二次函数一般式练习题

二次函数一般式练习题

1、基础知识复习1、抛物线$y=ax^2+bx+c$的开口向上，对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是$(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$。当$x=-\frac{b}{2a}$，$y$最小$=-\frac{\Delta}{4a}$，当$x$趋近于正无穷，$y$随$x$的增大而增大；当$x$趋近于负无穷，$y$随$x$的增大而减小。2、用待定系数法求函数解析式。待定系数法求函数解析式步骤：设适当的二次函数关系式，即一般式：$y=ax^2+bx+c$或者顶点式$y=a(x-h)^2+k$或者交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$；根据已知信息，构建关于待定系数的方程；解方程组；把求出的待定系数的值代入所设的关系式。3、二次函数系数$a$，$b$，$c$及$\Delta$的几何意义$a$：控制抛物线开口方向，当$a>0$时，开口向上；当$a<0$时，开口向下。$b$：控制抛物线在$x$轴上的位置，当$b>0$时，抛物线向左平移；当$b<0$时，抛物线向右平移。$c$：控制抛物线在$y$轴上的位置，当$c>0$时，抛物线向上平移；当$c<0$时，抛物线向下平移。$\Delta=b^2-4ac$：判断抛物线与$x$轴的交点个数和位置，当$\Delta>0$时，抛物线与$x$轴有两个交点；当$\Delta=0$时，抛物线与$x$轴有一个交点；当$\Delta<0$时，抛物线与$x$轴没有交点。二、培优练习题1、二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像如图所示，则下列结论正确的是（D）。A.$a>0$，$b<0$，$c>$B.$a<0$，$b<0$，$c<$C.$a<0$，$b>0$，$c<$D.$a<0$，$b>0$，$c>$2、已知正比例函数$y=kx$的图像如右图所示，则二次函数$y=2kx^2-x+k^2$的图像大致为（B）。3、抛物线$y=-2x^2-4x-5$经过平移得到$y=-2x$，平移方法是（A）。A.向左平移1个单位，再向下平移3个单位B.向左平移1个单位，再向上平移3个单位C.向右平移1个单位，再向下平移3个单位D.向右平移1个单位，再向上平移3个单位4、小明从右边的二次函数$y=ax^2+bx+c$图像中，观察得出了下面的五条信息：①$a<0$，②$c>0$，③函数的最小值为$-3$，④当$x<0$时，$y>0$，⑤当$x_1<x<x_2$时，$y_1>y_2$。正确的个数为（C）。A.2B.3C.4D.55、二次函数$y=2x^2+2xy+2y^2-32x$对于$x$的任何值都恒为负值的条件是（B）。A.$a>0$，$\Delta>0$B.$a<0$，$\Delta<0$C.$a>0$，$\Delta<0$D.$a<0$，$\Delta>0$6、已知二次函数$y=(m-1)x^2+2mx+3m-2$，则当$m=2$时，其最大值为$16$。7、二次函数$y=2x^2+bx+c$的顶点坐标是$(1,-2)$，则$b=-4$，$c=0$。8、若二次函数$y=2x^2+4x+c$的图像的顶点在$x$轴上，则$c=0$。9、已知抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(1,-2)$，过点$(2,1)$，则$a=-1$，$b=2$，$c=-3$。11、已知二次函数的图像与x轴交于A(-2,0)、B(3,0)两点，且函数有最大值是2。（1）求二次函数的解析式；（2）设该二次函数的顶点为P，求△ABP的面积。解：（1）由已知可知，该二次函数的开口向上，对称轴为x=-0.5，设该二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c，则代入已知条件得到-2a+b+c=03a+b+c=0a<0a(-0.5)^2+b(-0.5)+c=2解以上方程组，得到a=-1，b=1，c=0，因此该二次函数的解析式为y=-x^2+x。（2）由已知可知，P的横坐标为0.5，纵坐标为2，因此P的坐标为(0.5,2)。△ABP的底为5，高为2.5，因此△ABP的面积为6.25。12、已知抛物线y=x^2-2x+a的顶点A在直线y=-x+3上，直线y=-x+3与x轴的交点为B点，点O为直角坐标系的原点，则b和c的值分别是什么？解：由已知可知，顶点A的横坐标为1，纵坐标为4-a。因为A在直线y=-x+3上，所以1^2-2*1+a=-1+3，解得a=3。因为直线y=-x+3与x轴的交点为B点，所以B的坐标为(3,0)。因为O是原点，所以O的坐标为(0,0)。因此，抛物线的解析式为y=x^2-2x+3，b=-2，c=3。13、已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点在点(1,-2)上，且经过点(3,0)，求a、b、c的值。解：由已知可知，抛物线的顶点为(1,-2)，因此1是抛物线的对称轴。因为抛物线经过点(3,0)，所以3是抛物线的一个零点。因为对称轴为x=1，所以另一个零点为-1。因此，抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+1)，代入经过点(3,0)的条件，得到-8a=0，解得a=0。因此，抛物线的解析式为y=b(x-1)^2-2，代入经过点(3,0)的条件，得到4b-2=0，解得b=0.5。因此，抛物线的解析式为y=0.5(x-1)^2-2，代入顶点的坐标，得到c=-2.5。14、已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像过点(1,3)，且经过点(2,1)，求a、b、c的值。解：由已知可知，代入经过点(1,3)和(2,1)的条件，得到a+b+c=34a+2b+c=1解以上方程组，得到a=-2，b=7，c=-2。因此，二次函数的解析式为y=-2x^2+7x-2。15、已知抛物线y=ax^2+bx+c过点(0,-1)与点(3,2)，顶点在直线y=3x-3上，a<0，求此二次函数的解析式。解：由已知可知，抛物线的顶点在直线y=3x-3上，因此顶点的坐标为(1,0)。因为抛物线过点(0,-1)和点(3,2)，所以代入这两个点的坐标得到c=-19a+3b+c=2解得a=-1/3，b=2。因此，抛物线的解析式为y=-1/3x^2+2x-1。16、某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，若行车道总宽度AB为6m，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到0.1m）。解：设抛物线的解析式为y=ax^2，由于抛物线过原点，所以c=0。设长方形的长为l，宽为w，则l+w=6。因为要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少有0.5m，所以抛物线的顶点高度为0.5。因为抛物线的顶点在长方形的中心，所以抛