安徽省2023中考数学第5章四边形作业

Page1第五章四边形第一节平行四边形与多边形考点1与平行四边形有关的证明与计算1.在▱ABCD中,若∠A=38°,则∠C等于(C)A.142° B.132° C.38° D.52°2.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若AC=5,BD=8,AD=5,则△AOD的周长为(C)A.10 B.11 C.11.5 D.133.[2021天津]如图,▱ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,1),(-2,-2),(2,-2),则顶点D的坐标是(C)A.(-4,1) B.(4,-2) C.(4,1) D.(2,1)(第3题)(第4题)4.[2021湖北荆门]如图,将一副三角板在平行四边形ABCD中如下摆放,设∠1=30°,那么∠2=(C)A.55° B.65° C.75° D.85°5.[2020蚌埠模拟]如图,在△ABC中,以点A为圆心,BC长为半径的弧与以点C为圆心,AB长为半径的弧相交于点D,连接AD,BD,CD,AC与BD相交于点O.则下列结论不正确的是(D)A.AO是△ABD的中线 B.∠ABC=∠ADCC.AB=CD D.BO是△ABC的角平分线6.[2021山东菏泽]如图,在Rt△ABC中,∠C=30°,D,E分别为AC,BC的中点,DE=2,过点B作BF∥AC,交DE的延长线于点F,则四边形ABFD的面积为83.

(第6题)(第7题)7.[2021广东]如图,在▱ABCD中,AD=5,AB=12,sinA=45.过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CE,则sin∠BCE=

9108.[2021北京]如图,在四边形ABCD中,∠ACB=∠CAD=90°,点E在BC上,AE∥DC,EF⊥AB,垂足为F.(1)求证:四边形AECD是平行四边形;(2)若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=45,求BF和AD的长(1)证明:∵∠ACB=∠CAD=90°,∴AD∥EC.又∵AE∥DC,∴四边形AECD是平行四边形.(2)在Rt△BEF中,BF=BE·cosB=5×45=∴EF=BE2-∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,∠ACE=90°,∴CE=EF=3.∵四边形AECD是平行四边形,∴AD=CE=3.9.[2021淮南模拟]如图,在▱ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F两点,点G,H分别为AD,BC的中点,连接GH交BD于点O.求证:EF与GH互相平分.证明:连接BG,DH,如图.∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC,∴∠ABE=∠CDF.∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90°,∴△ABE≌△CDF,∴BE=DF.∵G,H分别为AD,BC的中点,∴BH=12BC,GD=12∴BH=GD.又BH∥GD,∴四边形BHDG是平行四边形,∴OB=OD,OG=OH,∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF,∴EF与GH互相平分.考点2多边形的性质10.[2020江苏扬州]如图,小明从点A出发沿直线前进10米到达点B,向左转45°后又沿直线前进10米到达点C,再向左转45°后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去,小明第一次回到出发点A时所走的路程为(B)A.100米B.80米C.60米D.40米11.[2021黑龙江绥化]一个多边形的内角和是外角和的4倍,则这个多边形是(C)A.八边形 B.九边形C.十边形 D.十二边形12.[2021福建]如图,点F在正五边形ABCDE的内部,△ABF为等边三角形,则∠AFC等于(C)A.108° B.120° C.126° D.132°(第12题)(第13题)13.[2020江苏南京]如图,在边长为2cm的正六边形ABCDEF中,点P在BC上,则△PEF的面积为23cm2.

1.[2021河北]如图(1),▱ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角,要在对角线BD上找点N,M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图(2)中的甲、乙、丙三种方案,则正确的方案(A)图(1)图(2)A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、乙才是C.只有甲、丙才是 D.只有乙、丙才是2.[2021合肥50中三模]如图,在平行四边形ABCD中,BD=AB,∠ABD=30°,将平行四边形ABCD绕点A旋转至平行四边形AMNE的位置,使点E落在BD上,ME交AB于点O,则AOBO的值是(B)A.5-12 B.3+13.[2021黑龙江哈尔滨]四边形ABCD是平行四边形,AB=6,∠BAD的平分线交直线BC于点E,若CE=2,则▱ABCD的周长为20或28.

4.[2021山东泰安]如图,在平行四边形ABCD中,E是BD的中点,则下列四个结论:①AM=CN;②若MD=AM,∠A=90°,则BM=CM;③若MD=2AM,则S△MNC=S△BNE;④若AB=MN,则△MFN与△DFC全等.其中正确结论的个数为(D)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个(第4题)(第5题)5.[2021芜湖模拟]在▱ABCD中,点E为AD的中点,连接CE,CE⊥AD,点F在AB上,连接EF,EF=CE,若BC=6,CD=5,则线段BF的长为

1856.[2021淮北模拟]如图,在四边形ABCD中,∠BCD=90°,对角线AC,BD相交于点N.点M是对角线BD的中点,连接AM,CM.已知AM=DC,AB⊥AC,且AB=AC.(1)求证:四边形AMCD是平行四边形.(2)求tan∠DBC的值.(1)证明:∵点M是BD的中点,∠BCD=90°,∴CM=BM=MD.又AB=AC,∴直线AM垂直平分线段BC.又∠BCD=90°,∴AM∥CD.又AM=DC,∴四边形AMCD为平行四边形.(2)如图,延长AM交BC于点E,则由等腰直角三角形的性质可知BE=AE.∵点M是BD的中点,点E是BC的中点,∴ME是△BCD的中位线,∴CD=2ME.在▱AMCD中,AM=CD,∴AM=2ME,∴ME=13AE=13∴tan∠DBC=MEBE=1新设问[2021江西]如图,在边长为63的正六边形ABCDEF中,连接BE,CF,其中点M,N分别为BE和CF上的动点.若以M,N,D为顶点的三角形是等边三角形,且边长为整数,则该等边三角形的边长为9,10或18.

第二节矩形、菱形、正方形考点1与矩形有关的证明与计算1.[2021广西河池]已知▱ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是(B)A.∠A=∠B B.∠A=∠CC.AC=BD D.AB⊥BC2.如图,在矩形ABCD中,AD=2,AB=4,分别以点B,D为圆心,以大于12BD的长为半径画弧,两弧相交于点E和F,作直线EF交AB于点N,则BN的长是(C)A.2.4 B.5 C.2.5 D.3(第2题)(第3题)3.[2021山东威海]如图,在▱ABCD中,AD=3,CD=2.连接AC,过点B作BE∥AC,交DC的延长线于点E,连接AE,交BC于点F.若∠AFC=2∠D,则四边形ABEC的面积为(B)A.5 B.25 C.6 D.2134.[2021黑龙江哈尔滨]如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥BC,垂足为点E,过点A作AF⊥OB,垂足为点F.若BC=2AF,OD=6,则BE的长为33.

(第4题)(第5题)5.[2021山东泰安]如图,将矩形纸片ABCD折叠(AD>AB),使AB落在AD上,AE为折痕,然后将矩形纸片展开铺在一个平面上,E点不动,将BE边折起,使点B落在AE上的点G处,连接DE,若DE=EF,CE=2,则AD的长为4+22.

6.[2021贵州贵阳]如图,在矩形ABCD中,点M在DC上,AM=AB,且BN⊥AM,垂足为N.(1)求证:△ABN≌△MAD;(2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN的面积.(1)证明:在矩形ABCD中,∠D=90°,DC∥AB,则∠BAN=∠AMD.∵BN⊥AM,∴∠BNA=90°.在△ABN和△MAD中,∠∴△ABN≌△MAD.(2)∵△ABN≌△MAD,∴BN=AD=2.在Rt△ABN中,由勾股定理,得AB=AN2+B∵S矩形ABCD=2×25=45,S△MAD=S△ABN=12×2×4=∴S四边形BCMN=S矩形ABCD-S△ABN-S△MAD=45-8.7.[2021江苏连云港]如图,点C是BE的中点,四边形ABCD是平行四边形.(1)求证:四边形ACED是平行四边形;(2)如果AB=AE,求证:四边形ACED是矩形.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC.∵点C是BE的中点,∴BC=CE,∴AD=CE,又∵AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形.(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.∵AB=AE,∴DC=AE.又∵四边形ACED是平行四边形,∴四边形ACED是矩形.考点2与菱形有关的证明与计算8.[2021江苏南通]若菱形的两条对角线的长分别是6和8,则菱形的周长是(B)A.24 B.20C.10 D.59.[2021合肥庐阳区二模]如图,在菱形ABCD中,AB=5,AC=6,过点D作DE⊥BA,交BA的延长线于点E,则线段DE的长为(D)A.125 B.C.4 D.2410.[2021阜阳模拟]四边形ABCD中,AD∥BC,点P,Q是对角线BD上不同的两点,若四边形APCQ是菱形,则下列说法中不正确的是(D)A.BP=DQ B.∠ADB=∠ABDC.AB∥CD D.∠ABP=∠BAP11.[2021江苏苏州]如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=70°,延长BC到E,在∠DCE内作射线CM,使得∠ECM=15°,过点D作DF⊥CM,垂足为F.若DF=5,则对角线BD的长为25.(结果保留根号)

12.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.若AG=13,BG=5,则CF的长为6.

13.[2021江苏扬州]如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB,DF∥AC.(1)试判断四边形AFDE的形状,并说明理由;(2)若∠BAC=90°,且AD=22,求四边形AFDE的面积.解:(1)四边形AFDE是菱形.理由:∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AFDE是平行四边形.∵AD平分∠BAC,∴∠FAD=∠EAD.∵DE∥AB,∴∠EDA=∠FAD,∴∠EDA=∠EAD,∴AE=DE,∴平行四边形AFDE是菱形.(2)∵∠BAC=90°,∴四边形AFDE是正方形.∵AD=22,∴AF=DF=DE=AE=222∴正方形AFDE的面积为2×2=4.14.[2021云南]如图,四边形ABCD是矩形,E,F分别是线段AD,BC上的点,点O是EF与BD的交点.若将△BED沿直线BD折叠,则点E与点F重合.(1)求证:四边形BEDF是菱形;(2)若ED=2AE,AB·AD=33,求EF·BD的值.(1)证明:∵△BED沿直线BD折叠,点E与点F重合,∴BE=BF,DE=DF,∠EDB=∠FDB.∵四边形ABCD是矩形,且点E,F分别是线段AD,BC上的点,∴DE∥BF,∴∠EDB=∠FBD,∴∠FBD=∠FDB,∴BF=DF,∴BE=BF=DF=DE.∴四边形BEDF是菱形.(2)∵ED=2AE,∴ED=23AD∴S菱形BEDF=23S矩形ABCD∴12BD·EF=23AB·∴EF·BD=43AB·AD=43考点3与正方形有关的证明与计算15.[2021广西玉林]一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:a.两组对边分别相等b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等d.一个角是直角顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c.则正确的是(C)A.仅① B.仅③C.①② D.②③16.[2021重庆A卷]如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点M是边AD上一点,连接OM,过点O作ON⊥OM,交CD于点N.若四边形MOND的面积是1,则AB的长为(C)A.1 B.2 C.2 D.2217.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E为对角线AC上与A,C不重合的一个动点,过点E作EF⊥AB于点F,EG⊥BC于点G,连接FG,则FG的最小值为(C)A.2 B.3 C.22 D.418.[2021山东东营]如图,正方形纸片ABCD的边长为12,点F是AD上一点,将△CDF沿CF折叠,点D落在点G处,连接DG并延长交AB于点E.若AE=5,则GE的长为

491319.[2021天津]如图,正方形ABCD的边长为4,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在BC,CD的延长线上,且CE=2,DF=1,G为EF的中点,连接OE,交CD于点H,连接GH,则GH的长为

13220.[2021湖南衡阳]如图,点E为正方形ABCD外一点,∠AEB=90°,将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF,DF的延长线交BE于H点.(1)试判断四边形AFHE的形状,并说明理由;(2)已知BH=7,BC=13,求DH的长.解:(1)四边形AFHE是正方形.理由如下:∵△ADF由△ABE旋转90°所得,∴∠AFD=∠AEB=90°,∠EAF=90°,AE=AF,∴四边形AFHE是正方形.(2)如图,连接BD.∵四边形ABCD是正方形,BC=13,∴BD=2BC=132.由(1)可知DH⊥BE,∴DH=BD2-BH1.[2021江苏无锡]如图,D,E,F是△ABC各边中点,则以下说法错误的是(C)A.△BDE和△DCF的面积相等B.四边形AEDF是平行四边形C.若AB=BC,则四边形AEDF是菱形D.若∠A=90°,则四边形AEDF是矩形(第1题)(第2题)2.[2021合肥庐阳区二模]如图,矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=5.点E,G分别在AD,DC上,将△ABE,△EDG分别沿BE,EG翻折,点A的对应点为点F,点D的对应点为点H.当E,F,H,C四点在同一直线上时,连接DH,则线段DH的长为(A)A.4510 B.43103.[2020陕西]如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为27.

(第3题)(第4题)4.[2020山东滨州]如图,点P是正方形ABCD内一点,且点P到点A,B,C的距离分别为23,2,4,则正方形ABCD的面积为14+43.

5.[2021合肥模拟]如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=35a.连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B的对应点B'落在矩形ABCD的边上,则折痕的长为

2或305(第5题)(第6题)6.[2021合肥45中三模]如图,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,点F是CD上一点,分别以直线AE,AF为对称轴,折叠△ABE,△ADF,使得AB和AD与AG重合,连接BG交AE于点H,连接CG.(1)HE∶AH=1∶4;

(2)S△AFE∶S正方形ABCD=5∶12.

7.[2021合肥包河区一模]如图,在矩形ABCD中,Rt△BEC的直角顶点E在边AD上,∠CBE的平分线BF交CE于点G,交边CD于点F.(1)若点E为AD的中点,求证:△AEB≌△DEC;(2)若sin∠BCE=45,求证:BG=4FG(3)若CF=2DF=2,求CE·EG的值.备用图(1)证明:在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,AB=DC.∵点E为AD的中点,∴AE=DE.在△AEB和△DEC中,AB∴△AEB≌△DEC.图(1)(2)证明:如图(1),过点F作FH⊥BE,交BE的延长线于点H.∵BF平分∠CBE,∠BCD=∠BHF=90°,∴FH=FC.又∵BF=BF,∴Rt△BFH≌Rt△BFC,∴BH=BC.∵sin∠BCE=45∴BEBH=BEBC=45,∴BEEH=易得CE∥HF,∴BGFG=BEEH∴BG=4FG.图(2)(3)如图(2),过点F作FH⊥BE交BE的延长线于点H,连接GH,则CE∥HF,∴∠HFG=∠CGF.∵由(2)知∠HFG=∠CFG,∴∠CGF=∠CFG,∴CG=CF=HF,∴四边形CFHG为菱形,∴GH∥CF,GH=CF,∴∠EGH=∠DCE.又∵∠GEH=∠CDE=90°,∴△GEH∽△CDE,∴EGCD=GH∴CE·EG=CD·GH.∵CF=2DF=2,∴GH=CF=2,CD=3,∴CE·EG=3×2=6.8.[2021合肥庐阳区二模]如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是AD,CD上的点,且AE=CF,连接BE,BF,EF,点G是BE的中点,连接AG并延长交BF于点K.(1)求证:AK⊥BF;(2)当点E是AD的中点时,求tan∠EBF的值;(3)连接CK,当线段CK取最小值时,求AEAD的值(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BA=BC,∠BAE=∠C=∠ABC=90°.又∵AE=CF,∴△BAE≌△BCF,∴∠ABE=∠CBF.∵点G是BE的中点,∴AG是Rt△ABE的中线,∴AG=GB=GE,∴∠ABE=∠BAG,∴∠CBF=∠BAG.又∵∠CBF+∠ABF=90°,∴∠BAG+∠ABF=90°,∴∠AKB=90°,即AK⊥BF.(2)当点E是AD的中点时,AE=ED,∴AB=AD=2AE.由(1)可知∠BAK=∠ABE,∴tan∠BAK=tan∠ABE,∴BKAK=AEAB=设BK=m,则AK=2m.设AG=BG=x,则GK=2m-x.在Rt△BKG中,由勾股定理可知BG2=GK2+BK2,即x2=(2m-x)2+m2,整理,得x=54m,∴GK=34∴tan∠EBF=tan∠GBK=GKBK=3(3)如图(1),设正方形ABCD的边长为2a.取AB的中点P,连接PK,CP.∵∠AKB=90°,AP=PB,∴PK=12∵∠CBP=90°,PB=a,BC=2a,∴PC=PB2+易知CK≥PC-PK,∴CK≥5a-a,图(1)图(2)∴CK的最小值为5a-a,此时P,K,C三点共线,如图(2).∵CF∥BP,∴△CFK∽△PBK,∴CFPB=CKPK,即CFa∴CF=5a-a,则AE=CF=5a-a,∴AEAD=5a-【参考答案】第五章四边形第一节平行四边形与多边形基础分点练1.C2.C3.C∵B(-2,-2),C(2,-2),∴BC∥x轴,BC=4.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=4,AD∥BC,∴AD∥x轴,∴D(4,1).4.C如图,延长EH交AB于N,∵△EFH是等腰直角三角形,∴∠FHE=45°,∴∠NHB=∠FHE=45°.∵∠1=30°,∴∠HNA=∠1+∠NHB=75°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB,∴∠2=∠HNA=75°.故选C.5.D由作图过程可知AD=BC,CD=AB,∴四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,∠ABC=∠ADC,∴AO是△ABD的中线.故选项A,B,C中的结论正确.根据题意不能得到BO是△ABC的角平分线.6.83∵D,E分别为AC,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB,AB=2DE=4,∴∠DEC=∠ABC=90°,又∠C=30°,∴EC=23,∴BE=23.∵DF∥AB,BF∥AC,∴四边形ABFD是平行四边形.∵AB⊥BE,∴S平行四边形ABFD=AB·BE=4×23=83.7.91050在Rt△ADE中,DE=ADsinA=5×45=4,∴AE=AD2-DE2=3,∴BE=12-3=9.在Rt△DCE中,CE=CD2+DE2=410.设点B到CE的距离为h,则S△BCE=12×h×CE=8~9.略10.B由题意可知小明所走的路线是正多边形,∵360°÷45°=8,∴该正多边形是正八边形,故小明所走的路程为8×10=80(米).11.C12.C∵五边形ABCDE是正五边形,△ABF是等边三角形,∴∠ABC=108°,∠AFB=∠ABF=60°,BF=AB=BC,∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=48°,∴∠BFC=1213.23如图,连接BE,BF.∵多边形ABCDEF是正六边形,∴∠ABC=∠BAF=∠AFE=120°,AB=AF,∴∠ABF=∠AFB=30°,∴∠CBF=∠EFB=90°,∴BC∥EF,∴S△PEF=S△BEF.∵直线BE是正六边形ABCDEF的对称轴,∴∠ABE=12∠ABC=60°,∴∠EBF=∠ABE-∠ABF=30°,∴BF=3EF=23cm,∴S△PEF=S△BEF=12×EF×BF=12×2×23综合提升练1.A对于甲方案,连接AC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC经过BD的中点O,且AO=CO.又∵BO=DO,BN=NO,OM=MD,∴NO=OM,∴四边形ANCM是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形);对于乙方案,易证△ABN≌△CDM,∴AN=CM.∵AN⊥BD,CM⊥BD,∴AN∥CM,∴四边形ANCM是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形);对于丙方案,由平行四边形的性质及角平分线的性质可证△BAN≌△DCM,∴AN=CM,∠ANB=∠CMD,∴∠ANM=∠CMN,∴AN∥CM,∴四边形ANCM是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).综上可知,甲、乙、丙三种方案都是正确的.2.B如图,过点E作EF⊥AB于点F.∵BD=AB,∠ABD=30°,∴∠DAB=∠BDA=12×(180°-30°)=75°,∴∠ADC=105°.由题意可知AE=AD,∴∠DEA=∠EDA=75°,∴∠DAE=30°,∴∠EAF=∠DAB-∠DAE=75°-30°=45°,∴△AEF为等腰直角三角形.设AF=x,则EF=x,∴BF=3x,BE=2x.∵∠AEN=∠ADC=105°,∴∠DEA+∠AEN=180°,∴点D,E,B,N共线.∵EN∥AM,∴△AOM∽△BOE,∴AOBO=AMBE.又AM=AB=BF+AF=3x+x,∴AOBO=3.20或28∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD,∴∠BEA=∠EAD.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAD,∴∠BEA=∠BAE,∴BE=AB=6.当E点在线段BC上时,如图(1),则BC=BE+CE=6+2=8,∴平行四边形ABCD的周长为2×(6+8)=28;当E点在线段BC的延长线上时,如图(2),则BC=BE-CE=6-2=4,∴平行四边形ABCD的周长为2×(6+4)=20.综上所述,平行四边形ABCD的周长为20或28.图(1)图(2)4.D∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠ADB=∠CBD.∵点E是BD的中点,∴BE=DE.在△MDE和△NBE中,∠MDB=∠NBD,DE=BE,∠DEM=∠BEN,∴△MDE≌△NBE,∴DM=BN,∴AM=CN,故①中结论正确.若∠A=90°,则平行四边形ABCD为矩形,∴∠MDC=∠A=90°.在△BAM和△CDM中,AB=CD,∠A=∠CDM,AM=MD,∴△BAM≌△CDM,∴BM=CM,故②中结论正确.由①可推得四边形MBND是平行四边形.∵MD=2AM,∴S▱MBND=23S▱ABCD,S△MNC=S△BAM=12×13S▱ABCD=16S▱ABCD.又S△BNE=145.185如图,延长FE交CD的延长线于点M,连接CF.易证△AEF≌△DEM,∴AF=DM,EF=EM.又∵EF=CE,∴EF=CE=EM,∴∠FCM=90°.∵CE⊥AD,DE=12AD=3,∴CE=CD2-E6.略全国视野创新练9,10或18设BE,CF交于点O.若△MND为等边三角形,则∠MDN=60°,易知点M在线段OE上或与点B重合.当点M与点B重合时,等边三角形的边长最大,为2CDcos30°=18.若点M在线段OE上,当点M与点E或点O重合时,等边三角形的边长最大,为63;当点M与OE的中点重合时,等边三角形的边长最小,为63×32第二节矩形、菱形、正方形基础分点练1.B2.C如图,连接DN.由尺规作图可知EF垂直平分线段BD.在矩形ABCD中,AD=2,AB=4,∴BD=25,∴OD=5.设DN=BN=x,则AN=4-x.在Rt△ADN中,由勾股定理可得x2=(4-x)2+22,解得x=2.5,即BN=2.5.3.B∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∠D=∠ABC.又∵BE∥AC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴FA=FE,FB=FC.∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC.又∵∠AFC=∠ABF+∠FAB,∴∠ABF=∠FAB,∴FA=FB,∴FA=FE=FB=FC,∴AE=BC,∴平行四边形ABEC是矩形,∴∠BAC=90°.∵BC=AD=3,AB=CD=2,∴AC=BC2-AB2=54.33∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD=6.又∵OE⊥BC,BC=2AF,∴AF=BE.易证Rt△AOF≌Rt△BOE,∴∠AOB=∠BOE.又∠BOE=∠COE,∴∠BOE=60°,∴BE=32OB=335.4+22由翻折的性质可知,EB'=EB,∠AB'E=∠B=90°=∠EB'D.在Rt△EBF和Rt△EB'D中,EB=EB',EF=ED,∴Rt△EBF≌Rt△EB'D,∴BF=DB'.易知四边形ECDB'是矩形,∴DB'=EC=2,∴BF=DB'=2.由翻折的性质可知,FG=BF=2,∠FAG=45°,∠AGF=180°-∠FGE=180°-∠B=90°,∴AF=22,∴AB'=AB=2+22,∴AD=AB'+DB'=4+226~7.略8.B9.D如图,设AC与BD交于点O.∵四边形ABCD是菱形,AC=6,∴AC⊥BD,OA=12AC=3,BD=2OB.在Rt△AOB中,由勾股定理可得OB=AB2-OA2=4,∴BD=8.方法一:∵S菱形ABCD=AB·DE=12AC·BD,∴DE=12AC·BDAB=12×6×8510.D如图,连接AC交BD于点O.∵四边形APCQ是菱形,∴OA=OC,OP=OQ,AC⊥PQ.易证△AOD≌△COB,∴OD=OB,∴BP=DQ,四边形ABCD是平行四边形.又AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,AB∥CD,∴∠ADB=∠ABD.仅当点P在线段AB的垂直平分线上时,∠ABP=∠BAP.故选D.11.25∵在菱形ABCD中,AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC=70°.如图,连接AC交BD于点O,则AC⊥BD,∠OCB=∠OCD=12(180°-70°)=55°.∵∠DCF=∠DCE-∠ECM=55°,∴∠DCF=∠DCO.又∵∠DOC=∠DFC=90°,DC=DC,∴△DOC≌△DFC,∴DO=DF=5,∴BD=2DO=2512.6∵AG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形.∵CF⊥BD,∴CF⊥AG.由题意可知点D是边AC的中点,∴BD=DF=1213~14.略15.C16.C∵四边形ABCD是正方形,∴OC=OD,∠OCD=∠ODA=45°,∠COD=90°.∵ON⊥OM,∴∠MON=90°,∴∠COD=∠MON,∴∠MOD=∠NOC,∴△MOD≌△NOC,∴S△MOD=S△NOC,∴S△OCD=S四边形MOND=1,∴S正方形ABCD=4S△OCD=4,∴AB的长为2.17.C连接BE,如图,易知四边形EFBG是矩形,则FG=BE.易知当BE⊥AC时,BE取最小值,即FG取最小值,此时FG=BE=22×4=2218.4913在Rt△ADE中,DE=AE2+AD2=13.设FC与DG交于点O.由题意可知点D与点G关于FC对称,∴DG⊥FC,∴∠DCF+∠ODC=90°.又∵∠ADE+∠ODC=90°,∴∠ADE=∠DCF.又AD=DC,∠DAE=∠CDF=90°,∴△ADE≌△DCF,∴DF=AE=5,FC=DE=13,∴DG=2OD=2×DF×DCFC19.132如图,连接OF,过点O作OM⊥FC于点M,则OM=DM=2,∴OM=CE,FM=3,∴OF=22+32=1320.略综合提升练