2022年湖北省咸宁市嘉鱼县第二高级中学高三数学理联考试卷含解析

2022年湖北省咸宁市嘉鱼县第二高级中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、c、d为常数），当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，则（b+）2+（c﹣3）2的取值范围是（）A．（，5）B．（，5）C．（，25）D．（5，25）参考答案：D【考点】：利用导数研究函数的极值．【专题】：综合题；导数的概念及应用．【分析】：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，∴f′（x）=3x2+2bx+c，∵函数f（x）在x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，∴f′（x）=3x2+2bx+c=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根，∴f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，即，在bOc坐标系中画出其表示的区域，如图，（b+）2+（c﹣3）2表示点A（﹣，3）与可行域内的点连线的距离的平方，点A（﹣，3）到直线3+2b+c=0的距离为=，由12+4b+c=0与3+2b+c=0联立，可得交点为（﹣4.5，6），与点A（﹣，3）的距离为5，∴（b+）2+（c﹣3）2的取值范围是（5，25），故选：D．【点评】：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力．2.“”是“函数只有一个零点”的（▲）

A．充分必要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．非充分必要条件参考答案：B3.如果执行右面的程序框图，那么输出的s为

（A）3

（B）

（C）

（D）－2

参考答案：C略4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．5.下列函数中，既是奇函数又在区间（0．+）上单调递增的函数是

（

）

A．y=

B．y=x3

C．y=2|x|

D．y=cosx参考答案：A略6.已知集合，，则A.

B.

C.

D.参考答案：B7.已知集合，集合，则等于A． B． C． D．参考答案：B略8.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3,高为6的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为

A.

B.

C.

D.

参考答案：C9.已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．10.已知，，则A．a>b>c

B．b>a>c

C．a>c>b

D．c>a>b参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，若，，，则的面积S＝_________参考答案：12.当实数x，y满足约束条件时，z=x﹣y的最大值为m，则对于正数a，b，若=m，则a+b的最小值是

．参考答案：考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，z=x﹣y在x取最大，y取最小时有最大值，即（6，1）时有最大值，从而可得m=5；利用基本不等式求最值．解答： 解：由题意作出其平面区域，z=x﹣y在x取最大，y取最小时有最大值，即（6，1）时有最大值，故m=5；故=5，（）（a+b）≥（2++）≥；当且仅当a=b时，等号成立，故答案为：．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．13. 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.

(1) 证明:BC1//平面A1CD;(2) 设AA1=AC=CB=2,AB=，求三棱锥C一A1DE的体积.参考答案：提示：连接，中位线易证明平行

易知

所以V=1略14.若非零向量满足,则夹角的余弦值为_______参考答案：15.设复数的共轭复数为，若（为虚数单位）则的值为__________参考答案：16.若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD,AC=BD,AD=BC,则下列结论正确的是_____（1）四面体ABCD每组对棱互相垂直（2）四面体ABCD每个面得面积相等（3）从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°（4）连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互相垂直平分（5）从四面体ABCD每个顶点出发地三条棱的长可作为一个三角形的三边长参考答案：1,3略17.如图所示，某几何体的正视图是一个平行四边形，俯视图和侧视图都是长方形，那么该几体的体积为

．参考答案：200三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）在如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1⊥平面ABC，A1B1∥AB，AB=2A1B1，E是AC的中点．（1）求证：A1E∥平面BB1C1C；（2）若AC=BC=2，AB=2BB1=2，求二面角A﹣BA1﹣E的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AB的中点F，连结EF，A1F，推导出FA1∥BB1，EF∥CB，由此能证明平面A1EF∥平面BB1C1C．（2）连结CF，则CF⊥AB，以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BA1﹣E的余弦值．【解答】证明：（1）取AB的中点F，连结EF，A1F，∵AB=2A1B1，∴BF=A1B1，∵A1B1∥AB，∴FA1∥BB1，∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥CB，∵EF∩FA1=F，∴平面A1EF∥平面BB1C1C．解：（2）连结CF，则CF⊥AB，以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），A1（0，0，1），B（0，1，0），C（，0，0），∴E（，﹣，0），=（0，﹣1，1），=（，﹣，0），设平面A1BE的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，1），平面ABA1的法向量=（1，0，0），设二面角A﹣BA1﹣E的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣BA1﹣E的余弦值为．【点评】本题考查面面的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.（本小题满分12分）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

参考答案：（Ⅰ）因为P在平面ABC内的正投影为点D，所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为点E，所以AB⊥DE.所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，PA=PB，从而G是AB的中点.（II）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.由（I）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2.所以四面体PDEF的体积20.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的方程为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)曲线C与直线l交于A，B两点，若，求k的值．参考答案：（1）；（2）【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程；（2）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出求得结果即可.【详解】（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为：所以曲线C极坐标方程：（2）直线的方程为，的参数方程为为参数)，然后将直线得参数方程代入曲线C的普通方程，化简可得：，所以故解得【点睛】本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于基础题.21.已知椭圆E：的离心率为，其右焦点为F（1，0）．（1）求椭圆E的方程；（2）若P、Q、M、N四点都在椭圆E上，已知与共线，与共线，且=0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由c=1，由椭圆的离心率公式即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程；（2）设直线PQ的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，求得丨PQ丨，由PQ⊥MN，将﹣代入丨PQ丨，求得丨MN丨，则S=丨PQ丨丨MN丨，根据函数的单调性即可求得四边形PMQN的面积的最小值和最大值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率公式可知：e==，由c=1，则a=，b2=a2﹣c2=1，故椭圆方程为；…（4分）（2）如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（1，0），且PQ⊥MN，设直线PQ的斜率为k（k≠0），则PQ的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x1，y1），则，整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，x1+x1=，x1x2=，则丨PQ丨=?，于是，…（7分）同理：．则S=丨PQ丨丨MN丨=，令t=k2+，T≥2，S=丨PQ丨丨MN丨==2（1﹣），当k=±1时，t=2，S=，且S是以t为自变量的增函数，当k=±1时，四边形PMQN的面积取最小值．当直线PQ的斜率为0或不存在时，四边形PMQN的面积为2．综上：四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为和2．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．考查韦达定理，弦长公式，考查椭圆与函