人教版2023年暑期新七年级预习课：第10课 从算式到方程（原卷+解析版）

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第10课从算式到方程

1、了解什么是方程、一元一次方程、方程的解；

2、体会从算式到方程（从算式到代数）是数学的一大进步；

3、会将实际问题抽象为数学问题，通过列方程解决问题；

4、理解等式的概念，掌握等式的性质，并会熟练运用其性质解决相关问题.

知识点1一元一次方程相关概念

1、方程必须满足两个条件:

(1)是等式;

(2)化简后含有未知数.

这两个条件必须同时满足,缺一不可.

【注意】

1）、方程是等式,但等式不一定是方程.如5+2=7是等式,但不含未知数,所以不是方程.

2）、方程是为了求解未知数,在未知数和已知数之间建立起来的等式关系.

3）、方程中的未知数可以用x表示,也可以用其他字母(如y,m等)表示.

4）、方程中的未知数的个数不一定是一个,也可以是两个或两个以上,如x+y=5.

2、一元一次方程的三个特征:

（1）等号的两边都是整式;

（2）只含有一个未知数(元);

（3）未知数的次数都是1.

【注意】

（1）一元一次方程必须是整式方程,即方程的分母中不能含有未知数,如就不是一元一次方程.

（2）要判断一个方程是不是一元一次方程,不能只看形式,首先要将:方程化简、整理,然后根据一元一次方程的三个特征进行判断,如:是一元一次方程.

2、一元一次方程的一般形式:(a≠0)

知识点2列一元一次方程

一般步骤例题

小红买了甲、乙两种圆珠笔共7支，一共用了9元.已知甲种圆珠笔每支1.5元，乙种圆珠笔每支1元，求甲、乙两种圆珠笔各买了多少支(只列方程)

第1步:设未知数.遇到简单问题时，一般求什么就设什么为x.解:设甲种圆珠笔买了x支，则乙种圆珠笔买了支.

第2步:分析题意,找等量关系.等量关系:买甲种圆珠笔用的钱数+买乙种圆珠笔用的钱数=9元.

第3步:把等号左右两边表示相等关系的量用含x的式子表示出来，即列方程.根据题意,列方程为.

【注意】

（1）在列方程时,一定要从问题中挖掘出“相等”“比×××大”;“比×××小”“增加”“减少”等词语,从中找出隐含的相等关系.

（2）设未知数可以直接设,也可以间接设.

知识点3解方程与方程的解

1、方程的解是数值,能使方程中等号的左右两边相等.解方程是过程,是求方程的解的过程.

【注意】

解方程和方程的解是两个不同的概念.

它们的区别在于:方程的解是求得的结果,它是一个(或几个)数值;解方程是求方程的解的过程.

2、检验一个数是不是一元一次方程的解

以判断是不是一元一次方程的解为例.

第1步:将已知数值分别代入一元一次方程的左右两边.将x=1分别代入方程的左右两边，得左边=2，右边=0;将分别代入方程的左右两边,得左边=-4，右边=-4.

第2步:若左右两边的值相等，则这个值是方程的解，否则不是.因为2≠0，所以x=1不是方程的解;因为，所以是方程的解.

【注意】

根据方程的解的定义可以检验一个未知数的取值是否为方程的解.

知识点4等式的性质

文字语言符号语言

等式的性质1等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等如果a=b,那么

等式的性质2│等式两边乘同一个数﹐或除以同一个不为0的数,结果仍相等如果a=b,那么;

如果a=b(c≠0),那么

【注意】

(1)同一种运算:等式的两边必须都进行同一种运算;

(2)同一个数(或式子):等式两边加或减的必须是同一个数(或式子),乘的必须是同一个数,除以的必须是同一个不为0的数.

知识点5利用等式的性质解简单的一元一次方程

解以x为未知数的方程,就是把方程逐步转化为x=a(常数)的形式，等式的性质是转化的重要依据.

现以解为例,说明用等式的性质解简单的一元一次方程的一般步骤:

步骤

第1步:利用等式的性质1，使一元一次方程变形成一边只有含未知数的项，另一边只有常数项(即kx=b）的形式.解：等式两边同时减去2得：

第2步:利用等式的性质2，将方程逐步转化成x=a(常数)的形式.等式两边同时除以（同时乘以）得：

【注意】

一般地,从方程解出未知数的值后,代入原方程,看这个值能否使方程的左右两边相等,即可确定一元一次方程的解是否正确.

知识点1一元一次方程相关概念

1．下列各式中属于方程的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】根据方程式的定义“既含有未知数又是等式”即可求解．

【详解】解：A、既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程，故本选项正确；

B、不含有未知数，不是方程，故本选项错误；

C、不是方程，故本选项错误；

D、是不等式，不是方程，故本选项错误．

故选：A．

【点睛】本题考查了方程的定义，熟记知识点是解题关键．

2．下列各式中，是一元一次方程的有（）

①；②；③；④；⑤.

A．4个B．3个C．2个D．1个

【答案】C

【分析】一元一次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此逐个判断即可．

【详解】解：在所给式子中，是一元一次方程的有③；⑤，共2个，

故选：C．

【点睛】本题考查一元一次方程的定义，理解一元一次方程的定义是解答的关键．

3．若关于的方程是一元一次方程，则m的值是（）

A．B．C．2D．4

【答案】B

【分析】根据一元一次方程的定义，，解得，且的系数不为零，结果为．

【详解】解：因为是一元一次方程，

则，，

所以．

故选：B

【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，未知数的次数为1，且系数不为0是解题的关键．

4．含有未知数的___________是方程，例如：．

【答案】等式

【分析】根据方程的概念即可解答．

【详解】含有未知数的等式是方程，

故答案为：等式．

【点睛】本题考查了方程的定义，属于应知应会题目，熟知方程的概念是关键．

5．下列式子中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦是方程的有_________，是一元一次方程的有________（填序号）．

【答案】①④⑤⑥⑦⑤⑦

【分析】含有未知数的等式叫做方程，只含有一个未知数，含未知数的项的次数都是1，两边都是整式的方程，叫做一元一次方程，根据方程的定义和一元一次方程的定义进行解答即可．

【详解】解：按照方程的定义，可知，①，④，⑤，⑥，⑦是方程，⑤，⑦是一元一次方程，

∴是方程的有①④⑤⑥⑦，是一元一次方程的有⑤⑦，

故答案为：①④⑤⑥⑦，⑤⑦

【点睛】此题考查了方程和一元一次方程，熟练掌握定义是解题的关键．

6．若关于的方程是一元一次方程，则的值是__________．

【答案】0

【分析】根据一元一次方程的定义求解，一元一次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是1；（2）一次项系数不为0，据此解答即可．

【详解】解：由题意得：，

则，

故答案为：0．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的概念，只有一个未知数且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程．

知识点2列一元一次方程

1．根据下面所给条件，能列出方程的是（）

A．一个数的是6B．x与1的差的

C．甲数的2倍与乙数的D．a与b的和的60%

【答案】A

【分析】根据题意列出方程或代数式，即可求解．

【详解】A.一个数的是6，设这个数为x，则有，是方程，故符合题意；

B.x与1的差的，根据题意列式为：，不是方程，故不符合题意；

C.甲数的2倍与乙数的，设甲数为x，乙数为y，根据题意可得：2x，y，不是方程，故不符合题意；

D.a与b的和的60％，根据题意列式为：，不是方程，故不符合题意，

故选A.

【点睛】本题考查了方程的定义，解题的关键是理解方程的定义，含有未知数的等式是方程．

2．根据“的倍与的和比的少”可列方程（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【分析】根据题意列出方程即可求解．

【详解】根据题意列方程：，

故选：D．

【点睛】本题考查了根据题意列方程，正确理解题意是解题关键．

3．根据“x与5的和的4倍比x的少2”列出的方程是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】仔细审题，x与5的和的4倍即是4（x+5），x的即是x，由此根据可列出方程．

【详解】解：由题意列方程式为：．

故选：C．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．

4．语句“x的3倍比y大7”用方程表示为：_____________．

【答案】

【分析】x的3倍即，比y大7，据此可得方程．

【详解】解：语句“x的3倍比y大7”用方程表示为：，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查列一元一次方程，理解等量关系是关键．

5．若比某数的相反数大2的数是8，设某数为x，可列方程为______．

【答案】

【分析】根据数学语言转化为等式即可得解．

【详解】解：设某数为x，根据题意得，．

故答案为：．

【点睛】本题考查了方程的定义，主要是对数学语言转化为等式的能力的考查．

6．已知长方形的长与宽分别为16、x，周长为40，根据条件，列出方程为_________．

【答案】

【分析】根据长方形的周长等于长与宽的和的2倍，即可求解．

【详解】解：根据题意得：．

故答案为：

【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，熟练掌握长方形的周长等于长与宽的和的2倍是解题的关键．

7．根据条件列方程：

(1)正方形的边长为2x，周长为50厘米；

(2)x的相反数减去3的差是x的2倍．

【答案】(1)4×2x＝50；

(2)﹣x﹣3＝2x．

【分析】（1）由正方形的周长公式列出方程；

（2）找到等量关系：x的相反数减去3的差＝x的2倍．

【详解】（1）根据题意得到：4×2x＝50；

（2）根据题意得到：﹣x﹣3＝2x．

【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找到等量关系．

知识点3解方程与方程的解

1．下列方程的解为的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】将代入各方程看等号是否成立即可．

【详解】解：A、左边右边，故此选项不符合题意；

B、左边右边，故此选项不符合题意；

C、左边右边，故此选项符合题意；

D、左边右边，故此选项不符合题意；

故答案选：C．

【点睛】本题考查一元一次方程的解，掌握验根的方法是解题的关键．

2．下列方程中，解为的是()

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】把分别代入各选项，即可做出判断．

【详解】解：A.当时，左边，右边3，左边右边，故该选项不正确，不符合题意；

B.当时，左边右边，左边右边，故该选项不正确，不符合题意；

C.当时，左边，右边，左边右边，故该选项不正确，不符合题意；

D.当时，左边，右边，左边右边，故该选项正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了方程的解的定义，是方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，熟知方程的解的定义是解题关键．

3．解为的方程是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】将代入各方程中，取方程左边方程右边的选项即可．

【详解】解：A.当时，方程左边，方程右边，，

方程左边方程右边，

不是方程的解；

B.当时，方程左边，方程右边，，

方程左边方程右边，

不是方程的解；

C.当时，方程左边，方程右边，，

方程左边方程右边，

是方程的解；

D.当时，方程左边，方程右边，，

方程左边方程右边，

不是方程的解．

故选：C．

【点睛】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．

4．若关于的方程的解是，则的值为______．

【答案】4

【分析】把代入到关于的方程中得到关于a的方程，解方程即可得到答案．

【详解】解：∵关于的方程的解是，

∴，

∴，

故答案为：4．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程解的定义，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．

5．检验下列方程后面括号里的数是不是方程的解．

（1）；

（2）；

【答案】（1）是，检验见解析；（2）不是，检验见解析

【分析】（1）把代入方程，看左右两边是否相等即可；

（2）把代入方程，看左右两边是否相等即可；

【详解】解：（1）当时，左边，

右边，即左边=右边，

所以是方程的解；

（2）当时，左边，

右边，左边右边，

所以不是方程的解．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，准确分析判断是解题的关键．

知识点4等式的性质

1．对等式进行变形，则下列等式成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据等式的性质逐项判断即可．

【详解】解：根据等式的性质2，给等式两边同乘以6，得，故选项B成立，选项A、C不成立，，

给等式两边同乘以2，得，故选项D不成立，

故选：B．

【点睛】本题考查等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质：等式的基本性质1：等式两边同时加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式；等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式．

2．已知，下列等式不一定成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根据等式的性质，逐项分析判断即可求解．

【详解】A.∵，∴，故该选项正确，不符合题意；

B.∵，∴，故该选项正确，不符合题意；

C.∵，∴，故该选项正确，不符合题意；

D.∵，且，∴，故该选项不正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．

3．下列各式的变形中，等式的性质运用正确的是（）

A．由，得B．由，得

C．由，得D．由，得

【答案】B

【分析】根据等式的性质：①等式两边同时加或减同一个数等式仍相等；②等式两边同时乘以或除以一个不为零的数等式仍成立；据此解答即可．

【详解】解：A、由，得，选项错误，不符合题意；

B、由，得，选项正确，符合题意；

C、由，得，选项错误，不符合题意；

D、由，得，选项错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的两个基本性质是解本题的关键．

4．若，则下列式子中正确的是（填序号）__________．

①，②，③，④．

【答案】①③④

【分析】根据等式的性质逐项判断即可求解．

【详解】解：根据等式性质1，两边都减2，即可得到，故①正确；

根据等式性质2，两边都乘以，即可得到，故②错误；

根据等式性质2，两边都乘以，即可得到，故③正确；

根据等式性质2，两边都乘，5，即可得到，再根据等式性质1，两边都减1，可得，故④正确；

故正确的是①③④．

故答案为：①③④

【点睛】本题考查了等式的性质，等式的性质1：等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式的两边同时乘以一个数或除以一个不为0的数，结果仍相等．熟知等式的两条性质是解题关键．

5．下列条件：①；②；③；④；⑤，其中根据等式的性质可以推导出的条件有_______（填序号即可）．

【答案】①②⑤

【分析】根据等式的性质：等式两边加同一个数）或式子）结果仍得等式;等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，由此即可求解．

【详解】，等式两边同时减2，得到，故①符合题意；

，等式两边同时除以，得到，故②符合题意；

，利用等式的性质不能得到，故③不符合题意；

，等式两边同时加1，得到，当时，可以得到；当时，不等得到，故④不符合题意；

，可以得出，等式两边同时乘以，得到，故⑤符合题意；

故答案为：①②⑤

【点睛】此题考查的是等式的性质，掌握其性质是解决此题的关键．

知识点5利用等式的性质解简单的一元一次方程

1．用等式的性质，将方程中未知数的系数化为“1”，得（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】根据等式的性质，两边都乘以即可．

【详解】解：，

两边都乘以，得．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了等式的性质，解决问题的关键是熟练掌握有理数的乘除运算．

2．将方程的两边同时__，得__；再将方程__的两边同时__，得__．

【答案】/加51212/除以43

【分析】根据等式的基本性质即可完成解答，等式的基本性质为：1、等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立。2、等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．

【详解】将方程的两边同时加5，得；再将方程12的两边同时除以4，得3．

解：

两边同时得：；

两边同时得：，

故答案为：；；3．

【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．

3．用等式性质解下列方程：

(1)

(2)．

【答案】(1)x=5

(2)

【分析】（1）利用等式的基本性质分别化简得出即可；

（2）利用等式的基本性质分别化简得出即可．

【详解】（1）解：

方程两边都加上7，得，即，

方程两边同时除以4得：；

（2）

方程两边都减去2，得，即，

方程两边都减去x，得，即，

方程两边同时除以2得：．

【点睛】本题考查了等式的基本性质的应用，解题的关键是掌握基本性质：等式两边加上（或减去）同一个数或同一个整式，结果仍是等式；等式两边加上（或减去）同一个数（除数不等于0），结果仍是等式．

4．利用等式的性质解方程：

(1)

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在等式的两边同时减去5；

（2）在等式的两边同时加上，然后再除以5即可．

【详解】（1）解：，

等式两边同减去5得：，

即；

（2）解：，

等式两边同加上得：，

等式两边同除以5得：．

【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．

5．用等式的性质解下列方程：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等式的两边都加或都减同一个数，结果仍是等式，等式的两边都除以同除以一个不为零的数，可得答案；

（2）根据等式的两边都乘以同一个不为零的数，结果仍是等式，可得答案．

【详解】（1）解：，

方程两边都减7，得，

方程两边都除以4，得．

（2）解：，

方程两边都乘以6，得，

∴．

【点睛】本题主要考查了等式的性质，利用了等式的性质解方程，解题的关键是熟练掌握等式的性质，等式两边同加上或减去一个整式等式仍然成立，等式两边同乘以或除以一个不为0的数等式仍然成立．

1．下列式子是方程的是（）

A．B．C．aD．

【答案】B

【分析】根据含有未知数的等式是方程求解即可．

【详解】解：A．，虽然含有未知数，但它不是等式，所以不是方程，故本选项不符合题意；

B．，含有未知数，且是等式，所以是方程，故本选项符合题意；

C．a，虽然含有未知数，但它是不等式，所以不是方程，故本选项不符合题意；

D．，虽然是等式，但它没含有未知数，所以不是方程，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】此题考查了方程的概念，解题的关键是熟练掌握方程的概念．

2．下列选项中是一元一次方程的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据一元一次方程的定义逐项判断即可．

【详解】解：A．是一个代数式，不是方程，故本选项不符合题意；

B．，符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意；

C．该方程中含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；

D．该方程中未知数的最高次数是2次，不是一元一次方程，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．

3．如果，那么根据等式的性质，下列变形正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】根据等式的性质即可得．

【详解】解：A、由得：，不能得出，则此项错误，不符合题意；

B、由得：，不能得出，则此项错误，不符合题意；

C、由得：，则，此项正确，符合题意；

D、由得：，不能得出，则此项错误，不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题关键．

4．根据条件，可以列出方程的是（）

A．一个数的是6B．a与1的差的

C．甲数的2倍与乙数的的和D．a与b的和的60%

【答案】A

【分析】可根据条件列出代数式，再根据方程的定义判断即可．

【详解】据题意列式：

A、x＝6；B、（a1）；C、2a＋b；D、60%（a＋b），

只有A是方程，

故选A．

【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解答此题的关键是列出代数式，再根据方程的定义判断．

5．已知关于x的方程的解是，则m的值是（）

A．2B．C．1D．

【答案】A

【分析】方程的解是，那么方程就变成了，这是一个关于的方程，求解m的值即可．

【详解】解：将代入方程可得，，

解得，

故选A．

【点睛】本题考查方程解的概念，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，熟练掌握其性质是解决此题的关键．

6．下列方程变形错误的是（）

A．由，得B．由，得

C．由，得D．由，得

【答案】B

【分析】等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等．根据等式的性质逐项分析判断即可．

【详解】解：A.由，得，变形正确，不符合题意；

B.由，得，故变形错误，符合题意；

C.由，得，变形正确，不符合题意；

D.由，得，变形正确，不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了等式的性质，理解并掌握等式的性质是解题关键．

7．如果方程是一元一次方程，则__________．

【答案】1

【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是（a，b是常数且）．

【详解】解：根据题意得：，

解得：．

故答案为：1．

【点睛】本题考查一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．

8．列等式表示：比的倍大的数等于的倍，得___________

【答案】

【分析】根据题意可直接进行求解．

【详解】解：由题意可列等式为；

故答案为．

【点睛】本题主要考查一元一次方程，解题的关键是理解题意．

9．若，则下列等式：①；②；③；④；⑤．其中正确的有_____．（填序号）

【答案】①②④

【分析】根据等式的性质，两边同时加上（减去）同一个数（或式子），等式仍成立；等式两边同时乘（或除以）以同一个数（式子，，不为零，数式子），等式仍成立；由此即可求解．

【详解】解：若，则下列等式：①；②；③，当时，分式不成立；④；⑤，当时，分式不成立其中正确的有①②④．

故答案为：①②④．

【点睛】本题主要靠考查等式的性质，掌握等式的加减乘除乘法法则，整式的化简求值是解题的关键．

10．已知关于x的方程的解为，则________．

【答案】

【分析】把代入方程，解方程即可求得．

【详解】解：把代入方程，得：

，

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了利用方程的解求参数，熟练掌握和运用利用方程的解求参数的方法是解决本题的关键．

11．在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据是等式的哪一条性质以及是怎样变形的．

（1）如果，那么_____，根据__________________________；

（2）如果，那么______，根据_________________________；

（3）如果，那么_____，根据_______________________；

（4）如果，那么_____，根据__________________．

【答案】等式的性质2，两边都乘等式的性质2，两边都乘；6等式的性质2，两边都乘3x等式的性质1，两边都减去3x

【分析】（1）根据等式的性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等即可得出答案．

（2）根据等式的性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等即可得出答案．

（3）根据等式的性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等即可得出答案．

（4）根据等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等，即可得出答案．

【详解】解：（1）如果，那么，根据等式的性质2，两边都乘；

（2）如果，那么，根据等式的性质2，两边都除以；

（3）如果，那么，等式的性质2，两边都乘；

（4）如果，那么，根据等式的性质1，两边都减去3x．

故答案为：，等式的性质2，两边都乘；，等式的性质2，两边都乘；6，等式的性质2，两边都乘；3x，等式的性质1，两边都减去3x．

【点睛】本题考查等式的基本性质．熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．

12．，各是下列哪个方程的解？

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】是方程（3）的解，是方程（1）的解，是方程（2）的解

【分析】将代入方程（3），使方程左右两边相等，即可判断；

将代入方程（1），使方程左右两边相等，即可判断；

将代入方程（2），使方程左右两边相等，即可判断．

【详解】解：将x＝3代入，左边＝22，右边＝，故不是方程的解；

将x＝3代入，左边＝10，右边＝，故不是方程的解；

将x＝3代入，左边＝7，右边＝7，故是方程的解；

将x＝0代入，左边＝7，右边＝7，故是方程的解；

将x＝0代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解；

将x＝0代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解；

将代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解；

将代入，左边＝，右边＝，故是方程的解；

将代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解；

是方程（3）的解，是方程（1）的解，是方程（2）的解．

【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程中等号左右两边相等的的未知数的值就是方程的解．

13．列等式表示：

（1）比a大5的数等于8；

（2）b的三分之一等于9；

（3）x的2倍与10的和等于18；

（4）x的三分之一减y的差等于6；

（5）比a的3倍大5的数等于a的4倍；

（6）比b的一半小7的数等于a与b的和．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）

【分析】（1）比a大5时，是加法算式，

（2）b的三分之一是b，

（3）x的2倍是2x，

（4）x的三分之一是x，

（5）a的3倍是3a，

（6）b的一半是b．

【详解】（1）依题意得a+5=8，

（2）依题意得b=9，

（3）依题意得2x+10=18，

（4）依题意得x-y=6

（5）依题意得3a+5=4a，

（6）依题意得b-7=a+b．

【点睛】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．

14．用等式的性质解下列方程：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等式的性质，方程两边同时减4，即可解得方程；

（2）利用等式的性质，方程两边同时加2，再同时除以4，即可解得方程．

【详解】（1）解：方程两边同时减4，可得，，

即；

（2）解：方程两边同时加2，可得，，

∴，

方程两边同时除以4，可得，．

【点睛】本题考查了等式的性质，正确运用等式的性质是解题的关键．

15．利用等式的性质解下列方程：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）；（2）；（3）x=-27．

【分析】（1）方程两边减7就得出x的值；

（2）两边同时除以-5，即可得出x的值；

（3）方程两边加5，最后两边同时乘以-，即可得出x的值．

【详解】解：（1）两边减7，得：．

于是x=19；

（2）两边除以，得：．

于是x=-4；

（3）两边加5，得：，

化简，得：，

两边乘，得：x=-27．

【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．

16．利用等式的性质解下列方程并检验：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】（1）利用等式的性质，两边加上5即可得到答案；

（2）两边除以0.3，系数化为1即可得到答案；

（3）两边减去4，即可得到答案；

（4）两边乘以4，去分母即可得到答案．

【详解】解：（1）两边加上5得：，

解得：，

经检验：左边右边，为方程的解；

（2）两边除以0.3，系数化为1得：，

经检验：左边右边，为方程的解；

（3）两边减去4得：，

两边除以5，系数化为1得：，

经检验：左边右边，为方程的解；

（4）两边乘以4，去分母得：，

两边减去8得：，

合并得：，

两边除以得：，

经检验：左边右边，为方程的解．

【点睛】本题考查了等式的性质，解题的关键是熟练等式的性质，左右加减同一个数，等式成立；左右乘上一个相同的数，等式成立；左右除以不为零的数，等式成立．中小学教育资源及组卷应用平台

第10课从算式到方程

1、了解什么是方程、一元一次方程、方程的解；

2、体会从算式到方程（从算式到代数）是数学的一大进步；

3、会将实际问题抽象为数学问题，通过列方程解决问题；

4、理解等式的概念，掌握等式的性质，并会熟练运用其性质解决相关问题.

知识点1一元一次方程相关概念

1、方程必须满足两个条件:

(1)是等式;

(2)化简后含有未知数.

这两个条件必须同时满足,缺一不可.

【注意】

1）、方程是等式,但等式不一定是方程.如5+2=7是等式,但不含未知数,所以不是方程.

2）、方程是为了求解未知数,在未知数和已知数之间建立起来的等式关系.

3）、方程中的未知数可以用x表示,也可以用其他字母(如y,m等)表示.

4）、方程中的未知数的个数不一定是一个,也可以是两个或两个以上,如x+y=5.

2、一元一次方程的三个特征:

（1）等号的两边都是整式;

（2）只含有一个未知数(元);

（3）未知数的次数都是1.

【注意】

（1）一元一次方程必须是整式方程,即方程的分母中不能含有未知数,如就不是一元一次方程.

（2）要判断一个方程是不是一元一次方程,不能只看形式,首先要将:方程化简、整理,然后根据一元一次方程的三个特征进行判断,如:是一元一次方程.

2、一元一次方程的一般形式:(a≠0)

知识点2列一元一次方程

一般步骤例题

小红买了甲、乙两种圆珠笔共7支，一共用了9元.已知甲种圆珠笔每支1.5元，乙种圆珠笔每支1元，求甲、乙两种圆珠笔各买了多少支(只列方程)

第1步:设未知数.遇到简单问题时，一般求什么就设什么为x.解:设甲种圆珠笔买了x支，则乙种圆珠笔买了支.

第2步:分析题意,找等量关系.等量关系:买甲种圆珠笔用的钱数+买乙种圆珠笔用的钱数=9元.

第3步:把等号左右两边表示相等关系的量用含x的式子表示出来，即列方程.根据题意,列方程为.

【注意】

（1）在列方程时,一定要从问题中挖掘出“相等”“比×××大”;“比×××小”“增加”“减少”等词语,从中找出隐含的相等关系.

（2）设未知数可以直接设,也可以间接设.

知识点3解方程与方程的解

1、方程的解是数值,能使方程中等号的左右两边相等.解方程是过程,是求方程的解的过程.

【注意】

解方程和方程的解是两个不同的概念.

它们的区别在于:方程的解是求得的结果,它是一个(或几个)数值;解方程是求方程的解的过程.

2、检验一个数是不是一元一次方程的解

以判断是不是一元一次方程的解为例.

第1步:将已知数值分别代入一元一次方程的左右两边.将x=1分别代入方程的左右两边，得左边=2，右边=0;将分别代入方程的左右两边,得左边=-4，右边=-4.

第2步:若左右两边的值相等，则这个值是方程的解，否则不是.因为2≠0，所以x=1不是方程的解;因为，所以是方程的解.

【注意】

根据方程的解的定义可以检验一个未知数的取值是否为方程的解.

知识点4等式的性质

文字语言符号语言

等式的性质1等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等如果a=b,那么

等式的性质2│等式两边乘同一个数﹐或除以同一个不为0的数,结果仍相等如果a=b,那么;

如果a=b(c≠0),那么

【注意】

(1)同一种运算:等式的两边必须都进行同一种运算;

(2)同一个数(或式子):等式两边加或减的必须是同一个数(或式子),乘的必须是同一个数,除以的必须是同一个不为0的数.

知识点5利用等式的性质解简单的一元一次方程

解以x为未知数的方程,就是把方程逐步转化为x=a(常数)的形式，等式的性质是转化的重要依据.

现以解为例,说明用等式的性质解简单的一元一次方程的一般步骤:

步骤

第1步:利用等式的性质1，使一元一次方程变形成一边只有含未知数的项，另一边只有常数项(即kx=b）的形式.解：等式两边同时减去2得：

第2步:利用等式的性质2，将方程逐步转化成x=a(常数)的形式.等式两边同时除以（同时乘以）得：

【注意】

一般地,从方程解出未知数的值后,代入原方程,看这个值能否使方程的左右两边相等,即可确定一元一次方程的解是否正确.

知识点1一元一次方程相关概念

1．下列各式中属于方程的是（）

A．B．C．D．

2．下列各式中，是一元一次方程的有（）

①；②；③；④；⑤.

A．4个B．3个C．2个D．1个

3．若关于的方程是一元一次方程，则m的值是（）

A．B．C．2D．4

4．含有未知数的___________是方程，例如：．

5．下列式子中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦是方程的有_________，是一元一次方程的有________（填序号）．

6．若关于的方程是一元一次方程，则的值是__________．

知识点2列一元一次方程

1．根据下面所给条件，能列出方程的是（）

A．一个数的是6B．x与1的差的

C．甲数的2倍与乙数的D．a与b的和的60%

2．根据“的倍与的和比的少”可列方程（）

A．B．

C．D．

3．根据“x与5的和的4倍比x的少2”列出的方程是（）

A．B．

C．D．

4．语句“x的3倍比y大7”用方程表示为：_____________．

5．若比某数的相反数大2的数是8，设某数为x，可列方程为