2021年安徽省黄山市田家炳实验中学高三数学理模拟试题含解析

2021年安徽省黄山市田家炳实验中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，那么输出的S为(

)A．3 B． C． D．﹣2参考答案：C【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．解：如图所示的程序框图是当型循环结构，进行循环体之前S=3，k=1第一次循环后：S=，k=2第二次循环后：S=，k=3第三次循环后：S=﹣2，k=4第四次循环后：S=3，k=5…则S的值以4为周期，呈周期性变化当k=2010时，S=，满足进行循环的条件第2010次循环后，S=，k=2011，不满足进行循环的条件故输出的S值为故选：C【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，其中分析出S值变化的周期性是解答的关键．2.已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：B3.若全集，，则=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略4.已知集合M=，集合为自然对数的底数），则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.已知向量．若为实数，，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：略6.设，不等式的解集是，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.在椭圆上有两个动点P，Q，E（3,0）为定点，EP⊥EQ，则最小值为（

）A.6

B.

C.9

D.参考答案：A设，则有，因为EP⊥EQ，所以，即，因为，所以当时，取得最小值6，故选择A。考点：向量、解析几何、二次函数在给定区间上的最值。8.若函数f（x）=sinx﹣kx存在极值，则实数k的取值范围是(

)A．（﹣1，1） B．[0，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】求f（x）的导函数，利用导数为0时左右符号不同的规律，求出k的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=sinx﹣kx，∴f′（x）=cosx﹣k，当k≥1时，f′（x）≤0，∴f（x）是定义域上的减函数，无极值；当k≤﹣1时，f′（x）≥0，∴f（x）是定义域上的增函数，无极值；当﹣1＜k＜1时，令f′（x）=0，得cosx=k，从而确定x的值，使f（x）在定义域内存在极值；∴实数k的取值范围是（﹣1，1）．故选：A．【点评】本题考查了导数知识的运用与函数的极值问题，也考查了一定的计算能力，是中档题．9.下列命题正确的个数为(

)①已知，则的范围是；②若不等式对满足的所有m都成立，则x的范围是；③如果正数满足，则的取值范围是④大小关系是A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：【知识点】命题的真假判断与应用．A2【答案解析】B

解析：①令3x﹣y=z，作出可行域和直线l：y=3x，可知当直线y=3x﹣z过点A（0，﹣1）（直线x+y=﹣1与x﹣y=1的交点）时，z有最小值1，当直线过点B（2，﹣1）（直线x﹣y=3与直线x+y=1的交点）时，z有最大值7，故3x﹣y的范围是[1，7]，故①正确；②原不等式可整理为（x2﹣1）m﹣2x+1＜0，令f（m）=（x2﹣1）m﹣2x+1，∵不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）对满足|m|≤2的所有m都成立∴，解得，即＜x＜，故②正确；③∵正数a，b且满足ab=a+b+3，∴ab=a+b+3≥2+3，∴≥4，∴﹣1≤﹣2（舍），或﹣1≥2，∴ab≥9，即ab的范围是[9，+∞），故③错误；④因为对数的底数小于1，而真数大于1，故对数值为负，即a＜0，b＜0，由指数函数可知c＞0，故④错误．故正确答案为：①②．故选：B．【思路点拨】①借助线性规划的知识可解得；②变m为主元，利用恒成立可求得x的范围；③借助基本不等式可得ab的范围；④借助指对数函数的单调性可判断大小．10.函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则

．参考答案：

12.设,,则的值是

▲

.参考答案：【知识点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正切．C2C6

【答案解析】解析：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣，则tan2α===．故答案为：【思路点拨】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．13.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．参考答案：130

15【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,元时,李明得到的金额为,符合要求.元时,有恒成立,即,即元.所以的最大值为.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质?数学的应用意识?数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.14.圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程为．参考答案：（x﹣1）2+（y+4）2=8【考点】圆的标准方程．【分析】设出圆心坐标，利用直线与圆相切，求出x的值，然后求出半径，即可得到圆的方程．【解答】解：设圆心O为（x，﹣4x）kop=kL=﹣1又相切∴kop?kL=﹣1∴x=1∴O（1，﹣4）r==所以所求圆方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8．故答案为：（x﹣1）2+（y+4）2=8．【点评】本题是基础题，考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，考查计算能力．15.双曲线﹣y2=1的焦距是

，渐近线方程是

．参考答案：2,y=±x.【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．16.cos=

．参考答案：【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：cos=cos（3π﹣）=﹣cos=．故答案为：【点评】本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题．17.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与C交于P1，P2两点．（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）已知Q（3，0），求||P1Q|﹣|P2Q||的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程转化为ρ2=4ρcosθ，由能求出曲线C的直角坐标方程，直线l消去参数t得能求出直线l的直角坐标方程．（2）将直线l的参数方程代入x2+y2=4x，得：，再由点Q（3，0）在圆C的内部，能求出||P1Q|﹣|P2Q||的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，由得x2+y2=4x，即C的直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2=4，∵直线l的参数方程为：（t为参数），∴直线l消去参数t得直线l的普通方程为：．（2）将直线l的参数方程代入x2+y2=4x，得：，设P1，P2的对应参数分别为t1，t2，∴，而（3﹣2）2+02＜4，即点Q（3，0）在圆C的内部，∴．【点评】本题考查曲线的直线坐标方程、直线的普通方程的求法，考查两线段的之差的绝对值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直线坐标互化公式的合理运用．19.（本小题满分12分）如图，抛物线：与椭圆：在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点作直线交于、两点，求面积的最小值．参考答案：(Ⅰ)因为的面积为,所以，……………2分代入椭圆方程得，抛物线的方程是：

……………6分(Ⅱ)直线斜率不存在时，；直线斜率存在时，设直线方程为，带入抛物线，得，综上最小值为.

……………12分20.（本小题满分13分）设椭圆的离心率，短轴的一个端点与两焦点构成的三角形的面积为，O为坐标原点.（I）求椭圆C的方程；（II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值..参考答案：

21.在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为（θ为参数），已知以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α（ρ≥0）（注：本题限定：ρ≥0，θ∈[0，2π））（1）把椭圆C的参数方程化为极坐标方程；（2）设射线l与椭圆C相交于点A，然后再把射线l逆时针90°，得到射线OB与椭圆C相交于点B，试确定是否为定值，若为定值求出此定值，若不为定值请说明理由．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）椭圆C的参数方程为（θ为参数），利用三角函数基本关系式可得：椭圆C的普通方程．把代入直角坐标方程可得极坐标方程．（2）由（1）得椭圆的极坐标方程可化为．由已知可得：在极坐标下，可设，分别代入中：可得，．即可得出．【解答】解：（1）∵椭圆C的参数方程为（θ为参数），∴椭圆C的普通方程为．把代入直角坐标方程可得：，化为：ρ2+ρ2sin2θ=2．（2）由（1）得椭圆的极坐标方程可化为，由已知可得：在极坐标下，可设，分别代入中：有，，∴，．则即．故为定值．22.矩阵与变换