高考数列求和的方法课件

数列求和求一个数列的前n项和的几种方法：1运用公式法3错位相减法4分组求和法2倒序相加法5裂项相消法1.公式法：①等差数列的前n项和公式：②等比数列的前n项和公式n2＋n

n2

例1：若实数a,b满足：

求：分析：通过观察，看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为a，公比为ab，因此由题设求出a,b，再用等比数列前n项和公式求和例2求和：1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)解：∵1，1/a,1/a2……1/an是首项为1，公比为1/a的等比数列，∴原式=原因：上述解法错误在于，当公比1/a=1即a=1时，前n项和公式不再成立。例2求和：1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)在求等比数列前n项和时，要特别注意公比q是否为1。当q不确定时要对q分q=1和q≠1两种情况讨论求解。对策：

公式法求和的前提是由已知条件能得到此数列是等差或等比数列，因此，要求不仅要牢记公式，还要计算准确无误.即时小结在什么情况下，用公式法求和？2.倒序相加法类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……

如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项具备某种固定的关系（如它们的和相等或等于同一个常数），那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求和；倒序相加法：例3变式.已知求S.热身训练倒序相加法倒序相加法求和的前提首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和.即时小结在什么情况下，用倒序相加法求和？例4、求和Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1(x≠0,1)[分析]这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？Sn=1+2x+3x2

+……+nxn-1①

xSn=x+2x2

+……+(n-1)xn-1+nxn②(1-x)Sn=1+x+x2+……+xn-1-

nxnn项这时等式的右边是一个等比数列的前n项和与一个式子的和，这样我们就可以化简求值。错位相减法例4、求和Sn=1+2x+3x2++nxn-1(x≠0,1)解：∵Sn=1+2x+3x2++nxn-1∴xSn=x+2x2++(n-1)xn-1+nxn∴①-②，得：(1-x)

Sn=1+x+x2++xn-1-

nxn∴Sn=1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)21-xn1-x=-

nxn………………3.错位相减法：设数列是公差为d的等差数列（d不等于零），数列是公比为q的等比数列(q不等于1），数列满足：则的前n项和为：例5、求数列的前n项和在什么情况下，用错位相减法求和？即时小结4.分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.若数列的通项可转化为

的形式，且数列可求出前n项和则例6.求下列数列的前n项和（1）

解（1）：该数列的通项公式为

变式

如果题中的第n项本身就是一个和式，那么可先将通项化简再求和注意！即时小结将一个数列拆成若干个简单数列,然后分别求和.5.拆项求和变式求前n项和关键的第一步：分析通项即时小结在什么情况下，用拆项求和？规律概括：如果一个数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用分组求和法：在本章我们主要遇到如下两种形式的数列.

其一：通项公式为：

其二：通项公式为：

将数列相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新数列(容易求和).6.并项求和例8.1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？局部重组转化为常见数列并项求和练习.求和Ｓ=1-2+3-4+•••+99-100Ｓ=1-2+3-4+•••+99-100=-50即时小结交错数列，并项求和即{（-1）nbn}型例9、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)[分析]：观察数列的前几项：1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和，这种方法叫什么呢？裂项相消法11×3=（-213111）例9、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)解：由通项an=1(2n-1)×(2n+1)=（-

）212n-112n+11∴Sn=

（-+-+……+-)21311151312n-112n+11=（1-）212n+112n+1n=评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。7.裂项相消法：若数列的通项公式拆分为某数列相邻两项之差的形式即：

或（）则可用如下方法求前n项和.

例10设是公差d不为零的等差数列，满足求：的前n项和它的拆项方法你掌握了吗？常见的拆项公式有：

(2)已知，若前n项和为10，则项数n为__________.120在什么情况下，用裂项相消求和？即时小结

若构成数列的项中含有(-1)n，或者数列是以分段函数形式给出时，则在求和Sn时，一般要考虑n是奇数还是偶数.8.奇偶分析法例11：若数列{an}中，an=-2[n-(-1)n]，求S10和S99．解：an=-2n+2(-1)n，变式总结1、本节课主要讲了８种数列求和方法公式法分组结合法错位相减法裂项相消法2、求和时应首先注意观察数列特点和规律考察此数列，是否是基本数列求和或者可转化为基本数列求和。3、要熟练运用这些方法，还需要我们在练习中不断摸索。并项法奇偶分析法倒序相加法拆项法

数列求和的一般步骤：等差、等比数列直接应用求和公式求和。非等差、等比的数列，通过通项化归的思想设法转化为等差、等比数列，常用方法有倒序相加法、错位相减法、拆项并组法不能转化为等差、等比的数列，往往通过裂项相消法求和。巩固训练3.求和S=3+33+333+…+33…3延伸·拓展例.在数列{