解直角三角形题型归纳-2023年中考数学拉分专题(教师版含解析)

专题06解直角三角形题型归纳

1．如图是某小区地下停车场入口处栏杆的示意图，MQ、PQ分别表示地面和墙壁的位置，

OM表示垂直于地面的栏杆立柱，OA、AB是两段式栏杆，其中OA段可绕点O旋转，AB

段可绕点A旋转.图1表示栏杆处于关闭状态，此时O、A、B在与地面平行的一直线上，并

且点B接触到墙壁；图2表示栏杆处于打开状态，此时AB∥MQ，OA段与竖直方向夹角为

30．

已知立柱宽度为30cm，O在立柱的正中间，

点

OM120cm，120cm，AB150cm．

OA

(1)求栏杆打开时，点A到地面的距离；

(2)为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间需至少保留10cm的安全距离，

问一辆最宽处为2.1m，最高处为2.1m的货车能否安全通过该入口？(本小题中3取1.73)

【答案】(1)点A到地面的距离为(120603)cm

(2)货车不能安全通过该入口

【分析】(1)过点A作ANON,垂足为点N，利用三角函数求得

NOAOcos301203603cm，NM的长度即为点A到地面的距离；

2

(2)作HF∥AB,交OA于点K,使HM210cm，利用三角函数求出

HKOHtan3090330351.9cm，

3

KFHFHKOAABHK12015051.9218.1cm，在高度正好的情况下，求得货

车靠墙行驶需要宽度超过了KF的长度，说明不能安全通过．

【详解】(1)

解：如图，过点A作ANON,垂足为点N

NOAOcos301203603cm

2

NMNOOM120603cm

则点A到地面的距离为(120603)cm

(2)

解：如图，作HF∥AB,交OA于点K,使HM210cm

2.1m=210cm

OHMHOM21012090cm

HKOHtan3090330351.9cm

3

KFHFHKOAABHK12015051.9218.1cm

若货车靠墙行驶需要宽度为21010220cm>218.1cm

则货车不能安全通过该入口.

【我思故我在】本题考查了与解直角三角形相关的应用题，掌握三角函数并能解决实际问题

是解题关键．

2．如图，株洲市炎陵县某中学在实施"五项管理"中，将学校的"五项管理"做成宣传牌(CD)，

放置在教学楼A栋的顶部(如图所示)该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部

D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已

知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=210m，AE=8m．

(1)求点B距水平面AE的高度BH．

(2)求宣传牌CD的高度．(结果精确到0.1米．参考数据：21.414,31.732)

【答案】(1)点B距水平面AE的高度BH是2米

(2)广告牌CD的高度约为2.1米

【分析】(1)根据山坡AB的坡度为i=1：3，可设BH=a,则AH=3a,然后在Rt△ABH中，利用勾

股定理进行计算即可解答；

(2)过点B作BF⊥CE，垂足为F，则BH=EF=2米，BF=HE=14米，然后在Rt△ADE中，利用

锐角三角函数的定义求出DE的长，再在Rt△BFC中，利用锐角三角函数的定义求出CF的

长，最后进行计算即可解答．

【详解】(1)解：在Rt⊥ABH中，

BH：AH=1:3，

⊥设BH=a,则AH=3a，

⊥AB=210，

由勾股定理得BH=2，

答:点B距水平面AE的高度BH是2米；

(2)解：在Rt⊥ABH中,BH=2，

⊥AH=6，

在Rt⊥ADE中,tan⊥DAE=

DE.

AE，

即DE=tan60·AE=83，

如图,过点B作BF⊥CE,垂足为F，

BF=AH+AE=6+8=14，

DF=DE-EF=DE-BH=83—2，

在Rt⊥BCF中,⊥C=⊥CBF=45°，

⊥CF=BF=14,

⊥CD=CF-DF=14—(83—2)=14—83+22.1

答:广告牌CD的高度约为2.1米．

【我思故我在】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目

的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

3．如图1是疫情期间测温员用"额温枪"对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其

中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直量得胳膊MN28cm，

枪柄与枪身之间的夹角为120°(即MBA120)，

肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为

25.3cm(即MP的长度)，枪身BA8.5cm．

(1)求MB的长；

(2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得BMN75，小红

与测温员之间距离为50cm问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明

理由．(结果精确到0.1cm，参考数据：21.4，31.7)

【答案】(1)33.6cm；

(2)在规定范围内，理由见详解．

【分析】(1)过点B作BHMP于点H，在RtBMH中，利用含30°直角三角形三边关系，

即可解答；

(2)延长PM交FG于点I，NMI45，在RtNMI中，利用三角函数的定义即可求出MI的

长，比较即可判断．

(1)

解：过点B作BHMP于点H，由题可知四边形ABHP为矩形，如下图：

⊥MBHMBAABH1209030，

⊥MP25.3cm，BA8.5cm，

⊥MHMPHP25.38.516.8cm，

1

在RtBMH中，MHMB，

2

⊥MB2MH216.833.6cm；

(2)

解：延长PM交FG于点I，由题意的：NIM90，

⊥BMN75，由(1)可知BMH60，

⊥NMI180756045，

又MN28cm，

⊥在RtNMI中，cos45MIMI，

MN28

⊥MI28219.8cm

2

⊥小红与测温员之间距离为50cm，

⊥AD5019.825.34.9cm，

⊥34.95，

⊥此时枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．

【我思故我在】此题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题关键是添加辅助线和熟记锐

角三角函数的定义．

4．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午，他和学习小组的同

学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示.

于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得

ACD=135；再在BD的延长线上确定一点G，使DG5米，并在G处的地面上水平放

置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这

棵古树的顶端A的像，此时，测得FG2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测量器的

高度CD=0.5米.已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则

这棵古树的高度AB为多少米？(小平面镜的大小忽略不计)

【答案】18m

【分析】过点C作CHAB于点H，则CHBD，BHCD=0.5，解Rt

ACH，得出

AHCHBD，那么AB=AH+BH=BD+0.5，再证明△EFG∽△ABG，因此得出

BD=17.5m，再求出AB即可.

【详解】如图，过点C作CHAB于点H，则CHBD，BH=CD=0.5米，

在Rt

ACH中，ACH=45，

⊥AHCHBD，

⊥AB=AH+BH=BD+0.5，

⊥EFFB，ABFB，

⊥EFG=ABG=90

由反射角等于入射角得EGF=AGB,

⊥△EFG∽△ABG,

⊥EFFG，即

16

2，

ABBG

BD0.5

5BD

解得BD=17.5m

⊥AB=17.5+0.5=18m

⊥这棵树高18米.

【我思故我在】本题主要考查相似三角形的应用，证明三角形相似是解题的关键.

5．广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，

他们看气球的仰角分别是30度、45度，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5

米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？(结果保留到0.1米)．

【答案】此气球有9.7米高

【分析】由于气球的高度为PA+AB+FD，而AB=1米，FD=0.5米，可设AP=h，根据题意列

出关于h的方程即可解答．

【详解】解：设AP=h，

⊥PFB=45°，

⊥BF=PB=h+1，

⊥EA=h+6，

在RtPEA中，PA=AEtan30°，

⊥h=(h+6)tan30°，

⊥3hh63，

⊥h=6(31)8.2米，

2

⊥气球的高度为PA+AB+FD=9.7米．

【我思故我在】本题考查了一元一次方程的实际应用，解决本题的关键是正确的运用三角函

数知识解答．

6．综合与实践

小明为自己家设计了一个在水平方向可以伸缩的遮阳蓬，

如图所示，已知太原地区在夏至日

的正午太阳高度角(即正午太阳光线与地平面的夹角)为75，冬至日的正午太阳高度角为

29.5，小明家的玻璃窗户(AB)高为190cm，在A点上方20cm的C处安装与墙垂直的

宽为CD的遮阳蓬，并且该遮阳蓬可伸缩(CD可变化)；为了保证在夏至日正午太阳光不射到

屋内，冬至日正午整块玻璃都能受到太阳光照射，求可伸缩的遮阳蓬CD宽度的范围．(结果

精确到0.1，参考数据：sin750.97，cos750.26，tan753.73，sin29.50.49，

cos29.50.87，tan29.50.57)

【答案】35.1cmCD56.3cm

【分析】

夏至日正午时，

通过解RtBCD，

求出CD的最大值；

冬至日正午时，

通过解Rt△ACD，

求出CD的最小值；

【详解】解：夏至日时，在RtBCD中，

BCABAC19020210cm，DBE75

CD

BC21056.3cm

tan753.73

冬至日时，在Rt△ACD中，

AC20cm，ADC29.5

CD

AC

2035.1cm

tan29.50.57

所以，可伸缩的CD长度的范围是35.1cmCD56.3cm

【我思故我在】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解

决问题的关键．

7．如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC3千米，

灯塔B到航线l的距离为BD4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60方向．现有一艘轮船从

位于灯塔B北偏西53方向的N(在航线l上)处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮

船行至灯塔A正南方向的点C(在航线l上)处．(参考数据：31.73，sin530.80，

cos530.60，tan531.33)

(1)求两个灯塔A和B之间的距离；

(2)求该轮船航行的速度(结果精确到0.1千米/小时)．

【答案】(1)14千米

(2)40.7千米/小时

【分析】(1)根据题意利用特殊角的三角函数值分别求出AM,BM，即可得解；

(2)根据三角函数值求出CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．

(1)

解：由题意，得

ACM=BDM=90,AC=3,BD=4,CAM=DBM=60，

AC

在RtACM中，cosCAM

AM，

⊥cos60=3，

AM

⊥AM6，

BD

在RtBDM中，cosDBM

BM，

⊥cos60=BD，

BM

⊥BM8，

⊥ABAM＋BM14千米．

答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．

(2)

MC

在RtACM中，tanCAM

AC，

⊥tan60=MC，

3

⊥MC33，

DM

在RtBDM中，tanDBM

DB，

⊥tan60=DM，⊥DM43，

4

⊥CDMCDM73，

在Rt△BDN中，tanDBN

由题意，得DBN=53

DN

DB，

⊥tan53=DN，⊥DN=4tan53，

4

⊥CN=CDDN=734tan53，

设该轮船航行的速度是V千米/小时，

由题意，得V=(734tan53)10，

60

⊥V40.7(千米/小时)，

答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时．

8．风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发

电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小

小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在C点测得C点与

塔底D点的距离为25m，李华站在斜坡BC的坡顶B处，已知斜坡BC的坡度i3:1，坡

面BC长30m，李华在坡顶B处测得轮毂A点的仰角38，请根据测量结果帮他们计算：

(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；

(2)风力发电机塔架AD的高度．(结果精确到0.1m，参考数据sin380.62，cos380.79，

tan380.78，21.41，31.73)

【答案】(1)153m；(2)57.2m．

【分析】(1)在Rt△BCE中，i3:1，可得BCE60，根据解直角三角形进行求解即可；

(2)根据ADAFFD求解即可．

(1)

解：如图，过点B分别作AD,CD的垂线，垂足分别为F，E，

则BE为坡顶B到CD所在直线的距离，

则BEDF，BFED，

在Rt△BCE中，i3:1，

⊥BCE60，

⊥BC30m，

⊥BEsin60BC153；

(2)

由题意得，四边形BEDF是矩形，

由勾股定理得：ECBC2BE215m，

⊥CD25m，

⊥EDECCD152540m，

⊥BFED40m，

在RtABF中，ABF38，AFtanABFBFtan38400.784031.2m，

⊥ADAFFD31.2151.7357.2m，

答：塔架高度AD约为57.2m．

【我思故我在】本题考查了解直角三角形的实际应用以及勾股定理，

根据题意构造直角三角

形是解本题的关键．

9．小明和小亮利用数学知识测量学校操场边升旗台上的旗杆高度．如图，旗杆AB立在水

平的升旗台上，两人测得旗杆底端B到升旗台边沿C的距离为2m，升旗台的台阶所在的斜

坡CD长为2m，坡角为30，小明又测得旗杆在太阳光下的影子落在水平地面MN上的部分

DE的长为6m，同一时刻，小亮测得长1.6m的标杆直立于水平地面时的影子长为1.2m．

请

你帮小明和小亮求出旗杆AB的高度(结果保留整数，参考数据：31.732)

【答案】旗杆AB的高度约为12m

【分析】

延长AB交MN于H，C作CGMN于G，

过

根据矩形的性质得到HGBC2m，

CGD90，BHCG，解直角三角形得CG1CD1m，DG3m，根据同一时

2

刻，物高和影长成正比，列方程即可得到结论．

【详解】解：延长AB交MN于H，过C作CGMN于G，

则四边形BHGC是矩形，

HGBC2m，CGD90，BHCG，

CDG30，CD2m，

CG1CD1m，DG3m，

2

HEHGGDDE83m，

同一时刻，物高和影长成正比，

AH1.6，

HE1.2

AH1.6，

831.2

AH13，

AB12m，

答：旗杆AB的高度约为12m．

【我思故我在】本题考查了解直角三角形—坡度坡角问题、平行投影和矩形的性质，熟练掌

握同一时刻，物高和影长成正比是解决本题的关键．

10．某项目学习小组用测倾仪、皮尺测量小山的高度MN，他们设计了如下方案(如图)：①

在点A处安置测倾仪，测得小山顶M的仰角MCE的度数；②在点A与小山之间的B处

安置测倾仪，测得小山顶M的仰角∠MDE的度数(点A，B与N在同一水平直线上)；③量

出测点A，B之间的距离．已知测倾仪的高度ACBD1.5米，为减小误差，他们按方案测

量了两次，测量数据如下表(不完整)：

测量项目

第一次

第二次

平均值

(度)

MCE的度数

22.3

21.7

∠MDE的度数

A，B之间的距离

44.8

150.2米

45.2

149.8米

45

150米

(1)写出MCE的度数的平均值．

(2)根据表中的平均值，

求小山的高度．(参考数据：sin220.37,cos220.93,tan220.40)

(3)该小组没有利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，你认为原因可能是什么？(写出

一条即可)

【答案】(1)22°

(2)101.5米

(3)小山的影子长度无法测量

【分析】(1)根据平均数公式，用两次测量得的MCE的度数和除以2即可求解；

(2)在Rt△MDE中，

利用仰角⊥MDE的45°，

即可求得ME=DE，Rt△MCE中，

在

利用仰角⊥MCE

的正切值，可得ME=CEtan⊥MCE，进而由CE=CD+DE=CD+ME，易知四边形CANE、四边

形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，代入即可求出ME的值，然后由

MN=ME+NE求解；

(3)可根据小山的影子长度无法测量解答即可．

(1)

解⊥MCE的度数的平均值=22.321.722，

2

答：MCE的度数的平均值为22°；

(2)

解：在Rt△MDE中，

⊥⊥MDE=45°，

⊥⊥DME=⊥MDE=45°，

⊥ME=DE，

在Rt△MCE中，

⊥tanMCEME，

CE

⊥ME=CEtan⊥MCE，

由题意知四边形CANE、四边形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，

⊥ME(CDDE)tan22150ME0.40，

⊥ME=100(米)，

⊥MN=ME+NE=100+1.5=101.5(米)，

答：小山的高度约为101.5米．

(3)

答：因为利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，由于小山的内部无法到达，则小山的

影子长度无法测量，

所以没有用物体在阳光下的影子来测量小山的高度的原因是小山的影子

长度无法测量．

【我思故我在】本题考查仰角，要求学生能借助仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函

数解直角三角形．

11．小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图①)，图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，

CD相交于点O，B，D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF

＝34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm(参考数据：sin

61.9°0.882，cos61.9°0.471，tan28.1°0.534)．

(1)求证：AC⊥BD．

(2)求扣链EF与立杆AB的夹角⊥OEF的度数(结果精确到0.1°)．

(3)小红的连衣裙穿在晒衣架上的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？

请通过计算说明理由．

【答案】(1)见解析；(2)61.9°；(3)会拖落到地面．

【详解】试题解析

(1)证明：证法一：AB,CD相交于点O，

AOCBOD,

OAOC，

OACOCA1(180﹣BOD)，

2

同理可证：OBDODB1(180﹣BOD)，

2

OACOBD，

ACBD.

证法二：ABCD136cm，OAOC51cm，

OBOD85cm，

⊥OAOC3.

OBOD5

又

AOC

BOD,

AOC∽BOD，

OACOBD，

ACBD.

(2)解：在OEF中，OEOF34cm，EF32cm,作OMEF于点M，

则EM16cm.

cosOEFEM1680.471，

OE3417

用计算器求得OEF61.9.

(3)解法一：小红的连衣裙会拖落到地面；

在Rt△OEM中，

OMOE2EM234216230cm.

过点A作AHBD于点H，

同1可证：EFBD，

ABHOEM，

则RtOEM∽RtABH，

OEOM,AHOMAB30136120cm.

ABAH

OE

34

⊥所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm大于晒衣架的高度AH120cm．

解法二：小红的连衣裙会拖落到地面.

同1可证：EFBD，ABDOEF61.9.

过点A作AHBD于点H，在Rt△ABH中

sinABDAH,

AB

AHABsinABD136sin61.91360.882120.0cm

所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm大于晒衣架的高度AH120cm．

12．开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的

《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最

高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D

的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测

角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的

高度(结果精确到1m．参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67)．

【答案】拂云阁DC的高度约为32m

【分析】延长EF交CD于点G，则四边形AEFB,AEGC是矩形，则CGAE1.5，

EFAB15，在Rt△DGF，Rt△DGE中，分别表示出FG,EG，根据EGFG15，建

立方程，解方程求解可得DG，根据DCDGGC即可求解．

【详解】如图，延长EF交CD于点G，则四边形AEFB,AEGC是矩形，

则CGAE1.5，EFAB15，

在Rt△DGF中，FG

DG

DGDG，

tanDFGtan45

DG

DGDG，

tanDEGtan340.67

在Rt△DGE中，EG

EGFG15，

即

DGDG15

，

0.671

解得DG30.5，

DCDGGC30.51.532(m)．

拂云阁DC的高度约为32m．

【我思故我在】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关

键．

13．如图，为测量某建筑物AB的高度，小刚采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同

一水平线上的C点出发，沿斜坡CD行走60米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行

若干米后至E点处，E点测得该建筑物顶端A的仰角为60，

在

建筑物底端B的俯角为45，

点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡CD的坡度i3：．请根据小刚的测量数据，计算出

4

建筑物AB的高度．(结果要求精确到个位，参考数据：31.73)

【答案】建筑物AB的高度约为98米

【分析】过点D作DFCB，垂足为F，延长DE交AB于点G，则GBDF，根据斜坡CD

的坡度i3：，可设DF3a米，则CF4a米，然后在RtDFC中，利用勾股定理求出DF

4

的长，从而求出BG的长，再在RtGEB中，利用锐角三角函数的定义求出GE的长，最后在

RtAGE中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，进行计算即可解答．

【详解】解：过点D作DFCB，垂足为F，延长DE交AB于点G，

则GBDF，

⊥斜坡CD的坡度i3：，

4

设DF3a，则CF4a，

在RtDFC中，DCDF2CF2(3a)2(4a)25a，

DC60，

⊥5a60

解得a12，

⊥DF3a36，CF4a48，