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微分方程模型常微分方程的基本方法匚微分方程基础分方程是含有函数及其导数的方程如果方程(组)只含有一个自变量(通常是肘间t),则称为常微分方程。否则称为偏微分方程。例:下面的方程都是徽分方程m+ku=mgsineSIl微分方程的解是函数,对应一个变化过程。常微分方程的解是随肘间t`化的函数,比如一辆汽车在公路上飞驰,一个球从空中落下等。偏微分方程不但描述物体随时间变化发生位置的改变,而且物体各部分之间的位置的相对变化。如水的流动,烟雰的扩散,公路上车流的涌动等。微分方程解决的主要问题:(1)描述对象特征随肘间(空间)的演变过程(2)分析对象特征的变化规律(3)预报对象特征的朱来性态4)研究控制对象特征的手段微分方程模型包括两个部分:方程和定解条件。由于微分方程的求解需要借助微分的逆运算一积分,而积分出现任意常数,因此方程的解不唯一,需要附加条件将所求的解唯一确定下来。这样的条件称为定解条件。帟徽分方程的定解条件:对一个m阶常微分方程,需要积分m次才能将解函数求出,因此需要m个定解条件。方程组的定解条件个数是每个方程定解条件个数之和。定解问题分为初值问题和边值问题初值问题的定解条件在同一个点上,而边值问题的定解条件在不同点上。导数的意义:瞬肘变化率在实际上我们遇到的描述变化的词有速率(物理)增长率(经济,生物,人口等)哀变(原子反应)边际的(经济噼时变化率的描述绝对增加率:单位肘间增加的量相对增加率:单位肘间增加的百分比。变化率三增加率减少率由于是噼肘的,其量的关糸只有在很短的肘间间隔中才能够利用静态的方法分析。(微元法)微分方程的建模方法(1)利用导数的意义,建立含有导数的方程(微分方程)。(2)微元法。微分方程的稳定性理论对微分方程组=∫(x)dt若f(x)=0,则称X是方程组的平衙点。如果在平衡点X处,f(X)的Jacob矩阵ofraf,afrfDfD(,f2,L,fn)2DxD(r,,x2,L,,)afaf,a0ax.a的所有特征值的实部都小于0,则Ⅺ是稳定的平衡点如果存在某个特征值的实部大于0,则Ⅺ是不稳定的平衡点。稳定的平衡点的实际意义如果傲分方程存在稳定的平衡点,设X(t是傲分方程的解,则当t>∞肘,Ⅺ(t)趋句于某个稳定的平衡点例:对Logistic方程,=r(1dt它有两个平衡点Ⅹ=0和X=N。其中X=0是不稳定的平衡点,X=N是稳定的平衡点。例1:某人的食量是2500卡/天。其中1200卡用于基本的新陈代谢。在健身训练中,他每公斤体重所消耗的热量大约是16卡/天。设以脂肪形式贮存的热量100%有效,且1公斤脂肪含热量10000卡,分析这个人体重的变化。分析:问题研究人体重量随时间的烹化w(t)。条件给出的是热量单位射间的变化2500-1200-16w(t)

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