2010强化数学讲义第一章

第一节函

x1x2f(x1)f(x2判定：（1）定义：偶函数f(x) 奇函数f(x)f(x)是奇函数 f(x)是偶函数

f(xT(2）可导的周期函数其导函数为周期函数；(3）定义：若M0,xIf(xMf(x在I上有界。判定：（1）定义：f(x在(a,bf(a0)和f(b0)存在f(xf(x在区间I（有限）上有界f(x在I复合函题型一(A)[1, (B)[1,a(C) (D)[a1,解应选

2 e2(x)1e2(x)1(x (x1．3f(x)xx, g[f(x)]2

1xx1或xx x题型二1．4（A）xsin1在(0,) ；（B）当x0时

sin1x

xsintdt在(0,2010] ；（D）1sin1在(0,) 12排除法令f(x)1，则f(x)1 ，显然，f(x)和f(x)都在(0,1)内连续， 12令f(x) 12解令F(x) f(x), g2F(x单调减，由axb

故应选 （C）对任意的x(0,f(xf(0)（D）对任意的x(,0f(xf(0)解本题要用到一个常用的结论若f(x0)0 ，则存在0，当x(x0,x0)时 f(x)f(x0)；当x(x0,x0)时，f(x)f(x0).若f(x0)0有相应的结论.(利用导数定义注：本题选(A)f(x00. f(xx

x

xxx2x2sinf(0) x1 当x0f(x14xsin

2cos 取x ，则f(x)1210 取y ，则f(y)1 2n

2xnynx0x0的任何邻域内既存在的导数为正的点，也存在导数为负的点，则f(xx的任何邻域内都不单调增第二节极极限概

limaA：n

N(0,当nN时|anA|limf(x)

0,X(0,当|x|X时|f(xA|

f(xA

f(xA的定义与limf(xAlimf(x)A

f(x)limf(x)

0,(0,当0|xx0|时|f(xA|0000

limf(x)A f(x) f(x)

2。极限性有界性 收敛数列必有界有理运算性质 若limf(x) limf(x) (B 保号性：

limf(x)A0,limf(x)0limg(x)f(x)（1）A0,则存在,当xU(x0,f(x0limf(xAf(xA(x 其中lim(x1） 准则 若存在N，当nN时，ynxnzn， 4。无穷小1）无穷小量的概念:若limf(x)0x2)无穷小的比较:设lim(x0,lim(x0

f(x为无穷小量(xx0（1）lim(x0(xlim(x)C0等价：若lim(x)1；记为(x~无穷小的阶:若lim 1)

f(xf(x为xx0无穷大量与变量的关系 无穷大量变题型一1.80,1)NnN(A)充分条件但非必要条件 (B)必要条件但非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件解本题主要考查对数列xn收敛于a定义的理解.0，存在N0，当nNxna”这与本题中的说法是等 nlimcn(A)an 对任意n成立 (B)bn 对任意n成立(C)极限limancn不存在 (D)极限 不存在由limbn1limcn

知 故选

由题设条件可知limanlimbnlimcnN0nN

而不能得到对任意的n

若取a1，cn，显然lim 0，limc 而limaclimn nnn

n1.10x总有(xf(xg(x，且lim[g(x(x0lim(A)存在且等于于零 (B)存在但不一定为零(C)一定不存在 (D)不一定存在解令(x1

，g(x)11

limf(x)1(xx

，f(x)x，g(x)x1

(C)若x有界，则y必为无穷小 (D)若1为无穷小，则y必为无穷小x xn1若取

若取xn

n1若取xn1

，

n，显然（C）不正确故应选2由于y(xy1，x nxnlimylim(xy)lim 00n nnnn故应选是 1

f(xxnf(xn)2f(xarctan

xx

nf(x)

limf(x不存在，则（A）不正确令f(x)arctan limf(x)limarctann收敛，且f(x)arctann单调，但lim n题型二1.13 (x(21)4(11)65(11解原式=lim

(12x1.14lim3x23x83x7解法1原式 1.15

f(x)

sin2x2enxcosxxenx

，求lim f(x)sin

xx x limf(x)lim2cosx2，limf(x)limsin2x则

limf(x)2

limsinx1

1 lim(11)x1

limln(1x)

ax1ln

x

1.16limsinxln(12x解原式= x03x1 1xx=1ln32

2ln31.常用等价无穷 当x0时x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~exax1~xlna, 1cosx~12例1.17求极 解原式

sin2 13

43=limx22x

4 3 1.18limx2(axax1。(a 1 11原式limxax1axx1 xln ln 例1.19若limln(1f(x)sin5x) ，求lim 2x 解由于limln(1f(xsin5x) 2x且lim(2x1)0limln(1f(x)sin5x)0，limf(x)sin5x 当x0时ln(1f(xsin5x~f(xsin2x1~xlnlimf(x)sin5x lim5f(x)1，limf(x)ln2x0ln 1.20limnln

解原式lim

nlnnlnnln

1

ln)nln 方法4.法则若1）limf(xlimg(x limf(x存在（或xx0 limf(x) xx0 xx0注：洛比达法则可用来求七种类型不定式的极限，即00 0lim(f(x))g(xlimeg(x)lnf(x化为0，进一步化为或

解原式limsinxln(1tanx0ln(1tanx)sin (ln(1tanx)~xsinx~

sec2= 1tan =limsinxcosxsec2x

1.22

)1cosx1原式lime1cos lnarcsinx ln(1arcsinxx) lim x01cos 12=2 32

12 13211111 1

13x0=31原式

x)2对1型极限用以下由于arcsin由于arcsin 1arcsinx1cosx 1cos 而limarcsinxxlimarcsinx 12 31则原式sinx例1.23lim( xasin1原式lim(1

sinxsina

2cosx

2 因为lim lim x x2cosxax

=lim ,sin ~ cosx= 所以原式=ecota

x 1解法2原式 sinxsina1=

limsinxsinalimcos （ 法则 limsinxsinalim 日中值定理 limsinxsinacosacot （导数定义 1.24lim(ntg1)n2解原式lim1

1tannn tan1为求极限 n，我们考虑极tanx

sec2xlim

=limtan2xx0 1 原式 例1.25 e 解原式=lim = xe(1=1lim （令1t）e2x x11lim(1t)tee2t0 =1limee2t0=1lime

t

= lim =1lim1 =1lim1tet0

1~ t

f(n)(x0)(xx)n

特别是当x00f(x)f(0) f(0)x2

f(n)(0)xn

1.26若limxf(xsin6x0，则limf(x6 （A） （D） = =lim 6360 则lim 636 由limxf(xsin6xlim(xf(x6xsin6x6x 知limf(x6lim6xsin 61= 36 3由limxf(xsin6x0 当x0时.xf(xsin6xo(x3 xlim

6sin= =lim6xsin6x 4排除法 x

6sinlim =lim6xsin6x36 显然（A）（B）（D）均不正确，故应选例1.27 cosxe 2解ln(1x) 22 4cosx1x2 4

o(x e21 1x4o(x4

原式= 1x0x2[x2

1例1.28已

xf(0),f(0),f(0)解由lim(1x

f(x)x1lim1.x0x1 lim(xf(x))0，且limxf(x13 x即limf(x)x0而f(x)f(0) f(0)x2(x2)f(0) 由limf(x)x0 f(0)0，f(0)0，f(0)4由于limf(x)2

2则lim(1

1)x方法6利 1.292

n 原式3

例1.30求极限limnananan,其中a 解令maxaa1imnnanannnanan mn 原式=amax1im注：本题的结论是一个常用结论1 1.31设an

2

求lim显然an1n13n132n2 n12nn12n n12n则

lima

nn2nn7利用单调有界准则求极限

从而有

1

)2x(3

)2]333而xn1xn 3xn1 3知xn又x上有界，则limx存在，不妨设limx n n a a(3a)

，由此解得a3或a0（舍去2则limx n 6 6 6 例1.33设6 6 6

n

66666 6 知，a6解得a3，或a2 则lima3n2直接证明lima

n666a6

3

3

1a3 (n1n13则lima313

6

nn1）证明limxn2）计算2）计算lim( )n1 nnn从而有x0，即limx

xsinn n n

nsinx为此我们考虑极限

xsinx sinxx由于lim x2lim1 x0 x 1sinx

1且

3

2

则

e nn 故limn1x2n 故n

8利用定积分的定义例1.35 n n1

1解原式=

2 nnn1 1

1 1dxln(1x)1ln201 1.36求lim1n(n1)n2)(nn)解令yn limlnylim1[ln(n1)ln(n2) ln=lim1ln(11)ln(12)ln(1n

n则原式=e2ln21e例1.37求lim nn

sin nn

n解 sin n nn1sinnsinnsinnn1 1 1

sinsin2sin

nn1 nn1sinsin2sin n 1sinsin2sinnnn1 n=limn1sinsin2sinnnn1 n =lim1sinsin2sinn n= 原式=1.38若

0a2 解1

0a2 x0bcos x lim

ax01cos x ax01 2则a2,b1.39若

x2x1axb

求1原式lim

1a

xa 解法2a b

x2x1x2解(xn7x41)中最高次项为xn，由题设知nm1.即 m1n1则 limx[n1

1limx1

1)b

( n则n5,b 151.41设

0,求及 nn解 nn= n=

([1(11)]~nn =1limn则 1.42当x0ax211 1 a

1与1

解lim(1ax231lim3

2a x01 2则a2

例 把x 时的无穷小0

costdt，

tdt 0

(A) (C) (D)

0costk

lim (k=1时

2xtanx

kxk1

k=3时

sinx2

1

1=lim x0

(k=2时 2

cosx 2xtanx~2x

(x0(x0213 sinx2~1213

(x01.44若x0

sin2 00解由

0k=

sin20

xx 13 2 3x= 2sin5 3x

2k1k 322k15，即k93当x0

sin20

1例1.45已知x0时,ex2 解由ex21x2

4cos2x1

(xlim

2xlim 1

a1n43

第三节连1limf(xf(x0f(x在x0处0000

f(xf(x0f(x在x0f(xf(x0f(x在x0f(x)连续 跳跃间断点:左极限

使f()0。题型一讨论连例1.46设函数f(x) a

在(,)

f(x0 (A)a0,b (B)a0,b(C)a0,b (D)a0,b解由f(x)

在(,aebx0a0

f(x0limebx，则b0，故应选例 设f(x)和(x)在(,)上有定义 f(x)为连续函数，

1直接

2排除

xx都处处连续，则排除（A）（B）（C），故应选（ 1.48f(x

x1的连续性 间断点类型sin2解f(x)

x1x1x2k(k0,1,2sinx2xarctan 当x1时，f(10) x1

sin 2 f(10) x1则x1为跳跃间断点

sin 2 当x0时， x1 sin 2则x0为可去间断点当x2k(k1,2 x1

sin2ln例1．49求函数f(x) lnlnlimf(x) sinln

ln

x x0

x0x

x0ln

ln limf(x)lim sinxlim sinx