2013版高中全程复习方略配套课件：6.5合情推理与演绎推理(人教A版·数学理)浙江专用

第五节

合情推理与演绎推理三年20考高考指数:★★★★1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.1.归纳推理与数列相结合问题是考查重点；2.类比推理、演绎推理是重点，也是难点；3.以选择题、填空题的形式考查合情推理；以选择题或解答题的形式考查演绎推理，题目难度不大，多以中低档题为主.1.推理（1）定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.（2）分类：推理一般分为

与

两类.合情推理演绎推理【即时应用】（1）思考：一个推理是由几部分构成的？提示：从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设）叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论.（2）数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于

.【解析】5-2=3,11-5=6,20-11=9,推出x-20=12，所以x=32.答案：32（3）已知数列

…,

…，则

是第

项.【解析】由题可知该数列的第n项

由

得2n-1=45，∴n=23.答案：232.合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的_____

的推理，或者由个别事实概括出_______

的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的

，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由

到

、由

到

的推理由

到

的推理全部对象都具有这些特征一般结论某些已知特征部分整体个别一般特殊特殊一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)【即时应用】(1)判断下列命题是否正确.（请在括号中填“√”或“×”）①(ab)n=anbn与(a+b)n类比，则有(a+b)n=an+bn;

()②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比，则有sin(α+β)=sinαsinβ;

()③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比，则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.

()【解析】①错.(a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2;②错.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ≠sinαsinβ;③对.（a+b）2=(a+b)·(a+b)=a2+2a·b+b2满足向量数量积的运算.答案：①×

②×

③√(2)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积的比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积的比为

.【解析】两个正四面体的棱长的比为1∶2，则其高之比为1∶2，底面积之比为1∶4，故其体积的比为1∶8.答案：1∶83.演绎推理（1）定义：从

出发，推出

下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.（2）特点：演绎推理是由

的推理.（3）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式：一般性的原理某个特殊情况一般到特殊“三段论”的结构①大前提——已知的

；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对

做出的判断．“三段论”的表示①大前提——

.

②小前提——

.③结论——S是P．一般原理特殊情况M是PS是M【即时应用】（1）命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，判断下列说法的真假.（填“真”，“假”）①使用了归纳推理

()②使用了类比推理

()③使用了演绎推理

()④使用了“三段论”但推理形式错误

()⑤使用了“三段论”但小前提错误

()（2）判断下列推理过程是否是演绎推理（请在括号中填“是”或“否”）①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°

()②某校高三（1）班有55人，（2）班有54人，（3）班有52人，由此得高三所有班级人数超过50人

()③由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质()④在数列{an}中，a1=1,

(n≥2,n∈N*)，由此归纳出{an}的通项公式

()【解析】（1）①假：不满足归纳推理的定义；②假：不满足类比推理的定义；③真：满足演绎推理的定义；④真：使用了“三段论”但大前提中的“有些有理数”与小前提中的“有理数”不是同一概念，故不符合三段论的推理形式.⑤假，使用了“三段论”但小前提是正确的.（2）①是，使用了“三段论”.②不是，使用了归纳推理不是演绎推理.③不是，使用了类比推理.④不是,使用了归纳推理.答案：（1）①假②假③真④真⑤假（2）①是②否③否④否

归纳推理【方法点睛】归纳推理的特点（1）归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.（2）归纳推理所得结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，推广的一般性结论也会越可靠.其结论的正确性往往通过演绎推理来证明.（3）它是一种发现一般性规律的重要方法.【例1】(1)已知：f(x)=

设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1且n∈N*),则f3(x)的表达式为

，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为

.(2)(2012·苏州模拟)观察式子：

你可以猜出的一个一般性结论是

.(3)设f(x)=

先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.【解题指南】（1）由已知条件及递推关系可推得f2(x),f3(x)及fn(x).（2）由三个等式可推第四，第五个等式，从而得第n个等式即一般结论.（3）由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x).【规范解答】(1)由f1(x)=f(x)=

得故猜想答案：(2)由前三个等式得13+15+17+19=64=43,21+23+25+27+29=125=53，所以第n个等式的第一个数应为第［1+2+…+（n-1)+1］个奇数，即为2［

+1］-1=n(n-1)+1,共有n个奇数，即第n个等式应为［n(n-1)+1］+［n(n-1)+3］+［n(n-1)+5］+…+［n(n-1)+2n-1］=n3.即(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n-1)=n3.答案：(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n-1)=n3(3)f(0)+f(1)=同理可得：f(-1)+f(2)=由此猜想f(x)+f(1-x)=证明：f(x)+f(1-x)=【互动探究】利用本例第(3)题中的结论计算f(-2012)+f(-2011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2013)的值.【解析】由本例第(3)题中的结论f(x)+f(1-x)=

得方法一：f(-2012)+f(2013)=

f(-2011)+f(2012)=

故f(-2012)+f(-2011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2013)=2013×

=方法二：令S=f(-2012)+f(-2011)+…+f(2013)则S=f(2013)+f(2012)+…+f(-2012)∴2S=4026［f(-2012)+f(2013)］=4026×

∴S=2013×

=

【反思·感悟】解决与归纳推理有关问题的关键点是找出其中的规律，如第(1)题中通过递推关系得f2(x),f3(x),f4(x)可观察其分子一样，分母变化的是x的系数，故可推出一般结论;第(2)题中的关键问题是第n个等式的左边第一个数是多少，通过观察可看出是第［1+2+…+(n-1)+1］个奇数，从而确定其等式关系；第(3)题中规律是0+1=0+1-0,-1+2=-1+1-(-1),-2+3=-2+1-(-2),从而得x+(1-x)的联想，x+(1-x)也可看成-x+1+x，即f(-x)+f(1+x)=也成立.【变式备选】已知函数（1）分别求f(2)+f(

),f(3)+f(

),f(4)+f(

)的值；（2）归纳猜想一般性结论，并给出证明；（3）求值：f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2011)+f(

)+f(

)+…+f(

).【解析】(1)∵∴同理可得(2)由（1）猜想f(x)+f(

)=1（x≠0),证明：f(x)+f(

)=(3)由（2）可得，原式=f(1)+［f(2)+f(

)］+［f(3)+f(

)］+…+［f(2011)+f(

)］=f(1)+2010=

+2010=

类比推理【方法点睛】1.类比推理的步骤类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法，是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.2.类比的方法类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比如表所示：【例2】(2012·安溪模拟)已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列

也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.【解题指南】等差数列中的和类比等比数列中的积，等差数列中的算术平均数类比等比数列中的几何平均数，故本题中的等比数列的几何平均数应与等差数列的算术平均数类比.【规范解答】类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，则数列

也是等差数列.证明如下：设等差数列{an}的公差为d,则所以数列{bn}是以a1为首项，

为公差的等差数列.【反思·感悟】1.在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、等差与等比之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的.2.类比的关键是确定两类对象之间，某些性质的可比性与合理性.【变式训练】请用类比推理完成下表：平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个面的面积与该面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半【解析】本题由已知前两组类比可得到如下信息：三棱锥一半三角形周长内切圆面积的等于其半径与的乘积的类比类比类比类比类比三棱锥表面积内切球体积的等于其半径与的乘积的三角形三分之一故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.（本题结论可用等体积法，将三棱锥分割成四个小三棱锥去证明，证明略）答案：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一【变式备选】平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如一组对边平行且相等、两组对边分别平行等.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①：_____________________________________充要条件②：_____________________________________【解析】两组对边分别平行类比可得三组对面分别平行.一组对边平行且相等类比可得两组对面分别平行且全等.答案:三组对面分别平行

两组对面分别平行且全等（答案不惟一）

演绎推理【方法点睛】演绎推理的特点（1）演绎推理的结构演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的.三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论.（2）演绎推理的理论依据其推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.提醒：应用三段论时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，有时可省略.【例3】已知函数f(x)=

+bx(a>0,b>0),x∈(0,+∞)，试确定f(x)的单调区间，并说明在每个区间上的增减性.【解题指南】证明函数的增减性，其大前提是单调性的定义，若函数满足单调性的定义，则其增减性可得.【规范解答】f(x)在（0，

］上是减函数，在［

+∞）上是增函数，证明如下：设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=当0<x1<x2≤

时，x2-x1>0,0<x1x2<

,

>b,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)在（0,

］上是减函数；当x2>x1≥

时，x2-x1>0,x1x2>

<b，∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在［

+∞）上是增函数.【反思·感悟】演绎推理是证明数学问题的基本推理形式，因此在高考中经常出现，三段论推理是演绎推理的一种重要的推理形式，是由一般到特殊的推理，在前提真实并且推理形式正确的前提下，其结论就必然真实.【变式训练】已知函数y=f(x)，满足：对任意a,b∈R,a≠b，都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),（1）试证明：f(x)为R上的单调增函数.（2）若x,y为正实数且

比较f(x+y)与f(6)的大小.【解析】（1）设x1,x2∈R,取x1<x2,则由题意得x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，∴x1［f(x1)-f(x2)］+x2［f(x2)-f(x1)］>0，［f(x2)-f(x1)］(x2-x1)>0，∵x1<x2,∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1).所以y=f(x)为R上的单调增函数.（2）因为x,y为正实数,且所以x+y=当且仅当

即

时取等号，因为f(x)在R上是增函数，x+y≥

>6，所以f(x+y)>f(6).【易错误区】归纳推理的解答误区【典例】(2011·江西高考)观察下列各式：55=3125,56=15625;57=78125，…，则52011的末四位数字为()(A)3125

(B)5625

(C)0625

(D)8125【解题指南】由55,56,57可继续求58，59，从而寻求末四位数字的变化规律可解.【规范解答】选D.由题意可得，58=390625,59=1953125,510=9765625，经观察易知，每个数的末四位数呈周期变化，周期为4，又因为2011=4×502+3，所以52011的末四位数字为8125.【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时有两点造成误解：（1）对于给定的式子，只观察式子结果，而不去继续探究下几项式子，从而找不到规律而误解.（2）在继续探究的情况下，运算错误从而导致周期找不到或找错周期而误解.备考建议解决归纳推理的问题，尤其是所求题目无法直接解出，必须寻求其规律找到周期才能解决时，有以下几点易造成误解，在备考时应高度关注：（1）无从下手，不知道此类题目一定会有规律.没有周期性，本题是无法求解的.（2）求解时需要多计算几个式子，从中发现规律，但运算要准确无误方能正确求解.建议在备考中解决类似问题时，一定要注意探求条件中所包含的规律，从而达到解决的目的.1.(2011·山东高考）设函数f(x)=

(x>0),观察：f1(x)=f(x)=f2(x)=f(f1(x)）=f3(x)=f(f2（x))=f4(x)=f(f3(x))=…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)=f(fn-1(x))=

.【解析】由已知：f1(x)=f(x)=猜想：答案：2.(2011·陕西高考)观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为

.【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n-1;等式右边都是完全平方数，