辽宁省沈阳市第六十七中学2022年高二数学文联考试题含解析

辽宁省沈阳市第六十七中学2022年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=BC=1，BB1=2，则异面直线A1B和AD1所成角的余弦值为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】连结，可证明是平行四边形，则，故的余弦值即为异面直线和所成角的余弦值，利用余弦定理可得结果.【详解】连结，由题得，故是平行四边形，，则的余弦值即为所求，由，可得，，故有，解得，故选D.2.若方程mx2+（m+1）x+m=0有两个不相等的实根，则实数m的取值范围是（）A．m＞0B．﹣＜m＜1C．﹣＜m＜0或0＜m＜1D．不确定参考答案：C略3.设，，则满足条件，的动点P的变化范围（图中阴影部分含边界）是

(

）参考答案：A4.抛物线的准线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足=，则﹣S（）A．2 B．4 C．1 D．﹣1参考答案：A【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】通过已知条件，写出双曲线方程，结合已知等式及平面几何知识得出点M是△F1PF2的内心，利用三角形面积计算公式计算即可．【解答】解：∵椭圆方程为+=1，∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），∴双曲线方程为，设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0），∵=，∴=，整理得：=5，化简得：5x=12y﹣15，又∵，∴5﹣4y2=20，解得：y=或y=（舍），∴P（3，），∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0，∴点M到直线PF1的距离d==1，易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心．故﹣===2，故选：A．6.定义运算=ad﹣bc，则符合条件=0的复数对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．C第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算．【分析】利用新定义可得关于z的等式，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得得答案．【解答】解：由题意可得：=z（2i）﹣（﹣i）（1+i）=0，即，∴，则复数对应的点的坐标为（），在第二象限．故选：B．7.给出下列说法：①命题“若，则”的否命题是假命题；②命题，使＞1，则，≤1；③“”是“函数为偶函数”的充要条件；④命题“，使”，命题“在△ABC中，若＞，则A＞B”，那么命题为真命题。其中正确的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B8.“”是“”的

条件.参考答案：充分不必要9.数列是正项等比数列，是等差数列，且，则有（

）A．

B． C．

D．大小不确定参考答案：A10.不等式对恒成立，则的取值范围是 A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数表示除以2的余数，表示除以3的余数，则对任意的，给出以下式子：①②③④，其中正确式子的编号为

参考答案：③④略12.将二进制数化为十进制数，结果为__________参考答案：4513.已知实数x，y满足，则目标函数的最大值是 .参考答案：5由约束条件作出可行域如图，联立．化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为5．故答案为：5.

14.原点到直线的距离_________________．参考答案：略15.设函数，观察：，，，，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N+且n≥2时，fn（x）=f（fn﹣1（x））=．参考答案：考点：归纳推理．专题：探究型．分析：题目给出的前四个等式的特点是，左边依次为f1（x），f2（x），f3（x）…，右边都是单项式，且分子都是x，分母是左边的“f”的右下角码乘以x加1，由此规律可得出正确结论．解答： 解：由题目给出的四个等式发现，每一个等式的右边都是一个单项式，分子都是x，分母是等式左边的“f”的右下角码乘以x加1，据此可以归纳为：fn（x）=f（fn﹣1（x））=．故答案为．点评：本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理，此题是基础题．16.下列集合A到集合B的对应f中：①A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方；②A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方；③A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数；

④A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值，是从集合A到集合B的函数的为________．参考答案：①其中②，由于1的开方数不唯一，因此f不是A到B的函数；其中③，A中的元素0在B中没有对应元素；其中④，A中的元素0在B中没有对应元素．17.若函数的定义域是则函数的定义域是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.甲、乙两班进行“一带一路”知识竞赛，每班出3人组成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分.(1)求的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.参考答案：（1）；（2）.【分析】(1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，计算得到答案.(2)甲队和乙队得分之和为4，则甲可以得1,2,3分三种情况，计算其概率，再根据条件概率公式得到结果，【详解】(1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故.(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A，甲队比乙队得分高为事件B.设乙队得分为η，则η～

，，，，

，，，∴所求概率为.【点睛】本题考查了概率的计算和条件概率，意在考查学生的计算能力.19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离；二面角的平面角及求法．【分析】解法一（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，通过得出?=0，证出PC⊥AD．（2）求出平面PCD，平面PCD的一个法向量，利用两法向量夹角求解．（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，利用cos＜＞=cos30°=，得出关于h的方程求解即可．解法二：（1）通过证明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD．（2）作AH⊥PC于点H，连接DH，∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△DAH中求解（3）因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得出关于h的方程求解即可．【解答】解法一：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣，，0），P（0，0，2）．（1）证明：易得=（0，1，﹣2），=（2，0，0），于是?=0，所以PC⊥AD．（2）解：=（0，1，﹣2），=（2，﹣1，0），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则即取z=1，则以=（1，2，1）．又平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），于是cos＜＞==，sin＜＞=所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得=（，﹣，h）．由=（2，﹣1，0），故cos＜＞===所以=cos30°=，解得h=，即AE=．解法二：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以PC⊥AD．（2）解：如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH=，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH==，因此sin∠AHD==．所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．（3）解：如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在RT△DAC中，CD=，sin∠ADC=，故sin∠AFB=．在△AFB中，由，AB=，sin∠FAB=sin135°=，可得BF=，由余弦定理，BF2=AB2+AF2﹣2ABAFcos∠FAB，得出AF=，设AE=h，在RT△EAF中，EF==，在RT△BAE中，BE==，在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得到，cos30°=，解得h=，即AE=．20.数列满足，.（I）求数列的通项公式；（II）记，数列的前项和是，证明：.参考答案：略21.选修4—5：不等式选讲设函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若对恒成立，求a的取值范围。参考答案：（1）等价于或或，解得或。故不等式的解集为。（2）因为：，所以：。由题意得：，解得或。22.已知函数f（x）=alnx+ax2+bx，（a，b∈R）．（1）设a=1，f（x）在x=1处的切线过点（2，6），求b的值；（2）设b=a2+2，求函数f（x）在区间[1，4]上的最大值；（3）定义：一般的，设函数g（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使g（x0）=x0成立，则称x0为函数g（x）的不动点．设a＞0，试问当函数f（x）有两个不同的不动点时，这两个不动点能否同时也是函数f（x）的极值点？参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由题意a=1，f（x）在x=1处的切线过点（2，6），利用导数函数的几何性质求解b的值；（2）b=a2+2，求函数f（x），求其导函数，讨论在区间[1，4]上的最大值；（3）根据函数g（x）的不动点新定义，求其f（x）定义域，当a＞0时，g（x0）=x0讨论函数f（x）有两个不同的不动点；同时求函数f（x）的极值点，即可知道两个不动点能否同时也是函数f（x）的极值点．【解答】解：（1）对f（x）进行求导：f'（x）=+2ax+b当a=1时，f（x）=lnx+x2+bx，f'（x）=+2x+b当x=1时，f（1）=1+b，f'（1）=3+b故切线方程为：y﹣（1+b）=（3+b）（x﹣1）点（2，6）满足切线方程，故b=1．（2）由题意，f（x）=alnx+ax2+（a2+2）x，x＞0则：f'（x）=+2ax+a2+2=当a=0时，f（x）=2x，f'（x）=2＞0，f（x）在[1，4]上为增函数，故最大值为f（4）=8；当a＞0时，f'（x）＞0，f（x）在x＞0上为增函数，故最大值为f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；当a＜0时，令f'（x）=0，则导函数有两个零点：x1=﹣，x2=﹣．（i）当a＜时，∵，∴x1＜x2，

f（x）在（0，﹣），（﹣，+∞）上单调递减，在（﹣，﹣）上单调递增；①当﹣＜＜1＜4≤﹣时，即a≤﹣8，此时最大值为f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；②当﹣＜＜1＜﹣≤4时，即﹣8≤a＜﹣2，此时最大值为f（﹣）=aln（﹣）﹣﹣a；③当＜＜≤1＜4时，即﹣2≤a＜﹣，此时最大值为f（1）=a2+a+2；（ii）当a=﹣时，，f'（x）≤0，f（x）在[1，4]上单调递减，最大值为f（1）=4﹣；（iii）当﹣＜a＜0时，，∴x1＞x2f（x）在（0，﹣），（﹣，+∞）上单调递减，（﹣，﹣）上单调递增；①当时，即≤a＜0，最大值为f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；②当﹣＜＜1＜﹣≤4时，即﹣1＜a≤，最大值为f（﹣）=aln（﹣）﹣a﹣；③当﹣＜＜﹣≤1＜4时，即﹣＜a≤﹣1，最大值为f（1）=a2+a+2；（3）由题意知：f（x）=?由①②化简后：alnx﹣a﹣ax2