高中数学导数练习题

高中数学导数练习题

专题8：导数经典例题剖析考点一：求导公式例1：已知函数$f(x)=\frac{1}{3x+2x+1}$，求$f'(-1)$的值。考点二：导数的几何意义例2：已知函数$y=f(x)$的图像在点$M(1,f(1))$处的切线方程为$y=\frac{1}{x}+2$，求$2f(1)+f'(1)$的值。例3：曲线$y=x-2x^2-4x+2$在点$(1,-3)$处的切线方程是什么？考点三：导数的几何意义的应用例4：已知曲线$C:y=x^3-3x^2+2x$，直线$l:y=kx$且$l$与曲线$C$在点$(3,2)$处相切，求直线$l$的方程及切点坐标。考点四：函数的单调性例5：已知$f(x)=ax^3+3x^2-x+1$在$\mathbb{R}$上是减函数，求$a$的取值范围。考点五：函数的极值例6：设函数$f(x)=2x+3ax+3bx+8c$在$x=1$和$x=2$处取得极值，求$a$和$b$的值，若对于任意$x\in[0,3]$，都有$f(x)<c$成立，求$c$的取值范围。考点六：函数的最值例7：已知$f(x)=x-4(x-a)^2$，求$f(x)^2$在区间$[-2,2]$上的最大值和最小值。考点七：导数的综合性问题例8：设函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$为奇函数，且它的图像在点$(1,f(1))$处的切线与直线$3x-y+2=0$平行，求$a,b,c$的值。解析：x-6y-7=0是一条直线，其斜率为k=1/6，所以其垂线斜率为k'=-6。又因为f'(x)的最小值为-12，所以f''(x)=-12，即f(x)为下凸函数。根据导数的定义可得f'(x)=2ax+b，又因为f'(x)的最小值为-12，所以2a=-12，即a=-6。代入x=0得到b=-7。所以a=-6，b=-7，c=0。函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(3,∞)，在[-1,3]上的最大值为f(3)=9-18+21-9=3，在[-1,3]上的最小值为f(-1)=1+6+7=14。（一）选择题：1.解析：曲线y=x^2/4的导数为y'=x/2，斜率为2，所以切点的横坐标为2。答案：B。2.解析：f(x)=x^2-3x+1，f'(x)=2x-3，所以f'(1)=-1，切线方程为y=-x-2。答案：B。3.解析：y=(x+1)(x-1)，y'=(x+1)+(x-1)=2x，所以y'(1)=2。答案：C。4.解析：f'(1)=3，所以f(x)=(x-1)^2+2x-2。答案：A。5.解析：f'(x)=1+a-9/(x+3)^2，所以f'(-3)=0，得到a=2。答案：A。6.解析：f'(x)=3x^2-6x，所以f'(x)<0的区间为(-∞,0)和(2,∞)，所以f(x)的减函数区间为(2,∞)。答案：A。7.解析：顶点在第四象限，说明a<0，所以f'(x)=2ax+b在x轴上单调递减，即f''(x)=2a<0，所以函数图像开口向下，f'(x)的图像是一条下凸的抛物线。答案：B。8.解析：f'(x)=4x-3x^2，所以f'(x)=0时x=0或x=4/3，f(0)=0，f(4/3)=32/27，所以在区间[0,6]上的最大值为32/27。答案：C。9.解析：f(x)=x-3x，f'(x)=1-6x，所以极值点为x=1/6，极值为-1/12，所以m+n=-1/12+1/2=2/3。答案：C。10.解析：f'(x)=a+1>0，所以a>-1，又因为f(x)是三次函数，所以a≠0，所以a>0或a<-1。答案：A或B。11.解析：f'(x)=1-8x，所以斜率小于3的点为x>-1/8，斜率小于2的点为x>3/8，所以斜率小于π/3的点为x>(1+√3)/8，所以坐标为整数的点的个数为1。答案：C。12.解析：f'(x)的图像在(a,b)内有三个零点，所以f(x)在开区间(a,b)内有两个极小值点。答案：B。（二）填空题：13.解析：曲线y=x^3的导数为y'=3x^2，所以斜率为3，切线方程为y=3x-2。答案：3。删除明显有问题的段落后，改写后的文章如下：已知直线x-6y-7=0是一条垂直线，函数f(x)的导函数f'(x)的最小值为-12。求a，b，c的值，并求函数f(x)的单调递增区间和在[-1,3]上的最大值和最小值。解析：直线x-6y-7=0的斜率为k=1/6，所以其垂线斜率为k'=-6。又因为f'(x)的最小值为-12，所以f(x)为下凸函数。根据导数的定义可得f'(x)=2ax+b，又因为f'(x)的最小值为-12，所以2a=-12，即a=-6。代入x=0得到b=-7。所以a=-6，b=-7，c=0。函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(3,∞)，在[-1,3]上的最大值为f(3)=3，在[-1,3]上的最小值为f(-1)=14。1.没有文章给出，无法修改。2.修改为：已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x}$，求曲线$y=f(x)$在点$(1,1)$处的切线方程。3.删除，没有问题。4.修改为：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求$f(x)$的单调递减区间。5.删除，没有问题。6.修改为：已知函数$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-x+1$，求$f(x)$在区间$[-1,2]$上的最大值。7.删除，没有问题。8.修改为：已知函数$f(x)=\sinx+\cosx$，求$f(x)$的单调区间和最小正周期。9.删除，没有问题。10.修改为：已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x}$，求$f(x)$在区间$[1,3]$上的最小值。11.删除，没有问题。12.修改为：已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x}$，求曲线$y=f(x)$与直线$x=2$所围成的图形的面积。13.删除，没有问题。14.修改为：已知曲线$y=x^2$，求曲线$y=x^2$在点$(1,1)$处的切线方程。15.修改为：已知$f(n)=\dfrac{1}{3^n}+\dfrac{4}{3^{n+1}}$，过点$P(2,4)$的切线方程为$y=-\dfrac{4}{9}x+\dfrac{22}{9}$。16.删除，没有问题。17.修改为：已知函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，当$x=-1$时，取得极大值$7$；当$x=3$时，取得极小值$-32$。求极小值及$a,b,c$的值。18.修改为：已知函数$f(x)=-x^3+3x^2+9x+a$，(1)$f(x)$的单调减区间为$(-\infty,0]$；(2)$f(x)$在区间$[-2,2]$上的最小值为$-7$。19.修改为：已知点$P(t,f(t))$是函数$f(x)=x+ax+b$和$g(x)=bx+c$的图像的一个公共点，且两函数在点$P$处有相同的切线。(1)$a=t^2-c$，$b=2t$，$c=t^2-at-f(t)$；(2)$t\in(-\infty,-1)\cup(\dfrac{1}{2},+\infty)$。20.修改为：已知函数$f(x)=x^2+bx+cx^3$，且$g(x)=f(x)-f'(x)$是奇函数。(1)$b=0$，$c=-\dfrac{1}{4}$；(2)$g(x)$的单调区间为$(-\infty,0)$，极值为$-\dfrac{1}{16}$。21.修改为：用长为$18$cm的钢条围成一个长方形框架，要求长方形的长与宽之比为$2:1$，求该长方形的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积为$243$cm$^3$。22.修改为：已知函数$f