北京165中学2022年高三数学理期末试卷含解析

北京165中学2022年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过点且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为（

）（A）

（B）

（C）或

（D）或参考答案：D若直线过原点，设直线方程为，把点代入得，此时直线为，即。若直线不经过原点，在设直线方程为，即。把点代入得，所以直线方程为，即，所以选D.2.若某几何体的三视图如图1所示，则此几何体的表面积是 （

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.与命题“若则”的等价的命题是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则参考答案：答案：D4.已知为等差数列的前项和,若,,则的值为(

)A.

B.

C.

D.4参考答案：A5.若直线y＝0的倾斜角为α，则α的值是(

)A.0 B. C. D.不存在参考答案：A6.若点不在不等式组表示的平面区域内，则实数的取值范围是

A.

B.

C.

D.

参考答案：B【考点】线性规划【试题解析】由题知：点（2，-3）在直线下方。

即所以a>-1．7.若集合，集合，则A∩B等于（

）A．(1,3)

B．(－∞,－1)

C．(－1,1)

D．(－3,1)参考答案：C8.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是………………（）A． B. C． D.参考答案：A试题分析：B项在定义域上不是单调的，D项不具备奇偶性，C项是增函数，只有A项满足条件，故选A.考点：函数的奇偶性，函数的单调性.9.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A.

B.4

C.2

D.参考答案：B10.，点列的部分图象如图所示，则实数a的值为

（

）

A．1

B．

C．

D．

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f（x）=lg（x2﹣x）﹣lg（x﹣1）．且f（x0）=2．则x0=．参考答案：100【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】f（x0）=2，?lg（x02﹣x0）﹣lg（x0﹣1）=2.，且，解得x0，【解答】解：f（x0）=2，?lg（x02﹣x0）﹣lg（x0﹣1）=2，∴且，解得x0=100，经检验符合题意．故答案为：100．12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则俯视图的面积为

▲

cm2，该几何体的体积为

▲

cm3．参考答案：6，8； 13.直线直线则m的值为

．参考答案：

-3或214.函数的单调递减区间是

．参考答案：答案：（3，+∞）15.若不等式＜6的解集为（﹣1，+∞），则实数a等于．参考答案：﹣4【考点】二阶行列式的定义；其他不等式的解法．【分析】利用行列式的定义，求出行列式的值，得到不等式，然后求解即可．【解答】解：不等式＜6化为：ax+2＜6，即ax＜4，因为不等式的解集为（﹣1，+∞），所以a=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查行列式的解法，不等式的解法，考查计算能力．16.已知，若，则的夹角为

参考答案：17.已知数列的通项公式为，若此数列为单调递增数列，则实数的取值范围是____________．参考答案：【知识点】数列的性质

D1a＞﹣3解析：∵an=n2+n，∴an+1=（n+1）2+（n+1）∵an是递增数列，∴（n+1）2+（n+1）﹣n2﹣n＞0化简可得2n+1+＞0∴＞﹣2n﹣1，对于任意正整数n都成立，∴＞﹣3【思路点拨】由题意可得an+1=（n+1）2+（n+1），要满足为递增需数列an+1﹣an＞0，化简可得＞﹣2n﹣1，只需求出﹣2n﹣1的最大值即可．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数的图象，且点M到边OA距离为t（0＜t＜2）．（I）当时，求直路l所在的直线方程；（Ⅱ）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？参考答案：解：（I）∵，∴y′=﹣x，∴过点M（）的切线的斜率为﹣t，所以，过点M的切线方程为，即．当t=时，切线l的方程为．即当时，直路l所在的直线方程为；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令x=2，得y=，故切线l与线段BC交点为G（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，设其面积为f（t），∴==（0＜t＜2）．，∴当t∈（0，）时，f′（t）＞0，f（t）为单调增函数，当t∈时，f′（t）＜0，f（t）为单调减函数．∴当t=时，f（t）的极大值（最大值）为．∴当点M到边OA距离为米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为平方米．略19.如图所示，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若轴上，且，点C在x轴上移动.

（Ⅰ）求点B的轨迹E的方程；

（Ⅱ）过点的直线l与曲线E交于P、Q两点，设N（0，a）（a<0），

的夹角为，若恒成立，求a的取值范围；

（III）设以点N为圆心，以为半径的圆与曲线E在第一象限的交点为H，若圆在点H处的切线与曲线E在点H处的切线互相垂直，求a的值.参考答案：解析：（I）的中点

…………2分

……4分（II）设直线l的方程为

…………6分

…………9分

…………10分

（III）由题意知，NH是曲丝C的切线，设H

…………14分解得a=1或a=

∵a<0

20.（14分）已知函数且)

(1)若且在上存在单调递增区间,求的取值范围

(2)已知存在实数满足,是否存在实数使在处的切线斜率为0,若存在,求出一组实数否则说明理由。参考答案：解：(1)当时

在上存在单调递增区间,即在上存在区间使

①时,是开口向上的抛物线

显然在上存在区间使即适合

②时,是开口向下的抛物线,要使在上存在区间则在有一解或两解，即

或或无解，又

综合得用分离变量的方法求解也可以。(2)不存在实数满足条件事实上,由得：而且故不存在实数满足条件略21.已知函数（1）若，且在上单调递增，求实数的取值范围（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）；（2）实数是存在的，且.试题分析：（1）原题等价于在时恒成立，即恒成立，分离参数得，只需求得函数在区间值域即可；假设存在这样的实数，则在时恒成立，且可以取到等号故，即从而这样的实数必须为正实数，当时，由上面的讨论知在上递增，，此时不合题意，故这样的必须满足，此时：令得的增区间为令得的减区间为故整理得即，设，则上式即为，构造，则等价于由于为增函数，为减函数，故为增函数观察知，故等价于，与之对应的综上符合条件的实数是存在的，且考点：利用导函数研究函数的单调性；存在性问题；恒成立问题.【名师点睛】对恒成立与存在性问题有三种思路，思路1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数），则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数范围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解；思路3：分类讨论.22.已知函数．（Ⅰ）当时，求在区间上的最值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，有恒成立，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）当时，，∴．∵的定义域为，∴由得．---------------------------2分∴在区间上的最值只可能在取到，而，∴．

---------------------------4分（Ⅱ）．①当，即时，在单调递减；-------------5分②当时，在单调递增；

----------------6分③当时，由得或（舍去）∴在单调递增，在上单调递减；

--------------------8分综上，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减．当时，在单调递减；

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