
y
-
2)
+
0
(z
-
0)
=
02
x
+
y
-
4
=
0x
-
1
=
y
-
2
=
z
-
02
1
0例3
求曲面
z
-
e
z
+
2xy
=
3
在点(1,2,0)解:f
(
x,
y)
=
x
2
+
y2
-
1n
=
{2x,
2
y,
-
1}
=
{4,
2,-1}(
2,1,4
) (
2,1,4
)切平面方程法线方程为4(
x
-
2)
+
2(
y
-
1)
-
(
z
-
4)
=
0
4
x
+
2
y
-
z
-
6
=
0x
-
2
=
y
-
1
=
z
-
44
2
-
1例4
求旋转抛物面
z
=
x
2
+
y2
-
1
在点(2,1,4)处的切平面及法线方程。例5
求曲面x2
+
2
y2
+
3z2
=
21平行于平面x
+
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2024年江西省宜春市袁州区四上数学期末综合测试试题含解析
- 2024年江苏省徐州市铜山区六上数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析
- 2024年江苏省无锡市南长区六年级数学第一学期期末教学质量检测试题含解析
- 2024年湖南益阳南县城乡发展投资限公司招聘15人高频500题难、易错点模拟试题附带答案详解
- 2024年湖南省娄底市双峰县事业单位招聘90人历年高频500题难、易错点模拟试题附带答案详解
- 2024年湖南湘西州花垣县政府办(县大数据中心)遴选高频500题难、易错点模拟试题附带答案详解
- 2024年湖南浏阳市招聘机关事业单位专业人才36人（第二批）高频500题难、易错点模拟试题附带答案详解
- 2024年湖南永州市江华瑶族自治县基层急需紧缺人才招聘74人高频500题难、易错点模拟试题附带答案详解
- 2024年湖南株洲石峰区面向高校应届毕业生招聘事业单位人员9人历年高频500题难、易错点模拟试题附带答案详解
- 2024年湖南怀化辰溪县事业单位招聘（第二批）高频500题难、易错点模拟试题附带答案详解
- 中国少年先锋队基础知识试题100题
- 部编版四年级语文上册课件 15 女娲补天
- 《中国音乐发展简史》PPT课件
- 车用驱动电机原理与控制基础PPT课件(200页)
- 日语假定条件句的教学小结
- 备自投试验报告
- MG动画制作课程标准
- 《国防法规》（课堂PPT）
- 吉尔吉斯斯坦共和国公司法
- 六大基本初等函数图像及其性质
- 理论力学二PPT课件
评论
0/150
提交评论