初中数学综合复习之相似性及应用8

初中数学综合复习之相似性及应用8解答题25.如图是的直径，垂直于弦于点，且交于点.是为延长线上一点，若.求证：（1）是的一条切线；（2）若，,求的长.ABABCDEFO【答案】解：(1)证明：∵(已知)（同弧所对的圆周角相等）∴∴∵垂直于弦∴∴是的一条切线.（2）∵是的直径，∴∠ACB＝90°，半径在Rt△ABC中，，由勾股定理得∵⊥∴(垂径定理)∵∴(三角形的中位线定理)∵∴∴∴26.【探究发现】如图1,△ABC是等边三角形，∠AEF＝60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F.当点E是BC的中点时，有AE＝EF成立；ABABCEF图1【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B、C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE＝EF仍然成立.假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”，“点E是线段BC延长线上的任意一点”，“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”，三种情况中。任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE＝EF.ABABC备用图图1ABC备用图图2【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE＝BC，在备用图2中画出图形.并运用上述结论求出的值.【答案】解：【探究发现】ABABCEF图1DG过点E作ED//AC交AB于点D，则△BDE是等边三角形∵∠AEC是△ABE是外角∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAD∵∠AEC＝∠AEF＋∠FEC∠ABC＝∠AEF＝60°∴∠EAD＝∠FEC∵CF平分等边△ABC外角∠ACG∴∠ACF＝∠FCG＝60°∵∠ADE＋∠BDE＝180°∠ECF＋∠FCG＝180°∠FCG＝∠BDE＝60°∴∠ADE＝∠ECF＝120°∵BA＝BCBD＝BE∴BA－BD＝BC－BE即：AD＝EC在△ADE与△ECF中∵∴△ADE≌△ECF（ASA）∴AE＝EF【数学思考】ABABCEF图1—①DABCEF图1—②DGG①“点E是线段BC延长线上的任意一点”，如图（图1—①）过点E作ED//AC交BA延长线于点D，则△BDE是等边三角形∵∠AEC是△ABE是外角∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAD∵∠AEC＝∠AEF＋∠FEC∠ABC＝∠AEF＝60°∴∠EAD＝∠FEC∵CF平分等边△ABC外角∠ACG∴∠ACF＝∠FCG＝60°∵∠ADE＋∠BDE＝180°∠ECF＋∠FCG＝180°∠FCG＝∠BDE＝60°∴∠ADE＝∠ECF＝120°∵BA＝BCBD＝BE∴BA－BD＝BC－BE即：AD＝EC在△ADE与△ECF中∵∴△ADE≌△ECF（ASA）∴AE＝EF②若“点E是线段BC上的任意一点”，如图（图1—②）过点E作ED//AC交AB于点D，则△BDE是等边三角形∵∠EAD是△ABE是外角∴∠EAD＝∠ABC＋∠AEC∵∠FEC＝∠AEF＋∠AEC∠ABC＝∠AEF＝60°∴∠EAD＝∠FEC∵CF平分等边△ABC外角∠ACG∴∠FCE＝60°∵△BDE是等边三角形∴∠EDA＝60°∴∠EDA＝∠FCE＝60°∵BD＝BEBA＝BC∴BD－BA＝BE－BC即：AD＝EC在△ADE与△ECF中GABGABCEF图1—③DH∴△ADE≌△ECF（ASA）∴AE＝EF③“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”如图（图1—③）过点E作ED//AC交AB延长线于点D，则△BDE是等边三角形∵∠ABC是△ABE是外角∴∠ABC＝∠AEB＋∠EAD＝60°∵∠AEF＝∠AEB＋∠FEC＝60°∴∠EAD＝∠FEC∵CF所在直线平分等边△ABC外角∠ACG∴∠ECF＝∠GCH＝60°∵△BDE是等边三角形∴∠ADE＝60°∴∠EDA＝∠FCE＝60°∵BA＝BCBD＝BE∴BA－BD＝BC－BE即：AD＝EC在△ADE与△ECF中∵∴△ADE≌△ECF（ASA）∴AE＝EF【拓展应用】ABABCEF图2当点E在线段BC的延长线上时，若CE＝BC，如图2.由上述结论可知：AE＝EF，∠AEF＝60°∴△AEF是等边三角形∵△ABC是等边三角形∴△ABC∽△AEF∵△BDE是等边三角形∴AB＝BC＝CA∵CE＝BC∴AB＝BC＝CA＝CE∴∠CAE＝∠CEA∴∠CAE＋∠CEA＝∠ACB＝60°∴∠CAE＝∠CEA＝30°∴∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝60°＋30°＝90°∴∴27.如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP＝OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B点D在PC上，设∠PCB＝，∠POC＝．求证：【答案】证明：连接AC则∠A＝∠POC＝∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90，∴∵BD⊥BC∴，BD∥AC∴∠PBD＝∠A∵∠P＝∠P∴△PBD∽△PAC∴∵PB＝OB＝OA∴∴28.在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF，交于点P请你写出AE与DF的关系，并说明理由；（2）如图①，当点E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）的结论还成立吗？（请直接回答“是”或“否”，不须证明）（3）如图③，当E、F分别在CD、BC的延长线上移动时，连接AE和DF，（1）的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E、F分别在DC、CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点EF的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P的运动路径的草图，若AD＝2，试求出线段CP的最小值．【答案】解：（1）AE＝DF，AE⊥DF理由：∵四边形ABCD是正方形∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°∵DE＝CF∴△ADE∽△DCF∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF由于∠CDF＋∠ADF＝90°∴∠DAE＋∠ADF＝90°∴AE⊥DF(2)是．（3）成立．理由：由（1）同理可证，AE＝DF，∠DAE＝∠CDF．延长FD交AE于点G，则∠CDF＋∠ADG＝90°∴∠ADG＋∠DAE＝90°∴AE⊥DF(4)草图如图．由于点P在运动中保持∠APD＝90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中心为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△ODC中，OC＝∴CP＝OC－OP＝－1．29．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P.（1）若AE=CF.①求证：AF=BE,并求∠APB的度数.②若AE=2，试求AP·AF的值.（2）若AF=BE,当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.【答案】（1）①证明：∵三角形ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，∵AE=CF，∴△BAE≌△AFC(SAS),∴AF=BE,∠ABE=∠CAF,∵∠APB=∠CAF＋∠AEB,∴∠APB=∠ABE＋∠AEB=180°－60°=120°.②∵∠AEB=∠AEP,∠ABE=∠CAF,∴△BAE∽△APE,∴=,∵AB=6，AE=2，∴=,∴AP·AF=6×2=12.此题分四种情况，第一种：点P经过的路径长为；第二种：点P经过的路径长为＋；第三种：点P经过的路径长为3；第四种：点P经过的路径长为2＋.30.课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少mm？小颖解得此题的答案为48mm．小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（1）如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别是多少mm?请你计算．（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．【答案】解：（1）∵四边形PNMQ是矩形，∴PN∥QM．∴△APN∽△ABC．∴．设PQ＝ED＝x，则PN＝2x，AE＝．∴．解得，．这个矩形零件的两条边长分别是mm和mm．（2）∵四边形PNMQ是矩形，∴PN∥QM．∴△APN∽△ABC．∴．设PQ＝ED＝x，则AE＝．∴，即．∴＝＝＝＝（mm2）．∴当x＝40时，有最大值240．此时＝60（mm）．∴这个矩形面积达到最大值时矩形零件的两条边长分别为40mm，60mm．31.如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连接OB，动点P满足∠APQ＝90°，PQ交x轴于点C．（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求∶的值．（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若，PD＝2OD，求∶的值．【答案】解：（1）如图，PA＝2．（2）如图，过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M，N，∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等，∴∠BOA＝45°．∴四边形OMPN是正方形，PM＝PN．又∵∠APQ＝90°，∴∠APN＝∠CPM．∴Rt△APN≌Rt△CPM．∴．(3)①如图，点P在线段OB的延长线上．过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M，N，PM与直线AC的交点为F．∵∠CMP＝∠ANP＝90°，∠APN＝∠CPM，∴Rt△APN∽Rt△CPM．∴．∵∠AEC＝∠ACE，AP⊥CP，∴P为CE的中点．∵PM//y轴，∴F，M分别为CA，OC的中点．设OA＝x，∵PD＝2OD，∴PF＝2x，FM＝0．5OA＝0．5x，PM＝2．5x，CA＝2PF＝4x．Rt△CAO中，OC＝x，∴PN＝OM＝0．5OC＝，由，得PA∶PC＝∶＝．②点P在线段OB上，不符合题意．③如图，点P在线段OB的反向延长线上，过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M，N，PM与直线AC的交点为F．同理可得，PM＝1．5xCA＝2PF＝4x．在Rt△CAO中，OC＝x，∴PN＝OM＝0．5OC＝，∴PA∶PC＝∶＝．∴PA∶PC的值为或．（分类讨论，相似，三线合一，三角形中位线，全等三角形，特殊四边形，直角三角形斜边中线性质，…）32.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA，BC的延长线于点E，F，连接BE，DF．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO＝，求EM∶MF的值．EAEADFCBMO第25题图【答案】(1)证明：∵点O是菱形ABCD的对角线的交点，∴OB＝OD，OA＝OC，AD∥BC．∴∠AEO＝∠CFO．又∵∠AOE＝∠COF，∴△OAE≌△OCF．∴OE＝OF．∴四边形BFDE是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．又∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠MBO．∵tan∠MBO＝，∴＝＝．∴＝·＝×＝．∵AE∥BF，∴△MAE∽△MBF．∴EM∶MF＝AM∶MB＝1∶4．33.如图，在屏幕直角坐标系中，点，的坐标分别为（－3，0），（0，6）．动点从点出发，沿轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，以，为邻边构造□，在线段延长线上取点，使．设点运动时间为秒．（1）当点运动到线段的中点时，求的值及点的坐标；（2）当点在线段上时，求证：四边形为平行四边形；（3）在线段上取点，使，过点作，截取，，且点，分别在一、四象限．在运动过程中，设□的面积为．①当点，中有一点落在四边形的边上时，求出所有满足条件的的值；②若点，中恰好只有一个点落在四边形的内部（不包括边界）时，直接写出的取值范围．【答案】解：由题意得：，，，，（1）∵（0，6），∴，当点运动到线段的中点时，，∴．此时，，∴（0，）．（2）∵四边形为平行四边形，∴，，∴即，又∵，∴≌，∴，，∴∥，∴四边形是平行四边形．（3）由题意可得（0，），（，0），（，），（，0），（，0），（，2），（，0－1）．①情况一：当在轴上方时（a）在上时，∵轴，轴，∴∽，∴，即有，解得；（b）在上时，∵轴，轴，∴∽，∴，即有，解得；情况二：当在轴上方时（a）在上时，∵轴，轴，∴∽，∴，即有，解得；（b）在上时，∵轴，轴，∴∽，∴，即有，解得；综上，当、、、时，点，中有一点落在四边形的边上．②情况一：如下第一幅图，当时，恰好过，当时，在四边形外部，而在四边形内部，直到时，点恰好在上，故；此时，；如下第二幅图，当时，恰好过，当时，在四边形内部，而在四边形外部，直到时，点恰好在上，故；此时，．综上，当点，中恰好只有一个点落在四边形的内部（不包括边界）时，或．34.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的圆O与AB边交于点D，过点D作圆O的切线，交BC于E（1）求证：点E是边BC的中点（2）求证：（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形【答案】证明：（1）连接CD，AC为直径，则∠ADC=90°ED切圆O于D，EC切圆O于C，∴ED=EC∴∠EDC=∠ECD∠ECD+∠B=∠EDC+∠BDE=90°∴∠B=∠BDE则BE=ED∴BE=ED=EC即点E是边BC的中点（2）在△BDC与△BCA中∠B=∠B∠BCA=∠BDC=90°∴△BDC∽△BCA即（3）以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，此时∠DEB=90°，ED=BE已证∴∠B=45°∴△ABC是等腰直角三角形35.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=4cm，CD=5cm．动点P从点B开始沿折线BC—CD—DA以1cm/s的速度运动到点A．设点P运动的时间为t(s)，△PAB的面积为S(cm2)．(1)当t=2时，求S的值；(2)当点P在边DA上运动时，求S关于t的函数表达式；(3)当S=12时，求t的值．【答案】解：(1)当t=2时，S=×8×2=8；(2)过D作DH⊥AB于H．∵AB=8cm，BC=4cm，CD=5cm，∴DH=4，AH=3，∴AD=5．当点P在边DA上运动时，过P作PK⊥AB于K．∵△APK∽△ADH，∴，∴，∴PK=，∴S=×8×=(9≤t≤14)；(3)当S=12时，①当点P在边BC上运动时，×8t=12，∴t=3；②当点P在边AD上运动时，=12，∴t=．36.【问题情境】张老师给爱好学习的的小军和小俊提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证PD＋PE＝CF．ABABPCDFEABPCDFEGABCEPFD图①图②图③第27题图小军的证明思路是：如图②，连接AP，由△ABP小军的证明思路是：如图②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD＋PE＝CF．小俊的证明思路是：如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD＋PE＝CF．【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD－PE＝CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H，若AD＝8，CF＝3，求PG＋PH的值；【迁移拓展】图⑤是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D，C，且AD·CE＝DE·BC，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M，N分别为AE，BE的中点，连接DM，CN，求△DEM与△CEN的周长之和．ABABFCDEPGHC′AMENBCD图④图⑤第27题图【答案】【变式探究】证明：连接PA．∵S△ABC＝S△APB－S△APC，∴AB·CF＝AB·PD－AC·PE．即AB·CF＝AB·PD－AC·PE．∵AB＝AC，∴PD－PE＝CF．【结论运用】解：∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE．由折叠可知∠DEF＝∠BEF，∴∠BFE＝∠BEF．∴BE＝BF．由【问题情境】中的结论(等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高)可知：PG＋PH＝BF上的高＝DC．∵DE＝BE＝BF，且DE∥BF，∴四边形BFDE是菱形．∴DF＝BF＝BC－BF＝8－3＝5．在Rt△DCF中，DC＝＝＝4．∴PG＋PH＝4．【迁移拓展】解：如图1，延长AD，BC相交于点F，过点B作BH⊥AD，垂足为H．∵AB2－AH2＝BH2，BD2－DH2＝BH2，∴AB2－AH2＝BD2－DH2．即(2)2－(3＋DH)2＝()2－DH2．由此解得DH＝1．∴BH＝＝＝6．∵AD·CE＝DE·BC，即＝，又∵∠ADE＝∠BCE＝90°，∴△ADE∽△BCE．∴∠A＝∠ABC．∴AF＝BF．图1图1AMENBCDFH由【问题情境】中的结论可知ED＋EC＝BH＝6．∵点M，N分别Rt△ADE和Rt△BCE斜边上的中点，∴MD＝ME＝AE，NC＝NE＝EB．∴△DEM的周长＋△CEB的周长＝(MD＋ME＋ED)＋(NE＋NC＋EC)＝AE＋EB＋(ED＋EC)＝AB＋(ED＋EC)＝2＋6．37.如图①在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”。解决问题：⑴如图①∠A＝∠B＝∠DEC＝，试判断点E是否四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；⑵如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边上的强相似点；⑶如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系。图①图②图③【答案】解：⑴E点是四边形ABCD的边AB上的相似点。理由如下：∵∠DEC＝，∴∠DEA＋∠CEB＝；∵∠A＝，∴∠ADE＋∠AED＝，∴∠ADE=∠CEB，∴△ADE∽△BEC，∴E点是四边形ABCD的边AB上的相似点。⑵作法：以CD为直径作圆，它与AB交于E1，E2点，E1，E2点即为所作.⑶点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，可分两种情况。第一种情况：△MAE∽△EBC∽△MEC，则有：。过E点作EN⊥MC于N点。由角平分线性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”易证AE=EN=EB。则E为AB中点，，∠MEA＝∠ECB＝，。第二种情况：△MAE∽△EBC∽△CEM，则∠CEB＝∠ECM，CM∥EB，与题意不符，假设不成立。综上所述，.38.课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法.定义：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且A