高三第一轮复习数学指数式与对数式

高三第一轮复习数学---指数式与对数式一、 教学目标：1.理解分数指数幕的概念，掌握有理数指数幕的运算性质理解对数的概念，掌握对数的运算性质.二、 教学重点：运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明三、 教学过程：(一)主要知识：幕的有关概念(1)正整数指数幕an(1)正整数指数幕an/ , X=a，a，a a(neN*)(2)零指数幕ao二1(a„0)负整数指数幕a-n=—C„0,neN*)an正分数指数幕a：=/am(a>0,m,neN*,n>1)；(5)负分数指数幕a=(5)负分数指数幕a=—==C>0,m,neN*,n>1)namman(6)0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.有理数指数幕的性质(1)ara$=ar+s(a>0,r,seQ)(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,reQ)根式的内容(1)根式的定义:一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n：a叫做根式，n叫做根指数，a叫被开方数。OS)=ars(a>0,r,seQ)>1,neN*),(2)根式的性质：①当n是奇数，则玄an=a；当n是偶数，则g=|a|=负数没有偶次方根，零的任何次方根都是零4.对数的内容对数的概念a③loga=1①logMN=logM+logNa a a如果ab=N(a>0,a„1)，那么b叫做以aa③loga=1①logMN=logM+logNa a a对数的性质：①零与负数没有对数②log1=0a⑶对数的运算性质aaMn=nlogM其中a>0,aaaMn=nlogM其中a>0,aM0,M>0,N>0alogNN=m(N>0,a>0且a„1,m>0且m„1)logam(4)对数换底公式：log(二)主要方法：(4)对数换底公式：log(二)主要方法：1．重视指数式与对数式的互化2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提（三）例题分析：6込-◎6込-◎-(1-03)0-T①（T2+4 1—4 1—a3—8a3-b° _ib,厂/n,② …(1—23 )„3a(a>0,b>0)a2 24b3+2vab+a32（lg迈）2+lg辺-lg5+Y（lg迈）2—lg2+1lg5（lg8+lg1000）+（lg2-3）2+lg丄+lg0.066思维分析：式子中既有分数指数、又有根式，可先把根式化成分数指数幕，再根据幕的运算性质进行计算。在指数式运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法公式，对数运算应根据对数的运算法则进行运算。解丄丄，（63）-1，亠空-—（—冬、丄丄，（63）-1，亠空-—（—冬、116 忘3）2—（.2）2 8)=__+丫6+5+2J6丄3订__81+6^6~416(2)原式=11a3—2b32 11 2 丄4b3,2a3b3,a3a31a3(a一8b)1111„a3=a3(a3一2b3)丄・a3=a1 丄a3—2b3(3)(3)(原式=lgv'2(2l^.-'2+lg5)+*；(lg<2-1)2=lgv'2(lg2+lg5)+(1—lg<2)=14 ) 原 式Ig5(31g2,3)+3lg22—2二31g5-lg2,3lg22,31g5—2二3lg2,31g5—2二3—2二1练习(1)(变式1)计 (.4ab-1)3（4）一21(0.1)-2(a3b-3)2答案:25(2)(3)(0.027)—3—(—7)-2,(27)2-(、辽—1)0[(1一log3)2+log2-log18]…log46666(lg5)2,lg50-lg2答案：45（4）2．条件求值证明问题答案：1答案：11 _1例21 _1例2已知a2，a一23 _3(1)a+a—1(1)a+a—1（2）丄 _1a2—a—2思维分析：如何合理运算已知条件，熟练掌握乘法公式及方程的观点处理问题。

1解:(1)a2+a~2€4两边平方得a+a-1+2=16/.a+a-1=14TOC\o"1-5"\h\z1 _丄 1 1十，(a2)3-(a~2)3 (a2-a~2)(a+1+a-1) . ._1 1 丄 丄a2—a2 a2—a2练习（变式）设x31 1 丄 丄a2—a2 a2—a2练习（变式）设x3+x，3€2求x+x-1的值。 答案：2设11x+x_1€t,贝l」t3€x3+ +3x…x_1(x+—)€2+3t^„(t+1)(t2—t—2)=0 (t+1)2(t—2)=0.°.t=2x3 x换底公式及应用例3d)已知log535€m'例3d)已知log535€m'求log71-4(2)若log27€a,12思维分析：用换底公式化成相关数质数为对数的底数与真数，:(€1+log7€m.log7€m一1log5(5X7) ，1+log7m，2€ 5——€—log7 log7m一1log27 3(2)log27€ 3 € €a„12log12 1+2log23 32匕a解log§35「.log1.4=7]23_alog32P12—4a求证:log166再进行代换。112—4alog16 4log2.log16€ 3 € 3 €c6log6 1+log2 1 3一a2a+3一aa+33 3 1+2a4(3—a)3+a指对数互化例4已知x,y,z为正数，满足3x€4y€6z①求使2x=py的p的值， ②求与①中所求的p的差最小的整数④比较3x、④比较3x、4y、6z的大小求证：—€———2yzx思维分析：掌握指数式与对数式互化是解决问题的一个有效途径。解：①设3x€4y€6z€k（k丰1）则x€logk,y二logk,z二logk,TOC\o"1-5"\h\z3 4 62logk… ”由2x=py得2logk€plogk„p二3二2log43 4 logk 34p€2log4€log16 2<p<33 3p，2€p，2€log3，p€log ..p，2>3，p39 316故与p差最小的整数是3。1111③一一一二zxlogk6④1k 2logk2y€log6-log3€k 2logk2ykkk2•€k>1/.lgk>0餡他64-lg81)<04y-6z€船他•€k>1/.lgk>0111练习(变式4)已知a、b、c均是不等于1的正数，且a2+x2—3=by=c2+x2—3xyz的值答案:15．综合应用1111x3一x—3 ,、 x3+x—3例5已知函数f(x)€ 5 g(x)€ 5——证明：f(x)是奇函数，并求f(x)的单调区间，分别计算f(4)-5f(2)g⑵和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的x都成立的一个等式。解:(1)函数f(x)的定义域为(—8,0)€(0,+刈，关于原点对称，又丄 1 11(—x)3—(—x)3 x3—x3- -- 5 €，f(x)・f(x)是奇函数11111x,x„(0,+s)12丄)11x3x3

1323-x1…0,1+——1—2311xx,x„(0,+s)12丄)11x3x3

1323-x1…0,1+——1—2311x3x31323又•/f(x)是奇函数，・・・f(x)在(-8,0)上也单调递增。(2)计算得f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,f(X2)-5f(X)g(X)=0.1•/x313>0•••f(xi)-f(x2)…0 f(x)在(0,+s)上单调递增,由此概括出对所有不等于零的实数x的:211兀3—x3 兀3—x3f(x2)，5f(x)g(x)€ 5 ，5- 5-11x3+x31(2 -2)1(2 -2)0=一(x3，x3)，一(x3，x3)€05 5(四)巩固练习：TOC\o"1-5"\h\z113 21.计算:(1)(124+22\：'3)2—276+164—2(83)t；(lg2)2+lg2.lg50+lg25；(log2+log2)-(log3+log3).3 9 4 8i_ 113 2解:(1)原式€(11+丙、—3叫+24x4-2X8-3x(T)€11+訂-32+23-2X23x2€11+爲—訂+8-8€11.(2)原式€(lg2)2+(1+lg5)lg2+lg52€(lg2+lg5+1)lg2+2lg5€(1+1)lg2+2lg5€2(lg2+lg5)€2.(3)原式€( +lg3€3lg2.2gT1 _丄2.已知(3)原式€( +lg3€3lg2.2gT1 _丄2.已知x2+x"2€3，求x2+x-2一2的值./.x+2+x—1，9，•：x+x—1，7,/.(x+x—1)2，49，•：x2+x—2，47,TOC\o"1-5"\h\z3 11乂Vx2+x2，(x2+x2)•(x—1+x-1)，3•(7—1)，18,x2+x-2—2 47—2， ，3.3 _a 18—3x2+x2—3c u 1 1C3.已知3a，5，c，且一+：=2，求c的值.ab解：由3a，c得：log3a，1，即alog3，1log3，-；c c ca同理可得1，log5,・•.由-+1，2得log3+log5，2,bc ab c clog15，2，•:c2，15,Vc„0,•:c=\15.c4•设x„1,y„1，且2logy—2logx+3，0,求T，x2—4y2的最小值.x y解：令t，logy,Vx„1,y„1,•t„0.x2由2logy—2logx+3，0得2t