初中几何中线段和差的最大值与最小值练习题(最全)

初中几何中线段和差的最大值与最小值练习题(最全)

初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值基本图形解析：一）已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小。（1）点A、B在直线m两侧：在直线m上找到点P使得PA=PB，则PA+PB最小。（2）点A、B在直线同侧：在直线m上找到点A'，使得A'是关于直线m的对称点，再找到点P使得PA'+PB最小，则PA+PB最小。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：在直线m上找到点A'，使得A'是关于直线m的对称点，在直线n上找到点B'，使得B'是关于直线n的对称点，再找到点P和Q，使得PA'+PQ+QB'最小，则PA+PQ+QB最小。（2）一个点在内侧，一个点在外侧：在直线m上找到点P，使其与A点连线垂直直线m，再在直线n上找到点Q，使其与B点连线垂直直线n，使PA+PQ+QB最小。（3）两个点都在内侧：在直线m上找到点A'，使得A'是关于直线m的对称点，在直线n上找到点B'，使得B'是关于直线n的对称点，再找到点P和Q，使得PA'+PQ+QB'最小，则PA+PQ+QB最小。（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短。在直线m上找到点A'，使得A'是关于直线m的对称点，在直线n上找到点B'，使得B'是关于直线n的对称点，连接A'和B'，交直线m和n于D和E，使ADEB为矩形，则ADEB周长最短。变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短。在直线m上找到点A'，使得A'是关于直线m的对称点，连接AA'，在直线n上找到点Q，使得A'Q垂直直线n，连接AQ，使得PA+PQ+QA最小。二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小。1、两点在直线两侧：在直线m上找到点P，使得PA=PB，则PA+PB最小。2、两点在直线同侧：在直线m上找到点A'，使得A'是关于直线m的对称点，再找到点P，使得PA'+PB最小，则PA+PB最小。（二）动点在圆上运动点B在圆O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小。1、点与圆在直线两侧：在圆O上找到点B'，使得OB'垂直直线m，连接PB'，在直线m上找到点P'，使得P'B'垂直直线m，连接P'A，使得PA+PB最小。2、点与圆在直线同侧：在圆O上找到点B'，使得OB'垂直直线m，连接PB'，在直线m上找到点P，使PA'+PB最小，则PA+PB最小。三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧：在直线m上找到点C，使得AC∥m且AC长等于PQ长，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）点A、B在直线m同侧：在直线m上找到点E，使得AE=EB，连接EA和EB，交直线m于P，再连接PA和PB，交直线m于Q，此时P、Q即为所求的点。练习题1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值。在直线OA上找到点Q，使得OQ垂直OA，在直线OB上找到点R，使得OR垂直OB，在直线OB上找到点P，使得OP=OQ+OR-10，则PQR周长最小。2、在锐角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=45°，平分线AD交BC于点D，M和N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值。3、在锐角三角形ABC中，AB=52，∠BAC=45°，平分线AD交BC于点D，M和N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值。4、在等边三角形ABC中，边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上的一点，且AE=2，求EM+CM的最小值。5、在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上的一个动点，求使PC+PD最小的PB的长度。6、在等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，求PA+PB的最小值。7、在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，求PE+PB的最小值。8、在菱形ABCD中，两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，求PM+PN的最小值。9、在高为12cm，底面周长为18cm的圆柱形玻璃杯内，离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离。10、在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，求PK+QK的最小值。11、在正方形ABCD中，边长为2，E为AB的中点，P是AC上的一动点，求PB+PE的最小值。12、在正方形ABCD中，边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，求DN+MN的最小值。13、在正方形ABCD中，边长为2，∠DAC的平分线交DC于点E，点P、Q分别是AD和AE上的动点，求DQ+PQ的最小值。14、在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上的一动点，连接PB、PQ，求△PBQ周长的最小值。15、在圆心为O，半径为2的圆⊙O上，点A、B、C满足OA⊥OB且∠AOC=60°，P是OB上的一动点，求PA+PC的最小值。1、如图9，已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=k/x在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，且三角形OAM的面积为1。（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小。2、如图，一元二次方程x^2+2x-3=0的二根x1，x2（x1<x2）是抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）。（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标。3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，a），△AOB的面积是b。（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。4、如图，抛物线y=x^2-x+3和y轴的交点为A，M为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长。5、如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D。将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F。（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标。6.已知平面直角坐标系上的点A(2,-3)和点B(4,-1)，点C(a,0)和点D(a+3,0)在x轴上移动。求当a为何值时，四边形ABDC的周长最短。7.在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=3，OB=4，D为边OB的中点。(1)若E为边OA上的一个动点，求使△CDE的周长最小时点E的坐标。(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，求使四边形CDEF的周长最小时点E、F的坐标。二、求两线段差的最大值问题（运用三角形两边之差小于第三边）基本图形解析：1.在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大。(1)点A、B在直线m同侧：A---P'---B|P解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P'A-P'B<AB，而PA-PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。(2)点A、B在直线m异侧：A---B'---P'---P---B解析：过B作关于直线m的对称点B'，连接AB'交点直线m于P，此时PB=PB'，PA-PB最大值为AB'。练习题：1.如图，抛物线y=-x^2-x+2的顶点为A，与y轴交于点B。(1)求点A、点B的坐标。(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB。(3)当PA-PB最大时，求点P的坐标。2.如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=(1/2)x^2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1,0)。(1)求该抛物线的解析式。(2)求直线DE的解析式。(3)在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM-MC|的值最大，求出点M的坐标。3.在直角坐标系中，点A(-4,-1)和点B(-2,-5)，点P是y轴上的一个动点。(1)求点P在何处时，PA+PB的和为最小？并求最小值。(2)求点P在何处时，|PA-PB|最大？并求最大值。4.如图，直线y=-3x+2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O，直线BC交⊙A于点D。(1)求点D的坐标。2、过抛物线的三点O，C，D作抛物线，是否存在对称轴上的点P，使得线段PO与PD之差的值最大？如果存在，请求出这个最大值和点P的坐标。如果不存在，请说明理由。抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，交x轴于点A和B，交y轴于点C。⑴在对称轴上是否存在一点P，使得△APC周长最小？如果存在，求出它的坐标。⑵在对称轴上是否存在一点Q，使得|QB-QC|的值最大？如果存在，请求出它的坐标。已知OC=3，BC=2，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO。（1）试直接写出点D的坐标。（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP。①如果以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，请求出点P的坐标。②在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO-TB|的值最大？已知抛物线C1的解析式为y=-x²+2x+8，图象与y轴交于点D，并且顶点A在双曲线上。（1）求过顶点A的双曲线解析式。（2）如果开口向上的抛物线C2与C1的形状、大小完全相同，并且C2的顶点P始终在C1上，证明：抛物线C2一定经过A点。（3）设（2）中的抛物线C2的对称轴PF与x轴交于点F，且与双曲线交于点E，当D、O、E、F四点组成的四边形的面积为16.5时，先求出点P的坐标，然后在直线y=x上求一点M，使得|MD-MP|的值最大。已知抛物线经过点A(3,0)和B(0,4)。（1）求该抛物线的解析式。（2）如果抛物线与x轴的另一交点为C，求点C关于直线AB的对称点C'的坐标。（3）如果点D是第二象限内的点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H，问在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PH-PA|的值最大？如果存在，请求出该最大值；如果不存在，请说明理由。3、解决线段之和问题的基本依据是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的原理进行求解。1、在直角三角形△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上。当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动。求点B到原点的最大距离，选项为A.222，B.25，C.26，D.6。2、已知在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD。探究以下问题：（1）当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，求CD的长度；（2）当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，求CD的长度；（3）当∠ACB变化且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的∠ACB的度数。3、在直角三角形△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=1，点D在边AC上（不与A、C重合），连结BD，F为BD中点。问题如下：（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，设CF=kEF，求k的值；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值。4、如图，