自动控制原理(梅晓榕)3课件

第三章控制系统的时域分析方法

3.1引言

3.1.1典型输入信号1.阶跃函数2.斜坡函数3.加速度函数4.正弦函数5.单位脉冲函数与单位冲激函数单位冲激函数的性质3.1.2单位冲激响应输入信号R(s),输出信号C(s),传递函数G(s)对取拉氏反变换，由卷积定理可得3.1.3系统的时间响应根据拉氏变换理论，C(s)的极点与c(t)有下述关系

输入信号是R(s),输出信号是C(s),零初始条件有C(s)=G(s)R(s)与传递函数极点对应的输出称为瞬态响应，与输入信号极点对应的输出称为稳态响应。传递函数零点不形成新的模态，但影响模态前的系数。系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入响应的导数；系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入响应的积分。。

极点运动模态实数单极点m重实数极点σ一对复数极点σ+jωm重复数极点σ+jω

3.1.4时间响应的性能指标1）上升时间；2）峰值时间；3）最大超调（量）4）过渡过程时间5）振荡次数N3.2一阶系统时域分析输入信号r(t)与输出信号c(t)的关系用一阶微分方程表示的称为一阶系统常见的温度控制系统和液压控制系统中的控制对象都是一阶系统。3.2.1一阶系统的单位阶跃响应设r(t)=1(t),R(s)=1/s。于是有单位阶跃响应的典型数值

T为时间常数，1/T为初始斜率3.2.2一阶系统的单位斜坡响应令r(t)=t,则有可求得输出信号的拉氏变换式系统的误差信号ｅ(t)为3.2.3单位冲激响应单位冲激响应中只有瞬态响应。3.3二阶系统的时域分析

3.3.1二阶系统的典型形式典型形式1.欠阻尼（0<ζ<1）2.临界阻尼（ζ=1）3.过阻尼（ζ>1）4.无阻尼（ζ=0）

3.3.2二阶系统的单位阶跃响应令r(t)=1(t),则有R(s)=1/s1.欠阻尼状态（0<ζ<1）2.无阻尼状态（ζ=0）3.临界阻尼（ζ=1）4.过阻尼（ζ>1）3.3.3二阶欠阻尼系统的动态性能指标1.上升时间的计算2.峰值时间的计算

3.最大超调（量）的计算4.过渡过程时间的计算5.振荡次数N的计算3.3.4二阶系统的计算举例例3-3-1例3-3-2要求系统性能指标为例3-3-3根据过渡过程曲线确定质量M、黏性摩差系数f和弹簧刚度K的值。3.3.5二阶系统的单位冲激响应3.3.6二阶系统的单位斜坡响应3.3.7初始条件不为零时二阶系统的时间响应3.4高阶系统的时间响应概述高于二阶的系统称高阶系统。数字仿真是分析高阶系统时间响应最有效的方法。高阶系统时间响应可分为稳态分量和瞬态分量。1)瞬态分量的各个运动模态衰减的快慢取决于对应的极点和虚轴的距离。2)各模态所对应的系数和初相角取决于零、极点的分布。3)系统的零点和极点共同决定了系统响应曲线的形状。4)对系统响应起主要作用的极点称为主导极点。5)非零初始条件时的响应由零初始条件时的响应和零输入响应组成。3.5控制系统的稳定性

3.5.1稳定的概念力学系统中，外力为零时，位移保持不变的位置称平衡位置。平衡位置的稳定性取决于外力为零时，系统能否从偏离平衡位置处自行返回到原平衡位置。悬挂的摆，垂直位置是稳定平衡位置。倒立的摆，垂直位置是不稳定平衡位置。控制系统中所有的输入信号为零，而系统输出信号保持不变的点（位置）称为平衡点（位置）。取平衡点时系统的输出信号为零。控制系统所有输入信号为零时，在非零初始条件作用下，如果系统的输出信号随时间的推移而趋于零（即系统能够自行返回到原平衡点），则称系统是稳定的。否则不稳。3.5.2线性定常系统稳定的充分必要条件线性定常系统稳定的充分必要条件：线性定常系统稳定的充分必要条件是，系统闭环极点（特征根）全都具有负实部，全都分布在[s]平面左半部。推论与说明1.线性系统的稳定性是本身固有特性，与外界输入信号无关。2.稳定的系统，单位冲激响应及输出信号中的瞬态分量都趋于零。3.实际物理系统不稳定时，变量往往形成大幅值的等幅振荡，或趋于最大值。4.有实部为零（位于虚轴上）的极点，其余极点都具有负实部，称临界稳定。工程上临界稳定为不稳定。3.5.3劳思稳定判据对方程的系数做简单计算，可确定正实部根的个数，判定系统稳定性。系统特征方程稳定的必要条件：特征方程不缺项，所有系数均为正值。劳思表

劳思稳定判据劳思表其中等系数按下列公式计算结论：系统稳定的充要条件是：劳思表第一列各项元素均为正数。方程中实部为正数的根的个数是第一列元素符号改变次数。

例3-5-1根据特征方程判断稳定性。解：列劳思表第一列元素符号改变两次，有两个正实部根，系统不稳定。例3-3-2已知系统框图，确定使系统稳定的K的取值范围。解闭环传递函数和特征方程为特殊情况1.劳思表任一行中第一个元素为零，其余元素不全为零。列劳思表时用一个小正数代替零元素继续列表。例如系统的特征方程为第一列元素符号改变两次，有两个正实部根，系统不稳定。2.劳思表任一行中所有元素均为零。此时方程中有一对大小相等、符号相反的实根，或一对纯虚根，或对称于s平面原点的共轭复根。列表时先用全零行的上一行构成辅助方程，它的根就是原方程的特殊根。再将辅助方程求导，用求导后的方程代替全零行。例如系统的特征方程为劳思表为：劳思表第一列元素符号相同，故系统不含正实部的根，而含一对纯虚根，可由辅助方程解出，为。例3-5-3已知系统的特征方程为根据辅助方程求特征根。解劳思表为第一列元素符号改变一次，有一个正实部根，可根据辅助方程3.6控制系统的稳态误差

3.6.1稳态误差的基本概念1.误差设为被控量的希望值。误差：被控量的希望值与实际值之差。2.稳态误差稳态误差：误差信号的稳态分量。由参考输入信号r(t)和扰动信号f(t)引起的稳态误差，它们与系统的结构和参数、信号的函数形式（阶跃、斜坡或加速度）以及信号进入系统的位置有关。这些误差又称原理性误差。3.

偏差信号e(t)=0时的被控量的值就是希望值。4.偏差与误差H(s)=1,偏差信号就是误差信号。，先求稳态偏差，再求误差信号。R(s)和F(s)都存在，用叠加原理求总的偏差。3.6.2利用终值定理求稳态误差稳态误差终值若存在，或的全部极点（原点除外）具有负实部，则例3-6-1r(t)=t,f(t)=-1(t)，求稳态误差终值。解单位负反馈，误差就是偏差。3.6.3系统的型别与参考输入的稳态误差系统的开环传递函数G(s)和偏差的闭环传递函数为(v型系统)：单位负反馈系统1.单位阶跃输入作用下的稳态误差稳态位置误差系数：0型系统称为有差系统。2.单位斜坡输入作用下的稳态误差稳态速度误差系数：3.单位加速度输入作用下的稳态误差稳态加速度误差系数：减小或消除参考输入信号的稳态误差的方法：提高系统开环放大系数和型别数。参考输入的稳态偏差例3-6-2单位负反馈系统的开环传递函数，求输入时的稳态误差终值。解1型单位负反馈稳定系统。例3-6-3单位负反馈系统的开环传递函数，求输入时的稳态误差终值。解1型单位负反馈稳定系统。例3-6-4单位负反馈系统的开环传递函数为求r(t)=1(t)，r(t)=t时的稳态误差。解该系统是稳定的，系统为零型系统。例3-6-5单位负反馈系统的开环传递函数为分别求出

时的稳态误差终值。

解用劳思稳定判据可知闭环系统是稳定的。1）这是1型系统，2）3）这是1型系统，例3-6-6调速系统输出信号为c(t)r/min（转/分）。

。求r(t)=1(t)V时的稳态误差。解系统开环传递函数为系统是0型稳定系统，3.6.4扰动信号的稳态误差

偏差信号E（s）对扰动信号F（s）的闭环传递函数为

H(s)是常数提高(偏差信号和扰动信号之间的前向通路的放大系数和积分环节个数）可以减小扰动信号引起的误差。例3-6-7设若，求扰动信号引起的稳态误差终值。解由扰动信号引起的偏差信号为。此二阶系统是单位负反馈的稳定系统，稳态误差为提高可以减小系统的稳态误差。3.6.5动态误差系数法用动态误差系数法求稳态误差的关键：将偏差传递函数展开成s的幂级数。

在s=0的邻域内展开成泰勒级数，

系数称为动态误差系数，用除法求。例3-6-8单位负反馈系统的开环传递函数分别求出输入信号r(t)=1(t),t时的稳态误差的时间函数。解单位负反馈系统，偏差就是误差。例3-6-9单位负反馈系统的开环传递函数输入信号