湖南省邵阳市五四中学2021年高二数学理月考试卷含解析

湖南省邵阳市五四中学2021年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a<13的概率是

A.

B.

C.

D.参考答案：B2.已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列结论一定成立的是（）A．a2＜b2 B．a3＜b3 C．＞ D．ac2＜bc2参考答案：B【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】A．取a=﹣3，b=﹣2，即可判断出正误；B．令f（x）=x3，（x∈R），利用导数研究其单调性即可判断出正误C．取a=﹣2，b=1，即可判断出正误；D．取c=0，即可判断出正误．【解答】解：A．取a=﹣3，b=﹣2，不成立；B．令f（x）=x3，（x∈R），f′（x）=3x2≥0，∴函数f（x）在R上单调递增，又a＜b，∴a3＜b3，因此正确；C．取a=﹣2，b=1，不正确；D．取c=0，不正确．故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.已知F1，F2是椭圆E：与双曲线E2的公共焦点，P是E1，E2在第一象限内的交点，若，则E2的离心率是（

）A．3

B．2

C．

D．参考答案：B4.要从10名女生与5名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则符合按性别比例分层抽样的概率为（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：C略5.把“二进制”数化为“五进制”数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C无6.已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（

）

（A）

（B）6

（C）

（D）12参考答案：C7.如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.有以下四个命题，其中正确的是（

）A.由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，若某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理成绩优秀B.两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0C.在线性回归方程中，当变量x每增加一个单位时，变量平均增加0.2个单位D.线性回归方程对应的直线至少经过样本数据点中的一个点参考答案：C对于A.有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指“不出错的概率”，

不是“数学成绩优秀，物理成绩就有99%的可能优秀”，A错误；对于B，根据随机变量的相关系数知，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，B错误；对于C.根据线性回归方程的系数知，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，C正确；对于D.线性回归方程对应的直线过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故D错误；故选C．9.以双曲线的离心率为半径、右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切．则m=（

）A. B. C. D.参考答案：B【详解】注意到．渐近线方程为，即．右焦点到渐近线距离为．从而．故答案为：B10.抛物线y2=2x的焦点到直线x﹣y=0的距离是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的方程，求得焦点坐标，根据点到直线的距离公式，即可求得答案．【解答】解：抛物线y2=2x的焦点F（，0），由点到直线的距离公式可知：F到直线x﹣y=0的距离d==，故答案选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正三棱锥的体积为，高为3cm，则它的侧面积为

cm2．参考答案：设正三棱锥底面三角形的边长为，则，底面等边三角形的高为，底面中心到一边的距离为，侧面的斜高为，.

12.过点（0，3），且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是

。参考答案：

略13.不等式的解集是为

参考答案：（-2,1）14.已知二次函数的顶点坐标为，且的两个实根之差等于，

参考答案：15.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；

②整数集是数域；③若有理数集QM,则数集M必为数域;

④数域必为无限集.其中正确的命题的序号是

.（把你认为正确的命题的序号都填上）参考答案：①④16.已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为

．参考答案：考查更为一般的问题：设P为椭圆C:上的动点，为椭圆的两个焦点，为△PF1F2的内心，求点I的轨迹方程．解法一：如图，设内切圆I与F1F2的切点为H，半径为r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，则.直线IF1与IF2的斜率之积：，而根据海伦公式，有△PF1F2的面积为因此有.再根据椭圆的斜率积定义，可得I点的轨迹是以F1F2为长轴，离心率e满足的椭圆，其标准方程为.解法二：令，则．三角形PF1F2的面积：，其中r为内切圆的半径，解得.另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：从而有．消去θ得到点I的轨迹方程为：.本题中：，代入上式可得轨迹方程为：.17.在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是

.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知函数（I)当时，讨论的单调性； (Ⅱ)设当时，若对任意，存在，使，求实数n的取值范围．参考答案：（1）令，当时，，令令在是减函数，在是增函数；当时，，当时，，在是减函数，在是增函数；当时，，在，是减函数，在是增函数；综上可知：当时，在是减函数，在是增函数；当时，在，是减函数，在是增函数；

………8分(2)当时，在是减函数，在上是增函数，对任意，有又已知存在，使，所以，即存在，使，

，即.

………12分19.某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2019年足球世界杯比赛的情况，从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查，情况如下表:

打算观看不打算观看女生20b男生c25

（1）求出表中数据b，c；（2）判断是否有99%的把握认为观看2019年足球世界杯比赛与性别有关；（3）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的．现有问题：在打算观看2019年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，现从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率．0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.879

附：.参考答案：（1）b=30,c=50（2）有99%的把握,(3)试题分析：（1）由分层抽样的概念得到参数值；（2）根据公式计算得到，再下结论；（3）根据古典概型的计算公式，列出事件的所有可能性，再得到4男一女的事件数目，做商即可.解析：（1）根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以b=50-20=30(人)，

c=75-25=50(人)（2）因为，所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关.（3）设5名男生分别为A、B、C、D、E，2名女生分别为a、b，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，其中一男一女，所有可能的结果有{A,B}{A,C}{A,D}{A,E}{A,a}{A,b}{B,C}{B,D}{B,E}{B,a}{B,b}{C,D}{C,E}{C,a}{C,b}{D,E}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b}{a,b}，共21种，其中恰为一男一女的包括，{A,a}{A,b}{B,a}{B,b}{C,a}{C,b}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b},共10种.因此所求概率为20.某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量（单位：Kg）,分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99；乙：110,115,90,85,75,115,110。（1）这种抽样方法是那一种方法？（2）试计算甲、乙车间产品重量的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？参考答案：解：（Ⅰ）采用的方法是：系统抽样。（Ⅱ）；；；，故甲车间产品比较稳定。21.设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0），若函数y=f（x）在x=1处与直线y=﹣1相切．（1）求实数a，b的值；（2）求函数y=f（x）在上的最小值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，通过f（1）=﹣1，f′（1）=0，求出a，b的值即可；（2）求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出f（x）的最小值即可．【解答】解：（1）…，∵函数y=f（x）在x=1处与直线y=﹣1相切．∴…，解得：a=2，b=1…，（2）由（1）得，．令f（x）=0，∵x＞0，∴x=1…，当，∴x=1为函数y=f（x）的极大值点，…，又，f（e）=2﹣e2＜﹣1，∴f（x）min=f（e）=2﹣e2．…22.设数列{an}满足，，.（1）求数列{a