安徽省宣城市宁国县中学2021-2022学年高三数学文联考试卷含解析

安徽省宣城市宁国县中学2021-2022学年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（

）A．72

B．96

C．108

D．144参考答案：C2.定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩?RB=（）A．（1，+∞） B．[0，1] C．[0，1） D．[0，2）参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中f（x）=，得到2x﹣1≥0，即2x≥1=20，解得：x≥0，即A=[0，+∞），由2x+2＞2，得到y=log2（2x+2）＞1，即B=（1，+∞），∵全集为R，∴?RB=（﹣∞，1]，则A∩?RB=[0，1]．故选：B．3.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A． B． C．3 D．2参考答案：A【考点】K4：椭圆的简单性质；HR：余弦定理；KC：双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos=（r1）2+（r2）2﹣r1r2，由，得，∴=，令m===，当时，m，∴，即的最大值为，法3：设PF1|=m，|PF2|=n，则，则a1+a2=m，则=，由正弦定理得=，即=sin（120°﹣θ）≤=故选：A【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．4.函数的图像大致是(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：A函数的定义域为，当时，，当时，，当时，，综上可知选A.5.设集合，，则集合A∩B=（）A.(0,1] B.(0,1) C.(1,2) D.[1,2)参考答案：A【分析】求解出集合B，根据交集定义求得结果.【详解】

本题正确选项:6.已知双曲线的一个顶点到渐近线的距离为，则C的离心率为（

）A. B. C.2 D.4参考答案：B【分析】由条件，，及，解方程组可得.【详解】由题意，，到双曲线其中一条渐近线方程的距离，得，，，，选B．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的离心率计算，一般由条件建立a,b,c的关系式，结合隐含条件求离心率.考查运算求解能力，属于基本题.7.若复数的共轭复数是，其中i为虚数单位，则点（a，b）为

A.（一1.2）B.（－2，1)

C.（1，－2）D.（2，一1）参考答案：B，故选B8.若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣2，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=x+z由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最小，此时最小值为﹣2，即y﹣x=﹣2，则x﹣y﹣2=0，当y=0时，x=2，即A（2，0），同时A也在直线kx﹣y+2=0上，代入解得k=﹣1，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．本题主要考查的难点在于对应的区域为线段．9.等差数列的前n项和为，若，则等于（

）A.52

B.54

C.56

D.58参考答案：A10.某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A． B．

C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则

.参考答案：12.在平行四边形ABCD中，，，，E为CD的中点，若F是线段BC上一动点，则的取值范围是________参考答案：分析：设，用表示出题中所涉及的向量，得出关于的函数，根据的范围，结合二次函数的性质求得结果.详解：根据题意，设，则，结合二次函数的性质，可知当时取得最小值，当时取得最大值，故答案是.点睛：该题是有关向量的数量积的范围问题，在解题的过程中，需要提炼题的条件，将其转化为已知向量的数量积的问题，之后应用公式，求得关于的函数关系，之后转化为二次函数在某个闭区间上的值域问题来求解.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在△BCD内运动（含边界），设，则的取值范围是

.参考答案：略14.用符号表示小于的最大整数，如，有下列命题：①若函数，则的值域为；②若，则方程有三个根；③若数列是等差数列，则数列也是等差数列；④若，则的概率为.则下列正确命题的序号是______________.参考答案：①②④试题分析：由定义,所以其值域为,故①正确；由于,因此可求得,所以②正确；对于③,如取数列成等差数列,但不成等差数列；对于④很容易验证是正确的.故应填①②④.考点：函数的性质及分析问题解决问题的能力．【易错点晴】本题以符号函数为背景，考查的是函数与方程、等差数列和等比数列、概率等许多有关知识和运算求解及推理判断的能力.定义新概念运用新信息是解答本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,对题设中提供的几个命题进行分析推断最后作出真假命题的判断.对于命题,举出一个反例,进行了推断从而说明它是假命题.运用反例是否定一个命题是真命题的有效方式和方法.15.已知a，b∈R，a2﹣2ab+5b2=4，则a+b的取值范围为

．参考答案：考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：设a+b=t，得b=t﹣a，代入a2﹣2ab+5b2=4后化为关于a的一元二次方程，由a有实根得判别式大于等于0，转化为关于t的不等式得答案．解答： 解：设a+b=t，则b=t﹣a，代入a2﹣2ab+5b2=4，得a2﹣2a（t﹣a）+5（t﹣a）2﹣4=0，整理得：8a2﹣12at+5t2﹣4=0．由△=（﹣12t）2﹣32（5t2﹣4）≥0，得t2≤8．即．∴a+b的取值范围为．故答案为：．点评：本题给出关于正数a、b的等式，求a+b的最小值．考查了利用换元法和一元二次方程有实根求解参数范围问题，考查数学转化思想方法，属于中档题．16.（5分）（2014秋?衡阳县校级月考）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则sin（+α）=．参考答案：【考点】：同角三角函数间的基本关系；任意角的三角函数的定义．【专题】：三角函数的求值．【分析】：利用任意角的三角函数的定义可求得cosα=﹣，再利用诱导公式即可求得答案．解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴cosα==﹣，∴sin（+α）=cosα=﹣，故答案为：．【点评】：本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．17.若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．参考答案：（1，2]【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+logax≥4，即logax≥1，故有loga2≥1，由此求得a的范围，综合可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥4．当x＞2时，由f（x）=3+logax≥4，∴logax≥1，∴loga2≥1，∴1＜a≤2．综上可得，1＜a≤2，故答案为：（1，2]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)在公差不为的等差数列中，，且，，成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和公式.参考答案：（Ⅰ）设数列的公差为，又，可得，，．

由，，成等比数列得，即，整理得，解得或．由,可得．，所以．

…6分（Ⅱ）由，，可得.所以．因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列．

所以的前项和公式为．………12分19.（本题满分12分）已知向量（）,,，（Ⅰ）若为某锐角三角形的内角，证明：不可能互相垂直；（Ⅱ）若三点共线，求的值.参考答案：（1）假设，则即而为锐角三角形的内角，（矛盾），所以假设不成立，即若为某锐角三角形的内角，则不可能互相垂直；

---6分（Ⅱ），由三点共线，得∥.所以，化简得，所以.

---12分20.（本小题满分13分）为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”，“街舞”，“动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表：（单位：人）社团相关人数抽取人数模拟联合国24街舞183动漫1话剧12

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若从“模拟联合国”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率．参考答案：（Ⅰ）由表可知抽取比例为，故，，………3分（Ⅱ）设“模拟联合国”4人分别为A1，A2，A3，A4；“话剧”2人分别为B1，B2.则从中任选2人的所有基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15个．

…………9分其中2人分别来自这两个社团的基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，共8个．………12分所以这2人分别来自这两个社团的概率P＝.

………13分21.为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元（假设这100名农民工的月工资均在[25,55]（百元）内）且月工资收入在[45,50)（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：，其中．0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828

参考答案：（Ⅰ），；（Ⅱ）不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关【分析】（Ⅰ）根据频数计算出月工资收入在（百元）内的频率，利用频率总和为和频率分布直方图估计中位数的方法可构造出关于的方程组，解方程组求得结果；（Ⅱ）根据题意得到列联表，从而计算出，从而得到结论.【详解】（Ⅰ）月工资收入在（百元）内的人数为月工资收入在（百元）内的频率为：；由频率分布直方图得：化简得：……①由中位数可得：化简得：……②由①②解得：，（Ⅱ）根据题意得到列联表：

技术工非技术工总计月工资不高于平均数月工资高于平均数总计

不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关【点睛】本题考查频率分布直方图中频率和中位数的计算、独立性检验解决实际问题，考查基础运算能力，属于常规题型.

22.如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=3，F为线段DE上的动点．（Ⅰ）若F为DE的中点，求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）若二面角E﹣BC﹣F与二面角F﹣BC﹣D的大小相等，求DF长．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；向量语言表述线面的垂直、平行关系；二面角的平面角及求法．【分析】（I）连接AC，BD交于O，连OF，利用三角形的中位线平行于底边得到OF∥BE，利用直线与平面平行的判定定理得证．（II）法一：利用二面角的平面角的定义，通过作辅助线，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质找出二面角E﹣BC﹣D的平面角与二面角F﹣BC﹣D的平面角，利用已知条件得到线段的长度关系．法