《电磁场理论》课件6

前面研究了时变电磁场的基本规律，这一章将从电磁场方程组出发，进一步研究在各种媒质中电磁场的基本性质。为了方便起见，主要研究均匀平面电磁波随时间及空间变化的特点，以及与空间媒质的关系，并建立有关概念。第六章平面电磁波的传播§6-1电磁波动方程和平面电磁波6.1.1电磁波动方程

在各向同性、线性均匀的无源介质中，由于自由电荷为零，电磁场方程组成为：（书上说的传导电流为零与给出的电磁场方程(6-1)相矛盾）（6-1）（6-2）（6-3）（6-4）对式（6-1）两边取旋度，并将式（6-2代入）利用矢量恒等式将上式左端展开，并考虑式（6-3）得所以同理可得（6-6）（6-5）

上二式是无源空间中E和H满足的方程，称为电磁波动方程。说明E和H的解都是以波动形式在空间传播的。这种相互联系并以波动形式在空间传播着的电磁场称为电磁波。6.1.2平面电磁波

所谓均匀平面波，是指它的波前（波阵面、等相面）是平面，并且在波前上各点的电场强度和磁场强度的大小和方向都分别相同。这种波是一种理想的模型。但是实际工作中碰到的某些电磁波可以近似地当作均匀平面波来处理；另一方面，实际存在的各种较复杂的电磁波可以看成由许多均匀平面波叠加而成。此外，均匀平面波所具有的一些性质，对于复杂的电磁波也具有普遍意义，所以，它是研究更复杂形式的电磁波的基础。

选取直角坐标系，并令均匀平面电磁波沿x轴正向传播。由均匀平面电磁波的定义知，电磁场在波前（即yz面）上均匀分布，则场量只是t和x的函数，即把麦克斯韦方程组中的两个旋度方程在直角坐标系中展开，得E和H的波动方程简化为一维波动方程：（6-8）（6-7）由此可得到方程组：（6-9）讨论：（1）由上面一组方程可以看出，Hx是与时间无关的常数，若不考虑与时间无关的恒定电磁场，则有Hx=0。而Ex的解为但在一般情况下γ>>ε，Ex随时间按指数规律衰减得很快，因此，通常可认为Ex=0。这表明，当取x轴为传播方向时，均匀平面电磁波中的电场E和磁场H都没有和传播方向x相平行的分量，它们都和波的传播方向相垂直,即对传播方向来说它们是横向的,这样的电磁波称为横电磁波（TransverseElectromagneticWave）,简称TEM波。

（2）电磁波的电场E的方向、磁场H的方向和波的传播方向三者相互垂直，且满足右手螺旋关系。而且若电场只有Ey分量，则磁场仅有Hz分量；若电场只有Ez分量，则磁场仅有Hy分量。

（3）分量Ey和Hz构成一组平面波；分量Ez和Hy构成另一组平面波。这两组分量波彼此独立，但电磁波中的合成场强E和H却分别由这两组分量波的有关场强构成。

对于由分量Ey和Hz构成的平面电磁波，E=Ey（x，t）ey，H=Hz（x，t）ez，一维电磁波动方程简化为（6-10）（6-11）§6-2理想介质中的均匀平面电磁波

在理想介质中，由于γ=0，传导电流也为零，电磁场方程组成为：由此可推导出理想介质中均匀平面波的波动方程。（书上直接将γ=0代入一维波动方程(6-10)式和(6-11)式得到）（6-12）（6-13）6.2.1一维波动方程的解及其物理意义

上述一维波动方程的解分别为式中（6-15）（6-14）

现在我们讨论一下解的意义：

（1）电场和磁场都是沿x方向传播的波。其中Ey+（x，t）和Hz+（x，t）都是宗量（t－v/x）的函数，表示以速度v向+x方向前进的波，我们称之为入射波；Ey－（x，t）和Hz－（x，t）都是宗量（t+v/x）的函数，表示以速度v向－x方向前进的波，我们称之为反射波；函数f1、f2、g1和g2的具体形式与产生该波的激励方式有关。

（2）理想介质中的均匀平面波的传播速度是一常数（6-16）它仅与媒质的参数ε和μ有关。在自由空间中在理想介质中波的传播速度还可以表示成（6-17）式中n称为介质的折射率。可见电磁波在理想介质中的传播速度小于在自由空间中的传播速度。这和几何光学中的结论是一样的。

（3）将（6-14）式代入下式两端对x积分，并略去表示静态的积分常数，便可得到Ey（x，t）和Hz（x，t）的关系（6-18）在电场和磁场之间符合下列关系：Z0称为理想介质的波阻抗，单位为Ω。

（4）能量关系。以+x方向的波为例，任意点的电场能量密度和磁场能量密度分别为因为则有所以，电能密度和磁能密度相等。总能量密度为（6-19）（6-20）（6-21）坡印亭矢量的值为称为电磁波的能流密度，即电磁波沿着其传播方向以速度v传递电磁能量（6-23）（6-22）6.2.2理想介质中的正弦均匀平面波

下面，我们来讨论一下电磁场按正弦规律随时间变化的情况。这时，场量可用相量（复数形式）表示。相应的波动方程的相量表达式为：（6-25）（6-24）上列两式中只是x的函数，它的模分别表示电场强度、磁场强度的有效值。令上二式写成（6-27）（6-26）其通解为（6-28）（6-29）相应的瞬时形式为（6-29）（6-30）这正是正弦均匀平面电磁波的表达式。第一项表示沿+x方向的入射波，第二项表示沿－x方向的反射波，在无限大均匀介质中，反射波为零。相量表达式中是任意的复常数它们的大小和相位决定于具体的场源情况和边界情况。β的值表示单位长度的相位变化，称为相位常数。因波的传播特性和jβ的值有关，故定义k=jβ叫做传播常数，由它可以表示场量沿传播方向上的变化。（6-31）代表了相位一定的点的传播速度，称为相速，理想介质中的相速为一常数。波长是电磁波在一个周期内前进的距离，即又因为所以波长λ又等于空间中相位差2π的两点间的距离。

由波阻抗的定义知说明在理想介质中均匀平面波的电场强度E和磁场强度H在时间上同相，即φE=φH=φ。其振幅之比为实数。（6-33）（6-32）（6-35）（6-34）

例6-1已知自由空间中传播的均匀平面电磁波的磁场强度试求：（1）平面电磁波的频率、相速、波长、相位常数和传播方向；（2）平面电磁波的电场强度E的表达式；（3）坡印亭矢量。[选自《精解》P.1796-2]

解：（1）由H的表达式得该平面电磁波向z方向传播。

（2）自由空间的波阻抗为因为H有Hx和Hy两个分量，所以E也有Ex和Ey两个分量，且这样，平面电磁波的电场强度E的表达式

（3）坡印亭矢量§6-3导电媒质中的均匀平面电磁波

现在研究导电媒质中的均匀平面电磁波。导电媒质的特点是γ≠0，显然，现在必须考虑传导电流。6.3.1导电媒质中正弦均匀平面波的传播特性

研究导电媒质中的均匀平面电磁波也应从电磁场的基本方程出发。§6-1中已推导出相应的波动方程我们讨论正弦均匀平面波的情况，则相应的一维波动方程的相量（复数）形式为若取则上面两个方程组可改写成（6-37）（6-36）（6-39）（6-38）k称为导电媒质中的波传播常数。如果令则有ε’称为导电媒质的等效介电常数。只要把ε用ε’代替，导电媒质中的各种电磁场公式，就与理想介质中的公式有相同的形式。从而得到导电媒质中正弦均匀平面电磁波的各相应表达式。（6-41）（6-40）

由式（6-41）可知，导电媒质中的传播常数是一个复数[而理想介质中k（=jβ）是一个虚数]：将上式中的实部和虚部分开，有（6-42）对于沿+x方向传播的入射波，电场和磁场的瞬时形式为其传播速度为：（6-44）（6-45）（6-43）（6-46）（6-47）波长为波在传播过程中，其振幅按指数规律衰减。这是意料中的事。因为γ≠0会引起传导电流J=γE，从而引起能量损耗，使原来电磁场中的能量愈来愈小，所以，电磁波的振幅也就随着波的传播愈来愈小了。其中α表示单位长度的衰减指数，称为衰减常数。单位是奈伯/米（Np/m）；β表示单位长度的相移，称为相位常数，单位是rad/m；α和β共同决定波的传播特性，故称k（=α+jβ）为传播常数。电场和磁场的关系是（6-48）是一个复数阻抗，说明电场和磁场不相同，磁场比电场落后一相角。波阻抗坡印亭矢量的平均值（6-49）（6-51）（6-50）6.3.2低损耗介质中的波之前，先介绍一下媒质损耗和损耗角及其正切的概念。如前所述，当媒质的电导率不为零（γ≠0）时,将引起能量损耗[注]，这时的等效介电常数ε’是复介电常数媒质损耗的大小，可用复介电常数的复角θr，或其正切来表示:式中θr叫做媒质的损耗角；tg|θr|叫损耗角正切（或耗散因数）。（6-52）

也就是说，非完纯介质中ωε2引起的损耗等效于导电媒质中γ的作用。当两种形式的损耗同时存在时，复介电常数的虚部应代表介质中所有损耗的和。注：除了因γ≠0引起的损耗外，介质在高频极化时产生的阻尼作用和在某些频率出现的谐振现象也代表一种损耗，这时的介电常数本身也是一个复数：ε’=ε1+jε2。如果我们令ε1=ε，ωε2=γ，则也可写成：当媒质的tg|θr|<<1（即γ<<ωε）时,便称为低损耗介质。所以，衰减常数：相位常数：相速：波阻抗：（6-55）（6-54）（6-53）（6-56）（6-57）

由此可见，当γ/ωε<<1时，相位常数、相速及波阻抗都近似地与理想介质中相同，不同的是衰减常数不为零，故电磁波在传播过程中振幅要稍微衰减。当γ=0时,即变为理想介质的情况。6.3.3良导体中的波若当媒质的γ很大（如铜、铝等），γ>>ωε[严格讲应该是(γ2/ω2ε2)>>1],称为良导体，则有（6-58）（6-59）由以上各式可见：（1）由于良导体的γ很大，所以α、β也很大。由于相位常数β很大，故相速v很小，从而波长λ=v/f=2π/β也很小。（6-61）（6-60）（6-62）（6-63）（2）由于衰减常数α很大，故波在推进时衰减很快，只要经过很小一段距离，它的场强便衰减为原有值的很小的百分比；正弦均匀平面电磁波在良导体中的透入深度（4）由于γ大，波阻抗的值很小，说明在良导体中的电磁场以磁场分量为主。磁场能量与电场能量的比值为：

（3）电场与磁场不同相，波阻抗的幅角为45°，说明磁场的相位滞后于电场45°。（6-64）（6-65）故大部分能量是磁场能量。坡印亭矢量的平均值为：

例6-2（1）已知蒸馏水的物理参数为μr=1，εr=50和γ=20西门子/米。设频率为30KHz和15.9KMHz的均匀平面波分别在蒸馏水中传播,试计算两种频率下的k,α,β,Z0,λ和v。（2）若有某一媒质（μr=1，εr=50，γ=0），重新计算上述两种均匀平面波在该介质中传播时的λ和v。[《电磁场》（第二版）p.339]（6-66）解：（1）当F=30KHz时，因为当f=15.9×109Hz时，由于所以不能按近似公式进行计算。这样代入数据得即（2）当f=30KHz时（γ=0为理想介质）当f=15.9×109Hz时

由上述例题可见，当f=30KHz时,γ≠0的媒质中的v和λ较γ=0的媒质中的相应量小得多,但当f=15.9KMHz时,两种媒质中的v和λ差不多，这是因为

f=30KHz时(γ/ωε)2>>1蒸馏水看作良导体

f=15.9KMHz时(γ/ωε)2=0.2043蒸馏水看作有损介质由此可以得出结论：判断某一媒质是否属于良导体的条件是：(γ/ωε)2是否较1大得多，不能只看该媒质的电导率的大小。§6-4平面电磁波的极化

在我们所讨论的波中，在沿其传播方向上（x轴方向）没有电场分量，一般可有Ey和Ez分量。如果Ez=0,只有Ey，我们称这个波在y方向极化，如果Ey=0，只有Ez，则它是在z方向极化。波的极化由电场的方向决定。在一般情况下，Ey和Ez都存在。对于多个均匀平面波在垂直传播方向的平面内的电场分量，总可以在两个互相垂直的方向上投影综合成Ey、Ez两个分量，这两个分量的振幅和相位不一定相同。它的一般表达式为（6-67）对于这种波的极化，可分三种情况来讨论。电场的水平与垂直分量的相位相同或相差180o的称为直线极化波。例如它们的表达式分别为：[设]在x=0的等相面上，可得：合成场强为：6.4.1直线极化（6-68）m0表示合成电场强度的单位矢量。设m0和y轴之间的夹角为α，则yzm0E2mE1mα图6-1x如图6-1所示。合成电场的大小虽然随时间变化，但方向保持在一直线上，因此称为直线极化波。电场的水平分量和垂直分量振幅相等，但相位差90°或270°的称为圆极化波。6.4.2圆极化（6-69）其中：E1m=E2m=Em,令x=0，有合成电场的大小它的方向由下式决定EE1mE2myz图6-2ωα（6-71）（6-70）EE1mE2myz图6-2ωψ这表示合成电场的大小不随时间改变，但方向却随时间改变。合成电场的矢端在一圆上以角速度ω旋转（图6-2）。当Ez较Ey滞后90o时，电场方向沿逆时针方向旋转；反之当Ez较Ey超前90o时，电场矢量沿顺时针方向旋转。最一般的情况是电场两个分量的振幅和相位都不相等，这样便构成椭圆极化波。设它们的表达式分别为6.4.2椭圆极化令：φ1=0，φ2=α，在x=0的平面内，有在此二式中消去t，整理得：（6-72）推导：将代入两边平方整理得：这是一个椭圆方程，合成电场的矢端在一椭圆上旋转（图6-3），当α＞0时,它顺时针方向旋转；当α＜0时,它逆时针方向旋转。(可以结合图示法,即旋转矢量发加以说明)我们可以证明,椭圆的长轴与x轴的夹角θ由下式确定:图6-3xyzE1mE2mθ

前面讨论的直线极化和圆极化都可看作是椭圆极化的特例。（6-73）

以上我们是就垂直于电磁波传播方向的一个平面上的特殊情况来进行分析的，即在空间固定一点观察电场随时间的变化。但是，无论是哪一种极化，任何一个平面的瞬时情况都沿着电磁波传播的方向以电磁波推进的速度向前移动。因此，如果在固定时间观察空间电场沿传播方向的变化，它的大小和方向与某一垂直平面上电场随时间的变化情况相同。换句话说，在固定时间观察到的电场沿传播方向的分布在某一垂直平面内的投影，就是在固定空间一点观察到的电场随时间的变化轨迹。在工程上，我们还用右旋或左旋来说明圆及椭圆极化波中电场矢量的旋转方向，如果我们顺着电磁波前进的方向看，电场矢量是顺时针方向旋转的，这种波的极化称为右旋圆（椭圆）极化波；反之，如果电场矢量是逆时针方向旋转的，则称为左旋圆（椭圆）极化波。§6-5平面电磁波的反射与折射以上我们所讨论的都是在一无界均匀媒质中电磁波的传播特性。当在一种媒质中传播的波投射到另一种媒质上时，就会产生波的折射与反射现象。6.5.1平面电磁波在理想介质分界面上的反射与折射入射波反射波折射波μ1,ε1μ2,ε2nxyθ1θ2θ'1v1v’1v2o图6-4

假定两理想介质交界面为无限大平面，其法向n由介质2指向介质1，如图所示，均匀平面电磁波以入射角θ1由介质1向介质2传播。入射线与n形成的平面称为入射面。θ’1

1.反射定律和折射定律入射波反射波折射波μ1,ε1μ2,ε2nxyθ1θ2θ'1v1v’1v2o图6-4为反射角，θ2为折射角。在交界面o点上，由于介质的突变，入射波将被分解为反射波和折射波。根据分界面上的衔接条件，o点两侧电场强度和磁场强度的切向分量应分别相等，且在电磁波的传播过程中，点o的衔接条件应沿交界面传播。也就是说，入射波、反射波和折射波沿交界面的传播速度必须相同是保证衔接条件始终成立的必要条件。由图6-4得由于反射波和入射波在同一介质中传播，有v’1=v1，得反射定律折射定律为（6-74）（6-75）通常μ1≈μ2≈μ0，则介质的折射率n定义为自由空间中电磁波相速与介质中电磁波相速之比，即n为无量纲的量，一般介质μr≈1，则n1和n2分别为介质1和介质2的折射率。（6-76）（6-77）（6-79）（6-78）

2.反射系数和折射系数μ1,ε1μ2,ε2nxyθ1θ2θ'1o图6-5垂直极化波和平行极化波μ1,ε1μ2,ε2nxyθ1θ2θ'1o(a)垂直极化波(b)平行极化波图6-5所示均匀平面电磁波的反射和透射问题可以分解为两种情况进行讨论，图(a)中电场强度矢量与入射面垂直，这种情况称为垂直极化波；图(b)中电场强度矢量与入射面平行，这种情况称为平行极化波。μ1,ε1μ2,ε2nxyθ1θ2θ'1o图6-5(a)垂直极化波对于垂直极化波，如图6-5(a)所示，利用在介质分界面上电场强度和磁场强度两者的切向分量均连续的条件，有考虑到Z01和Z02分别是介质1和介质2的波阻抗，代入上两式，解得垂直极化波的反射系数为（6-81）（6-80）（6-82）（6-83）折射系数为（6-84）此二式为垂直极化波的菲涅耳公式。对于垂直极化波，如图6-5(b)所示，根据介质分界面上的衔接条件，有图6-5(b)平行极化波μ1,ε1μ2,ε2nxyθ1θ2θ'1o（6-86）（6-85）考虑到（6-87）得平行极化波的反射系数和折射系数（6-88）（6-89）这是平行极化波的菲涅耳公式。菲涅耳公式是与波的极化相关的。它反映了不同介质分界面上反射波电场、折射波电场与入射波电场之间的关系。6.5.2平面电磁波在理想介质分界面上的全反射和全折射

全反射与全折（透）射现象是波斜入射中的两个重要的特殊现象。

1.全反射

当反射系数│Γ⊥│=1或│Γ∥│=1时，我们说电磁波在介质分界面上发生全反射。如果入射角θ1≠90°，只有当cosθ2=0时，才有│Γ⊥│=1或│Γ∥│=1，即折射角θ2=90°时，产生全反射，把使折射角θ2=90°的入射角称为临界入射角θc。把θ2=90°代入折射定律（6-77）式可求得临界入射角θc（6-90）显然，只有当ε1＞ε2时，上式才有意义。因此，对于两种理想介质分界面而言，全反射只能出现在入射角θ≥θc，且电磁波由光密介质到光疏介质传播时的情况。

例6-3有一介电常数ε＞ε0的介质棒，欲使波从棒的任一端以任何角度射入，都能限制在该棒之内，直到该波从另一端射出，试求该棒相对介电常数εr的最小值。[书p.238例6-7]θ1θtθiε1=εrε0μ0，ε2＜ε1图6-6介质棒中电磁波的传播解：如图所示，要使波在介质棒内发生全反射，必须θ1≥θc即据折射定律（斯耐尔定律）得因为所以由于则有解得因为当θi=π/2时，上式右边将是最大的，所以该介质棒的相对介电常数εr最小要等于2。满足这个条件的介质有玻璃或石英。

2.全折射

另一种特殊现象是全折射，即反射系数等于零的情况。对于垂直极化波，从式（6-83）可知，要使Γ⊥=0，必使（6-83）再应用折射定律所以满足上式的条件是ε2=ε1，这说明对于垂直极化情况不存在全折射现象。

对于平行极化情况，令式（6-88）Γ∥=0，即（6-88）设μ1≈μ2≈μ0，并应用斯耐尔定律，则有或求解得或当入射角满足上式时，入射波全部折（透）射到介质2中，产生全折射的入射角，称为布儒斯特角它表明当平行极化入射波以布儒斯特角入射到两介质交界面时，不存在反射波。在实际中，可以利用测量布如斯特角来测量介质的介电常数,也可以利用布儒斯特角提取入射波的垂直极化分量。（6-91）（6-92）6.5.3平面电磁波在良导体表面上的反射与折射当平面电磁波由理想介质（介电常数为ε1）以入射角θ1入射到良导体（介电常数为ε2，电导率为γ）表面上时，由折射定律得良导体内折射波的折射角θ2满足的关系又知及对于一般的非磁性物质有μ1≈μ2≈μ0，则（6-94）（6-93）（6-95）当角频率ω不太高时，有或可见，对于良导体，不管入射角θ1如何，透入的电磁波都是近似地沿表面地法线方向传播。

良导体的波阻抗显然，│Z02│<<Z01，代入菲涅耳公式，得T⊥<<1，T∥<<1和Γ∥≈－1，Γ⊥≈－1（6-97）表明无论什么极化波在良导体内的折射波都是很小的，差不多是全反射。即当平面电磁波由理想介质入射到良导体表面上时，在良导体表面上反射波电场与入射波电场等值反向。（6-96）§6-6平面电磁波的正入射·驻波以上我们所讨论的都是在一无界均匀媒质中电磁波的传播特性。当在一种媒质中传播的波投射到另一种媒质上时，就会产生波的折射与反射现象。本节讨论一种最基本的情况，即平面电磁波垂直入射到两种媒质的分界面上时，反射波、透射波和入射波之间的关系。6.6.1对理想导体的正入射当平面电磁波由理想介质垂直入射到理想导体表面时，将发生全反射，即Γ⊥=Γ∥=－1和T⊥=T∥=0（6-98）不论是垂直极化波还是平行极化波，在分界面x=0处，都有和入射→反射←图6-7μ1,

ε1γ=∞xyz

设理想介质中入射波的电场强度为则反射波的电场强度为在理想介质中的合成电场强度为同理可得,在理想介质中的合成磁场强度为（6-99）（6-100）（1）由上二式可见，场的相位和x无关，而振幅则是x的函数，即空间各点的场以不同的振幅作同相振动，而无波的位移。有这种特点的波称为驻波。分析：电场强度恒等于零，而磁场强度最大。这些点叫做电场的波节或磁场的波腹。（2）在某些点处或在另一些点处或电场强度最大而磁场强度为零,这些点叫电场的波腹或磁场的波节。（6-102）（6-101）（3）因任一点电场强度和磁场强度的相位差90o，故坡印亭矢量的平均值为零，说明不发生能量传输的过程。而且由于波节处坡印亭矢量恒为零，故能量的交换过程也只能在λ/4的空间范围内进行。电场（或磁场）的相邻波节点及相邻波腹点间距离都是λ/2。但电场强度波节、波腹的空间位置与磁场强度波节、波腹的位置相差λ/4。电场波节处，磁场是波腹；而电场波腹处磁场是波节。（4）在理想导体表面上，电场强度为零，磁场强度最大，因此出现了一层面电流，其密度为（6-103）

例6-4均匀平面电磁波频率f=100MHz，从空气正入射到x=0的理想导体平面上，设入射波电场沿y方向，振幅Em=6×10－3V/m，试写出：（1）入射波的电场和磁场；（2）反射波的电场和磁场；（3）在空气中合成波的电场和磁场；（4）空气中离理想导体表面第一个电场波腹点的位置。[书p.243例6-9]

解：（1）入射波的电场和磁场的瞬时表达式将代入得

（2）理想导体引起全反射，即在x=0处和所以，反射波的电场和磁场的瞬时表达式

（3）空气中合成波的电场和磁场的瞬时表达式（4）在空气中，离理想导体表面第一个电场波腹点发生在其中，理想介质中6.6.2对理想介质的正入射入射波反射波透射波图6-8媒质1ε1、μ1媒质2ε2、μ2xyz若在不同媒质的分界面上，不是全反射，而是部分反射，则不难设想，在媒质1中，因为反射波的振幅比入射波的小，反射波只能与一部分入射波形成驻波。入射波中其余部分仍为行波，透入到媒质2中仍以行波继续传播。此时的反射系数和折（透）射系数分别为所以设入射波电场和磁场的复数表达式为则反射波电场和磁场的复数表达式为而媒质2中透射波的电场和磁场的复数表达式（6-106）（6-107）（6-105）（6-104）在媒质1中合成电磁场分量分别为（6-109）（6-108）上式中，第一项为行波，第二项为驻波。由此可见，在媒质1中是驻波和行波共存的情形，称为行驻波。

进一步将式（6-108）改写为

(1)当Γ＞0时，电场的最大值是││(1+Γ)，它发生在2β1xmax=－2nπ（n=0，1，2，······）即处电场的最大值是││(1－Γ)，它发生在2β1xmin=－（2n+1）π（n=0，1，2，······）即处（6-110）

(2)当Γ＜0时，电场的最大值是││(1－Γ)，它发生在Γ＞0时所给的xmin处。电场的最小值││(1+Γ)，它发生在Γ＞0时所给的xmax处。总之，在入射波和反射波两者相位相同处它们直接相加，场强取最大值E1max=││(1+│Γ│)；在入射波和反射波两者相位相反处它们直接相减，场强取最小值E1min=││(1－│Γ│)；通常将最大电场值和最小电场值的比称为驻波比并用字母S表示，即利用E1max=││(1+│Γ│)和E1min=││(1－│Γ│)，得（6-111）或：

Γ的值从－1变化到+1时，S的值从1变化到∞。

当|Γ|=0即没有反射波时，S=1，这说明媒质1中电场的最大值和最小值相等，表现为行波。当|Γ|=1即全反射时，S=∞，这说明媒质1中的电场最小值为零，表现为驻波。（6-113）（6-112）

例6-5波阻抗为Z20及厚度为d的理想介质放置在波阻抗为Z10的理想介质之间，如图6-9所示，求当介质1中的均匀平面电磁波正入射到介质2的界面时，不发生反射的d及Z02。[书p.248例6-12]xyx=0x=d反射波传输波ε2,μ2ε3,μ3ε1,μ1图6-9平面电磁波对多层介质分界面的正入射

解：介质1中无反射波时，电磁场应为介质2中的电磁场为介质3中仅有向（+x）方向前进的波，即在介质分界面，电场和磁场的切向分量必须连续，所以，在x=0处以上两式等号左右分别相除，且令得在x=d处，同样，上两式相除，且代入有由于理想介质的波阻抗都是实数，所以上式右端也为实数，故或另一方面，若n等于奇数，则解得说明当介质1和介质3不同时，介质1中无反射波的条件是Z02必须等于Z01和Z03的几何平均值，且d必须是四分之一波长的整数倍。光学透镜表面上的介质敷层就是利用