第6章-电磁感应课件

第六章电磁感应

主要内容电磁感应定律，自感与互感，能量与力。1.电磁感应定律2.自感与互感3.磁场的能量4.磁场力7/20/202311.电磁感应定律

穿过闭合线圈中的磁通发生变化时，线圈中产生的感应电动势为

选择一个磁通的正方向，磁通增量的正方向与之相同,并且电动势的正方向与的正方向构成右旋关系。感应电动势的实际方向与磁通增量的实际方向构成左旋关系。数值的正负表示实际方向。与B方向的关联闭合回路都处于电源内部，电动势的方向与电流方向相同，线圈中感应电流产生的感应磁通方向总是阻碍原有磁通的变化，所以感应磁通又称为反磁通。i、+-大小方向7/20/20232闭合线圈中产生感应电流意味着导线中存在电场推动电荷运动，这种电场称为感应电场(非静电力)，以E表示。感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应电动势，即又知，得上式称为电磁感应定律，它表明穿过线圈中的磁场变化时，导线中产生感应电场。它表明，时变磁场可以产生时变电场。

磁生电7/20/20233根据斯托克斯定理，由上式得由于该式对于任一回路面积S均成立，因此，其被积函数一定为零，即此式称为电磁感应定律的微分形式。它表明某点磁感应强度的时间变化率负值等于该点时变电场强度的旋度。

磁感应定律是时变电磁场的基本定律之一，也是下一章将要介绍的描述时变电磁场著名的麦克斯韦方程组中方程之一。7/20/202342.自感与互感由毕奥–沙伐定律知，位于线性媒质中的单个回路电流产生的磁感应强度与回路电流I成正比，所以穿过回路的磁通也与回路电流I成正比。与回路电流I交链的磁通称为回路电流I的磁通链，以

表示，令与I

的比值为L，即式中L

称为回路的电感，单位为H（亨利）。由该定义可见，电感又可理解为与单位电流交链的磁通链。在线性媒质中，单个回路的电感仅与回路的形状及尺寸有关，但与回路中电流无关。应注意，磁通链与磁通不同，磁通链是指与某电流交链的磁通。

7/20/20235N匝密绕线圈的磁链

7/20/20236若交链N次，则磁通链增加N倍；若部分交链，则必须给予适当的折扣。例如对于N匝回路组成的环形线圈，由于穿过线圈的磁通与线圈中的电流I

交链N次，对于回路电流I相当于磁通增加N倍，因此与回路电流I交链的磁通链为=N。所以，由N

匝回路组成的线圈的电感为若有两个回路存在，如图示。与回路电流I1交链的磁通链是由两部分磁通形成的，其一是I1本身产生的磁通形成的磁通链11，另一是电流I2在回路l1中产生的磁通形成的磁通链12。dl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r17/20/20237同理，与回路电流I2交链的磁通链是由本身产生的磁通链22和电流I1在回路l2中产生的磁通链21共同形成的，即dl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1若周围媒质是线性的，则比值，，及均为常数，令式中L11称为回路l1的自感，M12称为回路l2对l1的互感。同理定义式中L22称为回路l2的自感，M21称为回路l1对l2的互感。7/20/20238将上述参数L11，L22，M12及M21代入前式，得可以证明，在线性均匀媒质中

因为可以导出任意两个回路之间的互感公式为

考虑到，所以由上两式可见，7/20/20239由此两式还可见，若dl1与dl2处处保持垂直，则互感；若处处保持平行，则互感M值达到最大。因此，在电子电路中，如果需要增强两个线圈之间的耦合，应彼此平行放置；若要避免两个线圈相互耦合，则应相互垂直。此外，应注意互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的电流方向，但电感始终应为正值。实际上，由上面结果可以推知，若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链增加，互感应为正值；反之，若互磁通与原磁通方向相反时，则使磁通链减少，互感为负值。7/20/2023107/20/2023117/20/2023127/20/2023137/20/2023147/20/2023157/20/2023167/20/202317例1计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行，周围媒质为真空，如图示。abdrrD0I1I2zS2解建立圆柱坐标系，令z

轴方向与电流I1一致，则I1产生的磁感应强度为与线圈电流I2

交链的磁通链21为若线框电流如图所示的顺时针方向，则dS

与B1方向相同。那么7/20/202318求得互感M21为可见M21>0。这是因为当导线的电流向上，线圈电流为顺时针方向时，I2产生的磁通方向与互磁通方向相同，因此使电流的磁通链增加，M21为正。反之，若线圈电流为逆时针方向时，则B1与dS反向，M21为负。但在任何线性媒质中，M21=M12。例2计算载有直流电流的同轴线单位长度内的电感。解设同轴线内导体的半径为b，外半径为c，如图示。bcaO7/20/202319在同轴线中取出单位长度，沿长度方向形成一个矩形回路，内边宽度为a，外边宽度为（c－b），如左下图所示。bcrcbaOdrIIe现将同轴线中内外导体中的电流合并到矩形回路中，内导体中电流归并为矩形回路的内边电流，外导体中电流归并为矩形回路的外边电流。

同轴线单位长度的电感定义为

式中I为同轴线中的电流，是单位长度内与电流I交链的磁通链。由图可见，与电流I交链的磁通链由三部分磁通形成：外导体中的磁通，内外导体之间的磁通以及内导体中的磁通。但由于外导体通常很簿，穿过其内的磁通可以忽略。aIO7/20/202320已知内外导体之间的磁感应强度Bo为该磁场形成的磁通称为外磁通，以表示，则单位长度内的外磁通为该外磁通与电流I

完全交链，故外磁通与磁通链相等。又知内导体中的磁感应强度Bi

为这部分磁场形成的磁通称为内磁通，以表示。那么穿过宽度为dr的单位长度截面的内磁通d为7/20/202321但是这部分磁通仅与内导体中自内导体轴线位置0至r之间部分电流I'交链，而不是与总电流I

交链，因此，对于总电流I来说，这部分磁通折合成与总电流I形成的磁通链应为bcrcbaOdrIIe由此求得内导体中的磁场对总电流I提供的磁通链i为aIO7/20/202322那么，与总电流I

交链的总磁通链为（o+i），因此，同轴线的单位长度内电感为式中第一项称为外电感，第二项称为内电感。后面讨论时变电磁场时，同轴线的内外导体可以当作理想导电体，因而内外导电体中不可能存在时变电磁场。因此，当同轴线工作于时变电磁场时，内外导体中的磁通皆可忽略，只须考虑内外导体之间的磁通，同轴线单位长度内的电感等于外电感，即7/20/202323作业：P165:2、387/20/2023243.磁场的能量

已知穿过闭合回路的磁通发生变化时，在回路中产生感应电动势，因而回路中产生感应电流。此时，产生电流所需的能量是由外部磁场提供的。若在回路中加入外源，回路中产生电流。在电流建立过程中，回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长，为了克服反磁通产生的反电动势，以维持电流达到一定数值，外源必须作功。若电流变化非常缓慢，可以不考虑辐射损失，则外源输出的能量全部储藏在回路电流周围的磁场中。上述能量转换说明了磁场可在回路中产生电流，而外源又可向磁场提供能量。由此可见，磁场具有能量。根据外源在建立磁场过程中作的功即可计算磁场能量。7/20/202325设单个回路的电流从零开始逐渐缓慢地增加到最终值I，因而回路磁通也由零值逐渐缓慢地增加到最终值。已知回路中产生的反电动势等于回路磁通变化率的负值，即。因此，为了克服这个反电动势，外源必须在回路中产生的电压U=-，即若时刻t

回路中的电流为i(t)，则此时刻回路中的瞬时功率为在dt时间内外源作的功为

7/20/202326任一时刻单个回路的磁通链与回路电流的关系为，而单个回路电流的磁通链即是穿过回路的磁通，因此将此结果代入上式，同时考虑到在线性媒质中，回路电感L与电流i无关，求得dt时间内外源作的功为当回路电流增至最终值I时，外源作的总功W

为这个总功在回路中建立的电流为I，而该电流在其周围建立磁场。因电流增长很慢，辐射损失可以忽略，外源作的功完全转变为周围磁场的能量。7/20/202327若以Wm表示磁场能量，则电感为L，电流为I的回路具有的磁场能量为此式又可改写为由此可见，若已知回路电流及其磁场能量，那么利用上式计算电感十分方便。考虑到回路电感，则电流为I的单个回路周围的磁场能量又可表示为式中为与电流I

交链的磁通链。7/20/202328对N个回路，可令各个回路电流均以同一比例由零值缓慢地增加到最终值。根据能量守恒原理，最终的总能量应与建立过程无关，因此这样的假定是允许的。已知各回路磁通链与各个回路电流之间的关系是线性的，第j

个回路的磁通链j为因此，当各回路电流以同一比例增长时，各回路磁通链也以同一比例增加。设第j个回路在某一时刻t

的电流，式中Ij为电流最终值，

为比例系数，其范围为。那么，在dt

时间内，外源在

N

个回路中作的功为7/20/202329当各个回路电流均达到最终值时，外源作的总功W为由此求得具有最终值电流的N

个回路产生的磁场能量为即这样，若已知各个回路的电流及磁通链，由上式即可计算这些回路共同产生的磁场能量。

已知回路磁通可用矢量磁位A

表示为，因此第j个回路的磁通链也可用矢量磁位A

表示为7/20/202330那么，N个回路周围的磁场能量又可矢量磁位表示为式中A

为周围回路电流在第j个回路所在处产生的合成矢量磁位。若电流连续地分布在体积V

中，电流密度为J

，已知，则上式变为体积分，此时磁场能量可以表示为式中V

为体分布的电流密度J所占据的体积。若电流分布在表面S上，则产生的磁场能量为式中S

为面分布的电流密度所在的面积。7/20/202331磁场能量的分布密度已知，代入上式，得利用矢量恒等式，上式又可写为式中V

为电流所在的区域。显然，若将积分区域扩大到无限远处，上式仍然成立。令S为半径无限大的球面，则由高斯定理知，上式第一项的7/20/202332当电流分布在有限区域时，磁场强度与距离平方成反比，矢量磁位与距离一次方成反比，因此位于无限远处的面积分

再考虑到，求得式中V

为磁场所占据的整个空间。可见，上式中的被积函数即是磁场能量的分布密度。若以小写字母wm

表示磁场能量密度，则已知各向同性的线性媒质，，因此磁场能量密度又可表示为可见，磁场能量与磁场强度平方成正比，磁场能量也不符合叠加原理。7/20/202333例计算同轴线中单位长度内的磁场能量。设同轴线中通过的恒定电流为I

，内导体的半径为a，外导体的厚度可以忽略，其半径为b，内外导体之间为真空。解已知同轴线单位长度内的电感为因此，单位长度内同轴线中磁场能量为我们也可以通过磁场密度计算同轴线的磁场能量。已知内导体中的磁场强度为

7/20/202334因此内导体中单位长度内的磁场能量为又知内外导体之间的磁场强度H0为所以内外导体之间单位长度内的磁场能量为单位长度内同轴线的磁场能量应为，此结果与前式完全相同。已知，可见，通过磁场能量也可计算电感。7/20/2023354.磁场力

首先，讨论两个任意形状的电流回路之间的作用力。

dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1已知磁场对于电流元Idl的作用力，那么，由回路电流I1产生的磁场B1对于电流元I2dl的作用力dF21为又知电流I1产生的磁感应强度B1为因此，B1对于整个回路l2的作用力F21为7/20/202336同理可以求出回路电流I2产生的磁场B2对于整个回路l1的作用力F12为上述两式称为安培定律。7/20/202337根据牛顿定律得知，应该。这个结论也可直接由上式获得证明。已知回路电流分布，利用上述安培定律可以计算回路之间的磁场力。但是如果回路形状复杂，上述积分计算是很困难的，甚至无法求得严格的解析表达式。为了计算磁场力，类似计算电场力一样，也可采用虚位移方法，利用能量关系可以获得计算磁场力的简便方式。下面直接利用前述广义力和广义坐标的概念，导出计算磁场力的一般公式。7/20/202338

设在电流I1产生的磁场广义力F的作用下，使得回路l2的某一广义坐标变化的增量为dl，同时磁场能量的增量为dWm。那么，两个回路中的外源作的总功dW应该等于磁场广义力作的功与磁场能量的增量之和，即下面分为两种情况：

第一，若电流I1和I2不变，这种情况称为常电流系统，则那么，当两个回路的磁通链发生变化时，外源作的功分别为

7/20/202339由此可见，两个回路中的外源作的总功dW为求得常电流系统中的广义力F

为即第二，若各回路中的磁通链不变，即磁通未变，这种情况称为常磁通系统。由于各个回路的磁通未变，因此，各个回路位移过程中不会产生新的电动势，因而外源作的功为零，即那么，求得常磁通系统中广义力为7/20/202340注意，已规定广义力的方向为广义坐标的增加方向。因此，如果按照上述公式求得的广义力数值为负，则表明广义力的实际方向为广义坐标的减小方向。磁场力的应用比电场力更为广泛，而且力量更强。例如，电磁铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等，都是利用磁场力的作用。例1计算无限长的载流导线与矩形电流环之间的作用力。电流环的尺寸及位置如图示。abD0I1I2解利用虚位移方法，且