高中数学-双曲线的简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思

§3.2.2双曲线的简单几何性质一、教学目标1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质.了解双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念.2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题.3、通过类比，启发，诱导的方式，让学生明确双曲线性质的研究过程和研究方法，发展学生类比，分析，归纳，猜想，概括等逻辑推理核心素养.4、通过类比旧知识，探索新知识，培养学生学习数学的兴趣，探索新知识的能力及勇于创新的精神.二、重点与难点重点：双曲线的几何性质及初步运用.难点：双曲线的渐近线，离心率的理解与应用.三、教学过程（一）复习回顾，引入课题问题1：双曲线的标准方程是什么？a，b，c三个量之间的关系是怎样的？学生答：焦点在x轴：（a>0，b>0）焦点在y轴：（a>0，b>0）a，b，c的关系：问题2：椭圆的简单几何性质有哪些？类似地双曲线有哪些几何性质呢？（引出本节课的内容）【设计意图】本节课主要是由椭圆的几何性质通过类比联想，归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质，故进行上面的复习回顾.（二）探究新知类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程，研究它的几何性质.1.范围由双曲线的图象可得其范围为：.思考：你能利用双曲线的方程求出它的范围吗？只有当|x|≥a时，y才有实数值，而在－a<x<a之间没有图象，当|x|无限增大时，|y|也无限增大，因此曲线是无限伸展的.双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线.2.对称性先观察图象得到对称性，再从代数角度说明.双曲线关于x轴、y轴、原点对称.因此双曲线有两条对称轴，一个对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.3.顶点顶点即双曲线与对称轴的交点.双曲线只有两个顶点.的顶点是（a,0）,(－a,0)；当x=0时，无实数解，即与y轴无交点.但我们也把（0,－b）,(0,b)画在y轴上.线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长.实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.4.渐近线（1）由反比例函数引出渐近线.画出渐近线，学生观察这两条直线与双曲线有何关系？（2）通过几何画板演示，让学生直观感受，理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的，也可以这样理解：当双曲线上的动点P沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点P到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0.（3）焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是或由（将1换成0）得到.（4）等轴双曲线的渐近线方程为注：为什么是双曲线的渐近线？有兴趣的同学可以课下阅读课本128页的探究与发现.5.离心率双曲线的焦距与实轴长的比,叫做双曲线的离心率.e的范围：e>1.e的意义：它决定双曲线的开口大小，e越大，张口越大.离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.∵==,∴e越大，k=越大.∴双曲线张口越大.等轴双曲线的离心率e=.【设计意图】通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，了解双曲线的简单几何性质,体会数形结合的数学思想.（三）自主整合：（1）整合前面的探究结果，类比出双曲线焦点在y轴时的几何性质，完成表格.标准方程（a>0,b>0）（a>0,b>0）图象顶点范围对称性关于x轴，y轴，原点对称离心率渐近线（四）应用新知应用一:利用方程探究几何性质例1：求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．并画出它的草图.注意：先把方程化为标准方程，再进一步研究它的性质.练习1：的实轴长为虚轴长为焦点坐标为，离心率为应用二:由几何性质求双曲线方程例2：已知双曲线顶点间的距离是16，离心率,焦点在x轴上,中心在原点,写出双曲线的标准方程,并且求出它的渐近线和焦点坐标.变式：已知双曲线顶点间的距离是16，离心率,焦点在坐标轴上,中心在原点,写出双曲线的标准方程.【设计意图】通过两类问题的反馈例练，让学生利用方程探究几何性质以及由几何性质求双曲线方程，变式训练，由浅入深，逐渐达到运用新知的目的，同时反馈学生学习理解的程度，进行学习监控和补救.（五）课堂小结1.双曲线的简单几何性质2.数学思想方法（六）作业课本124页练习2、3题板书设计3.2.2双曲线的简单几何性质3.2.2双曲线的简单几何性质范围例题解答：对称性顶点渐近线离心率学情分析本课安排在高二第一学期后期，此时学生已经完全适应高中数学的学习方式和节奏，储备了一定的数学知识，掌握了一些常见的数学学习方法和探究方法，个体之间存在一定差距.同学之间彼此熟悉，具备合作学习的前提.心理状态：高二这个阶段的部分学生在经过高一的兴奋期后进入学习懈怠期，厌倦老师的灌输式教学和说教式教学，在教学过程中要注意结合具体问题，创设学生便于思考和探索的空间，采取多样的教学组织形式给他们表现的机会，激发学生的学习主动性.知识基础：已经掌握椭圆和双曲线的定义、标准方程、椭圆的简单几何性质等相关知识，经历过由椭圆标准方程研究探讨椭圆简单几何性质的过程，具备一定的研究函数和方程的知识和技巧.能力基础：具有一定的观察，归纳，类比，分类讨论能力，有利用代数方法研究几何问题的初步经验.具备一定的提出问题，分析问题，合作交流的能力.可能存在的问题：渐近线是双曲线独有的性质，第一次接触需要一定的接受时间，学生的抽象能力需要进一步提高.效果分析本节课的教学中我主要运用了以下几种方法：创设更多的机会让学生参与到知识的生成过程来考虑到高二的学生年龄与心理特征，简单的情景引入已经不能有效的提高学生的学习兴趣，要真正的把课堂还给学生，学生能做的让学生做，让学生在做中学，在错中学，才能使学生真正成为课堂的主人，体会知识的生成过程，才能更深刻的理解知识，掌握知识.结合本节课所学知识的特点，我采用自主学习与合作学习相结合的方式，例如类比椭圆的的简单几何性质探究双曲线的简单几何性质，整合焦点在y轴上的双曲线的简单几何性质，学生可以自主完成的，就放手让学生去做，让学生在课堂学习中不再是看客和听课，是真正的参与进来了.变换不同的课堂组织形式，调节学生的兴奋点单一的课堂教学组织形式肯定是要降低学生的积极行的，本节课中课堂组织活动有集体回答，轮流作答，有自主学习，有合作交流，有学生展示，不断变换课堂组织形式，调节学生的兴奋点，提高课堂学习效率.三、在改错的过程中加深对知识的理解及时抓住学生在练习过程中出现的问题，进行强调或者分析错误原因，让学生及时修正理解偏差，关注易错点，改进解题方法，加深学生对新知识和新方法的体会.教材分析本节内容是2019版普通高中教科书数学选择性必修一（人教A版）第三章第二节的内容，是在学生已经掌握了双曲线的定义和标准方程之后，利用双曲线的标准方程研究它的简单几何性质，是教学大纲要求必须掌握的内容，也是高考的重点内容，双曲线的研究形式和方法与椭圆类似，但绝不是简单的重复，是学生利用解析几何思想研究了圆和椭圆这样的封闭图形之后第一次接触开放的图形，对学生来讲是一种全新的体验，特别是对双曲线渐近线探究，拓宽了学生的视野，弥补了圆与椭圆的局限与不足，所以在整个解析几何的教学过程中具有不可忽视的作用.课标定位：通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质.了解双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念.能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题.主要内容：双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质.重难点是对渐近线的认识.能力要求：让学生明确双曲线性质的研究过程和研究方法，培养学生类比，分析，归纳，猜想，概括，讨论等逻辑思维能力.通过类比旧知识，探索新知识，培养学生学习数学的兴趣，探索新知识的能力及勇于创新精神.通过图形的直观感知，体会数学发现问题的方法，通过代数的证明，体会数学逻辑证明的严谨性.评测练习1．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是().A．x2－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)－y2＝1C．eq\f(y2,4)－x2＝1 D．y2－eq\f(x2,4)＝12．求双曲线的顶点坐标，半实轴长、半虚轴长、渐近线方程.3．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的标准方程.4．求两顶点间的距离是16,离心率是的双曲线的标准方程.课后反思新课标倡导通过典型案例的分析和学生的自主探索、合作学习，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的数学思想方法，追寻数学发展的历史足迹.本节课在我的引领下学生经历了双曲线简单几何性质探讨的全过程，从数和形两方面充分认识双曲线与渐近线的位置关系.本节课的亮点我认为主要是从学生知识最近发展区入手，采用类比方式让学生觉得自己探究问题可行，能行，激发学生自主学习兴趣，在学生遇到困难时，才用多媒体技术的帮助，从多方面突破，多角度感受，在无形中进行难点突破，保持学生学习热情.本节课比较遗憾的是给予学生的鼓励较少，我的个别语句表达重复，语言还需继续锤炼.教材分析本节内容是2019版普通高中教科书数学选择性必修一（人教A版）第三章第二节的内容，是在学生已经掌握了双曲线的定义和标准方程之后，利用双曲线的标准方程研究它的简单几何性质，是教学大纲要求必须掌握的内容，也是高考的重点内容，双曲线的研究形式和方法与椭圆类似，但绝不是简单的重复，是学生利用解析几何思想研究了圆和椭圆这样的封闭图形之后第一次接触开放的图形，对学生来讲是一种全新的体验，特别是对双曲线渐近线探究，拓宽了学生的视野，弥补了圆与椭圆的局限与不足，所以在整个解析几何的教学过程中具有不可忽视的作用.课标定位：通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质.了解双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴