上海松江区九亭中学2022年高二数学理模拟试卷含解析

上海松江区九亭中学2022年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“对任意的，都有”的否定为A.存在，使 B.对任意的，都有

C.存在,使

D.存在,使参考答案：C2.a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的平面β（）A．只能作一个 B．不存在C．至多可以作一个 D．至少可以作一个参考答案：C【考点】平面的基本性质及推论；平面与平面平行的性质．【分析】由平面与平面平行的性质得这样的平面β有且只有1个【解答】解：当a∥α时，过a作平面β，使得β∥α，由平面与平面平行的性质得：这样的平面β有且只有1个．a与α相交时，设平面为β，a与α交点为P，根据题意P∈β，P∈α，则α∩β=l且P∈l，这与α∥β矛盾，∴这样的β不存在．综上所述，过平面α外一条直线a与α平行的平面的个数为至多1个．故选：C．3.已知复数z=-1+i,则在复平面内对应的点在第（）象限。Ａ．一

Ｂ．二

Ｃ．三

Ｄ．四参考答案：C略4.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率（

） A． B． C． D．参考答案：B略5.已知为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C把双曲线化为标准形式可得，则，设，由双曲线定义可得，所以，所以，所以，所以选C．

6.已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（

）A

B

C

D参考答案：C略7.设集合，．若，则实数必满足（）．Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

参考答案：D略8.函数的单调递增区间为(

)A. B. C. D.参考答案：D【分析】求得，令，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数，则，令，即且，解得，即函数的单调递增区间为，故选D．【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数和函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.对于实数x，y，若，，则的最大值为（

）A．1

B.

2

C.

4

D.

5参考答案：D10.若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A． B．a2＞b2

C． D．a|c|＞b|c|参考答案：C【考点】不等关系与不等式．【分析】本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a，b的值，可一一验证A，B，D不成立，而由不等式的基本性质知C成立，从而解决问题．【解答】解：对于A，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于B，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于D，取c=0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+1＞0，由不等式基本性质即知成立，故对；故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若曲线表示双曲线，则的取值范围是

。参考答案：

解析：12.抛掷骰子2次，每次结果用表示，其中，分别表示第一次、第二次骰子的点数。若设，，则等于____参考答案：略13.在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆的方程为，类比圆的方程，请写出在空间直角坐标系中以点为球心，半径为r的球的方程为

．参考答案：【分析】依据平面直角坐标系中圆的方程形式即可类比出空间直角坐标系中球的方程．【详解】利用类比推理,得空间直角坐标系中,以点P(-1,1,3)为球心,r为半径的球的方程为(x+1)2+(y-1)2+(z-3)2=r2.【点睛】本题主要考查了类比推理知识，对比方程的形式即可得到答案，属于基础题．14.已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的体积相等，则它们的表面积之比______.（用数值作答）参考答案：【分析】由已知中圆柱M与球O的体积相等，可以求出圆柱的高与圆柱底面半径的关系，进而求出圆柱和球的表面积后，即可得到S圆柱：S球的值．【详解】∵设圆柱M的底面圆的半径与球O的半径均为R，M的高为h则球的表面积S球＝4πR2又∵圆柱M与球O的体积相等即解得h＝，4πR2＝2πR2+2πR?h则S圆柱＝2πR2+2πR?h=，S球，∴S圆柱：S球，故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，其中根据已知求出圆柱的高，是解答本题的关键．15.将曲线C按伸缩变换公式变换得曲线方程为,则曲线C的方程为__________________。参考答案：16.在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b=

参考答案：217.已知实数条件，则的最大值是______参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，CD=3，∠D=2∠B且cosB=（Ⅰ）求△ACD的面积；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求AB的长．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】方程思想；数形结合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意和二倍角公式可得cosD，进而可得sinD，代入面积公式S=?AD?CD?sinD，计算可得；（II）在△ACD中，由余弦定理可得AC，进而在△ABC中由正弦定理可得AB．【解答】解：（Ⅰ）∵∠D=2∠B，∴cosD=2cos2B﹣1=2×（）2﹣1=﹣，∵∠D∈（0，π），∴sinD==，∵AD=2，CD=3，∴△ACD的面积S=?AD?CD?sinD=；（II）在△ACD中，由余弦定理可得AC===4在△ABC中，由正弦定理可得=，∴AB==．【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属中档题．19.（本题12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．参考答案：（1）如图所示，取AB中点E，连PE、CE．则PE是等腰△PAB的底边上的中线，所以PE⊥AB．PE=1，CE=，PC=2，即．Ks5u由勾股定理可得，PE⊥CE．又因为ABì平面ABCD，CEì平面ABCD，且AB∩CE=E，所以PE⊥平面ABCD．Ks5u而PEì平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD．（2）（方法1）如图1，在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连AF．过A作平面PCD的垂线，垂足为H，连FH．因为AE⊥EC，AE⊥PE，所以AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC．又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF．已有PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH．故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角．由AB⊥平面PEC知EF⊥AB，又AB∥CD，所以EF⊥CD．而已有EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD．又因为AH⊥平面PCD，所以AH∥EF．由于AB∥平面PCD，所以A、E两点到平面PCD的距离相等，故AH=EF．所以AEFH是矩形，∠AFH=∠EAF．在Rt△AEF中，AE=1，EF=，AF=，所以．即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．（方法2）以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0,-1,0），C（,0,0），D（,-2,0），P（0,0,1），=（,1,0），=（,0,-1），=（0,2,0）．设是平面PAC的一个法向量，则，即．取，可得，．设是平面PCD的一个法向量，则，即．取，可得，．故，即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．20.如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，DC⊥平面ABC，四边形CBED为矩形，CD=1，AB=4．（1）求证：ED⊥平面ACD；（2）当三棱锥E﹣ADC体积取最大值时，求此刻点C到平面ADE的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）先证明BC⊥平面ACD，再由BC∥ED，得出ED⊥平面ACD；（2）由V三棱锥C﹣ADE=V三棱锥E﹣ACD，利用基本不等式求出三棱锥C﹣ADE体积的最大值，再利用三棱锥的体积公式计算点C到平面ADE的距离．【解答】解：（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又DC⊥平面ABC，BC?平面ACD，∴DC⊥BC，又AC∩DC=D，AC?平面ACD，DC?平面ACD，∴BC⊥平面ACD；又四边形CBED为矩形，∴BC∥ED，∴ED⊥平面ACD；（2）解：由（1）知，V三棱锥C﹣ADE=V三棱锥E﹣ACD=S△ACD?DE=??AC?CD?DE=?AC?BC≤?（AC2+BC2）=?AB2=×42=，当且仅当AC=BC=2时等号成立；∴当AC=BC=2时，三棱锥C﹣ADE的体积最大，为；此时，AD==3，S△ADE=?AD?DE=3，设点C到平面ADE的距离为h，则V三棱锥C﹣ADE=S△ADE?h=；∴h=÷（×3）=．21.已知函数，()；.（Ⅰ）若在定义域上有极值，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，若对，总，使得，求实数的取值范围.(其中为自然对数的底数)（Ⅲ）对，证明：

参考答案：（Ⅰ）的定义域为，要在定义域内有极值，则有两不等正根，…(4分)（Ⅱ），要对，总，使得则只需，由得函数在，所以函数在处有最大值； ……(6分);又在，故故有

……(9分)（Ⅲ）当时，，恒成立，故在定义域上单调递减，故当时，即…………(12分)所以对，总有，故有22.随着智能手机等电子产品的普及，“低头族”正成为现代社会的一个流行词．在路上、在餐厅里、在公交车上，随处可见低头玩手机的人，这种“低头族现象”冲击了人们面对面交流的温情，也对人们的健康构成一定的影响．为此，某报社发起一项专题调查，记者随机采访了M名市民，得到这M名市民每人在一天内低头玩手机的时间（单位：小时），根据此数据作出频数的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[0，0.5）40.10[0.5，1）mp[1，1.5）10n[1.5，2）60.15[2，2.5）40.10[2.5，3）20.05合计M1（Ⅰ）求出表中的M，p及图中a的值；（Ⅱ）试估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间（同一组的数据用该组的中间值作代表）；（Ⅲ）在所取样本中，从一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民中任取2人，求两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由频率=，利用频率分布表频率分布直方图能求出表中的M，p及图中a的值．（Ⅱ）先求出，由此利用频率分布直方图能估计这M名市民在一天内低头玩手机的平均时间．（Ⅲ）所取样本中，一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民共有6人，由此利用列举法能求出两人在一天内低头玩手机的时间都在区间[2，2.5）内的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵分组[0，0.5）内的频数是4，频率是0.10∴，得M=40…∵频数之和为M=40∴4+m+10+6+4+2=40，得m=14∴分组[0.5，1）内的频率…∵a是分组[0.5，1）内频率与组距的商，∴…（Ⅱ），设这40名市民一天内低头玩手机的平均时间为x，则x=0.25×0.1+0.75×0.35+1.25×0.25+1.75×0.15+2.25×0.1+2.75×0.05=1.225…（Ⅲ）所取样本中，一天内低头玩手机的时间不少于2小时的市民共有6人…设一天内低头玩手机的时间在区间[2，2.5）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[2.5，3）内的人为b1，b2，则任取2人有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1